二叉树的遍历回顾

写在前面

本文重点在于复习并总结 二叉树每种遍历方式的递归与迭代实现，图片和示例代码均来自《邓俊辉-数据结构》。

向量vector和链表list是线性结构，其中的元素具有天然的直接前驱和直接后继。

二叉树binary tree是半线性结构，其元素不存在天然的直接前驱和后继，但可以通过附加某种约束，将其线性化。

线性化的方法称之为遍历traversal，具体地，遍历指的是

按照事先约定的某种规则和次序，对所有节点各访问一次且仅一次。

根据约束（规则、次序）的不同，可以分为 先序、中序和后序遍历以及层次遍历，根据实现方式的不同，又可分为 递归式遍历和迭代式遍历。

简化二叉树的数据结构为

#define BinNodePosi(T) BinNode*
template  struct BinNode {
    T data;
    BinNodePosi(T) parent;
    BinNodePosi(T) lChild; 
    BinNodePosi(T) rChild;
};

得益于递归的简洁性，先对先序、中序和后序遍历的递归实现一探究竟。

递归式遍历

二叉树可以递归地定义，根节点、左子树和右子树，左右子树也可以分别是一棵二叉树。

令当前根节点为V，左孩子和右孩子分别为L和R，对于当前这个局部，访问的次序有VLR、LVR、LRV 共3种，根据V所在的访问次序，分别称之为先序、中序和后续。

因为L和R也是树，VLR、LVR和LRV可以对L和R进一步展开，展开时也是按相应的先序、中序和后续方式访问。L和R被当成新的V，形成递归。

对应到代码上，三种遍历方式的递归实现可套用同一个代码模板，区别只在于访问V的位置不同

template  //元素类型、操作器
void traversal(BinNodePosi(T) x, VST& visit) { //二叉树后序遍历算法（递归）
    if (!x) return;
    // visit(x->data); // 先序遍历
    traversal(x->lChild, visit);
    // visit(x->data); // 中序遍历
    traversal(x->rChild, visit);
    // visit(x->data); // 后序遍历
}

3种方式对应的遍历路径如下，

通过先序、中序和后序遍历，线性化得到的序列分别为VLR、LVR和LRV的彻底展开，序列中每个局部也都符合先序、中序和后序的次序。

下面看一下，不同遍历的迭代实现，在于洞察不同规则下访问路径的特点。

先序遍历的迭代版本

先序遍历为VLR的完全展开，先访问当前节点，如果有左子树，先访问左子树，访问完左子树再右子树。

相当于如下过程，

• 如果有左侧通路，就沿着左侧通路自顶向下访问沿途节点，先遇到的节点先访问，直到最左侧走到头
• 再自底向上，以同样的方式遍历右子树

如下图所示

需要逆序记录最左侧通路上节点的右孩子，恰好适合用栈实现，代码如下：

//从当前节点出发，沿左分支不断深入，直至没有左分支的节点；沿途节点遇到后立即访问
template  //元素类型、操作器
static void visitAlongLeftBranch(BinNodePosi(T) x, VST& visit, Stack& S) {
    while (x) {
        visit(x->data); //讵问弼前节点
        S.push(x->rChild); //右孩子入栈暂存（可优化：通过判断，避免空的右孩子入栈）
        x = x->lChild; //沿左分支深入一层
    }
}

template  //元素类型、操作器
void travPre(BinNodePosi(T) x, VST& visit) { //二叉树先序遍历算法（迭代版）
    Stack S; //辅助栈
    while (true) {
        visitAlongLeftBranch(x, visit, S); //从当前节点出发，逐批访问
        if (S.empty()) break; //直到栈空
        x = S.pop(); //弹出下一批的起点
    }
}

中序遍历的迭代版本

中序遍历为LVR的完全展开，访问完左子树，再访问当前节点，然后右子树。

流程如下：

• 如果有左侧通路，沿着左侧通路自顶向下，沿途节点仅路过不访问，至最左侧走到头（没有左孩子的节点）
• 再自底向上，访问沿途各节点及其右子树

如下图所示，

逆序记录路过的节点，也用栈，代码如下，

template  //从当前节点出发，沿左分支不断深入，直至没有左分支的节点
static void goAlongLeftBranch(BinNodePosi(T) x, Stack& S) {
	//当前节点入栈后随即向左侧分支深入，迭代直到无左孩子
	while (x) { S.push(x); x = x->lChild; } // 该行可合并到调用函数中，以简化代码
}

template  //元素类型、操作器
void travIn(BinNodePosi(T) x, VST& visit) { //二叉树中序遍历算法
    Stack S; //辅助栈
    while (true) {
         goAlongLeftBranch(x, S); //从当前节点出发，逐批入栈
         if (S.empty()) break; //直至所有节点处理完毕
         x = S.pop(); visit(x->data); //弹出栈顶节点并讵问
         x = x->rChild; //转向右子树
    }
}

后序遍历的迭代版本

后序遍历为LRV的完全展开，如果有左子树先遍历左子树，遍历完左子树，再遍历右子树，最后访问当前节点。

流程如下，

• 与先序和中序遍历不同，不再只沿着左侧通路，而是优先左侧通路，左侧到头后走右侧，直至叶子节点中最左侧的那个
• 再自底向上，访问沿途各节点

如下图所示，

因为输出是以LRV的次序输出，所以入栈时需按VRL入栈，逆序记录沿途各节点及其右孩子和左孩子，同时，需要判断，代码如下

template  //在以S栈顶节点为根的子树中，找到最高左侧可见叶节点
static void gotoHLVFL(Stack& S) { //沿递所遇节点依次入栈
    while (BinNodePosi(T) x = S.top()) //自顶而下，反复检查当前节点（即栈顶）
        if (HasLChild(*x)) { //尽可能向左
            if (HasRChild(*x)) S.push(x->rChild); //若有右孩子，优先入栈
            S.push(x->lChild); //然后才转至左孩子
        } else //实不得已
            S.push(x->rChild); //才向右
    S.pop(); //返回之前，弹出栈顶的空节点
}

template 
void travPost(BinNodePosi(T) x, VST& visit) { //二叉树的后序遍历（迭代版）
    Stack S; //辅助栈
    if (x) S.push(x); //根节点入栈
    while (!S.empty()) {
        if (S.top() != x->parent) //若栈顶非当前节点的父亲（则必为其右兄），此时需
        	gotoHLVFL(S); //在以其右兄为根的子树中，找到HLVFL（相当于递归深入其中）
        x = S.pop(); visit(x->data); //弹出栈顶（即前一节点的后继），并访问
    }
}

层次遍历

层次遍历，也就是所谓的广度优先遍历，顾名思义，按“先上后下、先左后右”的顺序逐层访问。

如下图所示，

根节点，左孩子，右孩子，左孩子的左孩子，左孩子的右孩子，右孩子的左孩子，右孩子的右孩子……先访问的节点，其孩子在下一层也是先访问，适合使用队列，在节点出列时将其左右孩子入列。代码如下，

template  template  //元素类型、操作器
void BinNode::travLevel(VST& visit) { //二叉树局次遍历算法
    Queue Q; //辅助队列
    Q.enqueue(this); //根节点入队
    while (!Q.empty()) { //在队列再次变空之前，反复迭代
        BinNodePosi(T) x = Q.dequeue(); visit(x->data); //取出队首节点并讵问
        if (HasLChild(*x)) Q.enqueue(x->lChild); //左孩子入队
        if (HasRChild(*x)) Q.enqueue(x->rChild); //右孩子入队
    }
}

小结

二叉树的遍历，

• 先序、中序和后序遍历，是对VLR、LVR和LRV的完全展开
• 递归版本，使用同一模板实现，只是访问当前数据的代码放置位置不同
• 迭代版本，三者均可以通过辅助栈实现，根据VLR、LVR和LRV推导出遍历路径，将该路径上待访问的节点逆序压栈，出栈时需考虑对右子树进行同样的遍历
• 层次遍历，比较简单，使用辅助队列，父辈先访问的，其孩子在子辈也先访问，出列的同时将孩子入列

参考

• 邓俊辉-数据结构