wqs二分中二分条件细节的思考

先举例复习一下，给定正整数数组a[]，将数组划分为k份，求k个子段平方和之和的最大值（即$\min \{{\sum }_{i=1}^{k}su{m}_i^2\}$）。

转移方程为 $dp[i][j]=max\{dp[x][j-1]+w(x+1,i)\}$ ，要求 $dp[n][k]$。2D1D动态规划时间复杂度为$O(n^3)$，需要优化。考虑 $f[k]=dp[n][k]$，$f$ 是凸函数，构造一条与 $(k,f[k])$ 相切的直线即可求 $f[k]$, 对该直线的斜率进行二分可下降复杂度至$O(\log n)$。结合该题更形象地说，k越大，最大值越难变大，为凸。我们二分一个代价$val$，每划分一次答案就减去 $val$，即 $dp[i]=max\{dp[x]+w(x+1,i)-val\}$，以此表示“划分越多最大值越难增长”。当 $val$ 过大，$f$ 在 $k$ 较小处取得最值；反之亦然。对于一个合适的 $val$，就可在题目给定的 $k$ 值出取得最值，此时就找到了“切线”。

struct DP { int f, k; } dp[N];

bool operator < (DP a, DP b) {
    if (a.f != b.f) return a.f < b.f;
    return a.k < b.k;
}
    
inline DP solve (int val) {
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		for (int j = 0; j < i; j++) {
			dp[i] = max(dp[i], { dp[j].f + w(j + 1, i) - val, dp[j].k + 1 });
        }
    }
    return dp[n];
}

int wqs (void) {
	int st, en, md;
    while (st != en) {
		int md = (st + en + 1) >> 1;
        if (solve(md).k > k) st = md;
        else en = md - 1;
    }
    return solve(st).f;
}

需要注意的是函数可能不是严格凸的，可能切线同时经过好几个点。以该例题说明，对于某一 $val$ ，多个 $k$ 都使 $dp[n]$ 有最大值，二分时我们得注意不能把题目要求 $k$ 排除。从重载小于符号中我们看出，我们最终返回的 $dp[n].k$ 是满足条件的最大的 $k$ ，二分要考虑到这一点。那么如果重载时反过来写呢？如下：

bool operator < (DP a, DP b) {
	if (a.f != b.f) return a.f < b.f;
    return a.k > b.k;
}

int wqs (void) {
    ...
        int md = (st + en) >> 1;
        if (solve(md).k > k) st = md + 1;
        else en = md;
    ...
}

总之总之debug时要想起这一点哦，不过也轮不到我来敲这种题。