雅可比(Jacobi)矩阵与行列式
1.雅可比矩阵与行列式的定义
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设由m个n元函数组成的函数组：
yi=fi(x1,x2,...,xn) (i=1,2,...,m)
如果每一存在，则称m╳n矩阵
为函数组的雅可比矩阵，或称为函数矩阵，记为或
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设由n个n元函数组成的函数组：
yi=fi(x1,x2,...,xn) (i=1,2,...,n)
如果所有一阶偏导数存在，则它的雅可比矩阵的行列式：
称为函数组的雅可比行列式，或称为函数行列式，记为或.
2.雅可比行列式的性质
雅可比行列式有与普通导数相似的一系列性质.
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设在区域D Rn中有函数组：yi=fi(x,x,...,xn) i=1,2,...,n (1)21
在区域PRn中又有函数组：xi=φi(t1,t2,...,tn) i=1,2,...,n (2)
且当点(t1,t2,...,tn)在P中变动时，对应的点(x1,x2,...,xn)不越出区域D.于是有复合函数组：
yi=fi(φ1(t1,t2,...,tn),φ2(t1,t2,...,tn),...,φn(t1,t2,...,tn)) (3)
则函数组（1），（2），（3）之间的雅可比行列式有以下关系：
这个性质是一元复合函数求导法则的推广:
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特别，如果在（2）式中令ti=yi（i=1,2,...,n），则由（3）式
它是一元函数的反函数微分法则
的推广.
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设由以下两个函数组:
yi=fi(x1,x2,...,xn) i=1,2,...,m
xj=φj(t1,t2,...,tm) j=1,2,...,n (m<n)
确定复合函数：
yi=fi(φ1(t1,t2,...,tm),φ2(t1,t2,...,tm),...,φn(t1,t2,...,tm))
则雅可比行列式（假设所有一阶偏导数存在且连续）:
式中(i1,i2,...,im)表示每个ij取1,2,...,n中的一个标号，和号是对所有可能的(i1,i2,...,im)相加.
当m=1时，上面公式就是普通的复合函数求导公式：
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设有2n个变量n个方程组成的方程组
Fi(x1,x2,...,xn;y1,y2,...,yn)=0 ( i=1,2,...,n )
若，
将y1,y2,...,yn看成是由此方程组确定的x1,x2,...,xn的函数，则
这个公式是由F(x,y)=0所确定的隐函数y=f(x)的求导公式：
的推广.
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雅可比行列式可作为坐标变换时面积（体积）元素的伸缩系数.
(1)设ui=ui(x1,x2,...,xn) ( i=1,2,...,n )
是从(x1,x2,...,xn)到(u1,u2,...,un)的坐标变换，
（假设所出现的偏导数在某一区域上都存在且连续），那么有
(2)在R2中，设u=u(x,y)，v=v(x,y)，则
特别，在平面直角坐标系与极坐标系的变换中，x=rcosφ，y=rsinφ，则
(3)在R3中，设u=u(x,y,z)，v=v(x,y,z)，w=w(x,y,z)，则
特别，在直角坐标系与球面坐标系的变换中
x=rsinθcosφ，y=rsinθsinφ，z=r cosθ.
在直角坐标系与圆柱坐标系变换中
x=rcosφ，y=rsinφ，z=z .