雅可比(Jacobi)矩阵与行列式

函数矩阵与行列式(雅可比(Jacobi)矩阵与行列式)

1.雅可比矩阵与行列式的定义

  • 设由mn元函数组成的函数组:

         yi=fi(x1,x2,...,xn)     (i=1,2,...,m)

     如果每一存在,则称mn矩阵

        

     为函数组的雅可比矩阵,或称为函数矩阵,记为或

  • 设由nn元函数组成的函数组:

         yi=fi(x1,x2,...,xn)     (i=1,2,...,n)

     如果所有一阶偏导数存在,则它的雅可比矩阵的行列式:

        

     称为函数组的雅可比行列式,或称为函数行列式,记为或.

2.雅可比行列式的性质

  雅可比行列式有与普通导数相似的一系列性质.

  • 设在区域D Rn中有函数组:yi=fi(x,x,...,xn)     i=1,2,...,n      (1)21

     在区域PRn中又有函数组:xi=φi(t1,t2,...,tn)      i=1,2,...,n      (2)

     且当点(t1,t2,...,tn)P中变动时,对应的点(x1,x2,...,xn)不越出区域D.于是有复合函数组:

            yi=fi(φ1(t1,t2,...,tn),φ2(t1,t2,...,tn),...,φn(t1,t2,...,tn))    (3)

     则函数组(1),(2),(3)之间的雅可比行列式有以下关系:

           

     这个性质是一元复合函数求导法则的推广:

          

  • 特别,如果在(2)式中令ti=yii=1,2,...,n),则由(3)式

          

     它是一元函数的反函数微分法则

           

     的推广.

  • 设由以下两个函数组:

             yi=fi(x1,x2,...,xn)     i=1,2,...,m

             xj=φj(t1,t2,...,tm)      j=1,2,...,n    (m<n)

     确定复合函数:

             yi=fi(φ1(t1,t2,...,tm),φ2(t1,t2,...,tm),...,φn(t1,t2,...,tm))

     则雅可比行列式(假设所有一阶偏导数存在且连续):

           

     式中(i1,i2,...,im)表示每个ij1,2,...,n中的一个标号,和号是对所有可能的(i1,i2,...,im)相加.

     m=1时,上面公式就是普通的复合函数求导公式:

            

  • 设有2n个变量n个方程组成的方程组

             Fi(x1,x2,...,xn;y1,y2,...,yn)=0     ( i=1,2,...,n )

     若,

     y1,y2,...,yn看成是由此方程组确定的x1,x2,...,xn的函数,则

            

     这个公式是由F(x,y)=0所确定的隐函数y=f(x)的求导公式:

            

     的推广.

  • 雅可比行列式可作为坐标变换时面积(体积)元素的伸缩系数.

     (1)ui=ui(x1,x2,...,xn)    ( i=1,2,...,n )

        是从(x1,x2,...,xn)(u1,u2,...,un)的坐标变换,

            

       (假设所出现的偏导数在某一区域上都存在且连续),那么有

            

     (2)R2中,设u=u(x,y)v=v(x,y),则

            

        特别,在平面直角坐标系与极坐标系的变换中,x=rcosφy=rsinφ,则

       

     (3)R3中,设u=u(x,y,z)v=v(x,y,z)w=w(x,y,z),则

            

        特别,在直角坐标系与球面坐标系的变换中

              x=rsinθcosφy=rsinθsinφz=r cosθ.

            

        在直角坐标系与圆柱坐标系变换中

             x=rcosφy=rsinφz=z  .

             

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