从结构化风险最小化角度理解SVM

        最近在讨论班上，LXH同学讲到Structural SVM with latent variables,最后大家提出了一个问题：他讲的怎么没体现出SVM的思想啊？？

        刚开始我也是这么想的，后来想了一下，也许可以换个角度理解SVM。

        统计学习方法由模型、策略和算法构成。模型是选择一个概率分布模型或者决策函数空间来模拟样本空间。策略是优化模型所用到的目标函数。算法是解决最优化问题的方法。（具体可参见李航《统计学习方法》）

       而SVM的主要思想是“统计学习方法由模型、策略、算法组成，建立一个最优决策超平面，使得分类正负样本距离这个超平面距离最大化。”

                

在这样的思路下，问题就转化成学习求解超平面的问题。即求解如下问题：

MAX（1）

对于非线性可分问题为：

MAX（2）

最优化问题第二项和约束项可以放到一起，用拉格拉日乘子表示为：

（3）

非线性可分问题同样可以表示成这样的形式。

从SVM的发展可以知道，这种模型选择的策略是结构化风险最小化，这就要先说到经验风险。经验风险是指所有样本的损失函数之和，可表示为：

（4）

如果单纯考虑最小化经验风险（4），会导致过拟合问题（特别是样本容量很小时），所以需要加上一个惩罚项，约束模型复杂度，即得到结构化风险：

（5）

采用最小化结构风险（5）可得到经验风险和置信范围最小化的模型。贝叶斯最大后验概率就是结构化风险最小化的一个例子。

从结构风险最小化的角度看SVM，显然，（3）就是最小化结构风险函数，其中第一项是最小化模型复杂性，第二项是经验风险。

然后再看Latent Structural SVM问题，其模型为：

策略是最小化结构风险，最优化问题表达为：

（6）

公式（6）中第二项是经验风险的上界，第一项是与常规SVM相同，是为了最小化模型复杂度，提高模型的泛化能力，防止过拟合。

SVM其实是统计学习方法中的一种，并不仅限于某一种表达形式，它是线性判别中的结构化风险最小化模型。

参考资料见：July博客及其References