每日一问之二元分类为什么使用 sigmoid 函数

说说 sigmoid 函数为什么用于二分类问题？

之前在学习 《Pattern Recognition and Machine Learning》这本书的时候，写笔记的时候，记录了 sigmoid 函数的推导，今天专门单拎出来从下面几个方面再总结一遍，再讲的细致一点。

• 伯努利实验
• 伯努利分布
• 二元分类
• 指数族函数
• sigmoid 函数的推导

伯努利实验

在介绍伯努利分布之前，先介绍一个有名的实验 – 伯努利实验。在概率统计理论中，伯努利试验是一个随机实验，恰好有两种可能的结果，即 “成功” 和 “失败”，其中每次实验时成功的概率都是相同的。比如，对于一个随机变量 x，随机变量只能有两个值，一个结果是 x = 1，另一种结果是 x = 0；两种结果对应的概率为：$$P(x=1|\mu )=\mu ，P(x=0|\mu )=1-\mu$$在日常生活中，抛硬币就是一个伯努利实验，其只有两个结果，正面或者反面。

伯努利分布

伯努利分布（Bernoulli distribution），又称为两点分布或者 0-1 分布。它是一个离散概率分布，来源于伯努利实验。当随机变量 x 的值为 1 时，及伯努利实验成功的时候，概率为 p；当随机变量 x 的值为 0 时，即伯努利实验失败的时候，概率为 1 - p。即满足下面式子：
$$P(x=1|\mu )=\mu ，P(x=0|\mu )=1-\mu$$ $$0<=\mu <=1$$
两个式子结合一下就是下面这个公式：
$$Bern(x|\mu )={\mu }^x(1-\mu {)}^{1-x}$$
在伯努利分布中，其期望和方差如下：

$$E[x]=\mu ，var[x]=\mu (1-\mu )$$

二元分类

在深度学习中，最著名的二元分类的例子，就是吴恩达大神的鉴别图像中有无猫的例子了。在该例子中，如果一个图像中有猫，则结果输出结果为 1；如果图像中没有猫，则输出结果为 0。可以发现这个例子，或者说所有的二元分类都可以看成是伯努利分布，因为二元分类只输出两种结果。

指数族分布

再耐心一点点，铺垫就要完成了。在推导 sigmoid 函数之前。再提一下指数族分布的概念。

指数族分布（Exponential family Distribution ）是在给定参数 η 后，基于 x 的分布。定义式如下所示：
$$p(x|\eta )=h(x)g(\eta )exp\left\{{\eta }^T\mu (x)\right\}$$ 其中 x 可以为标量也可以为向量，可以是离散的，也可以是连续的。η 表示分布的自然参数。μ(x) 是关于 x 的函数。函数 g(η) 可以解释为确保分布标准化的系数，它满足下面式子：
$$g(\eta )\int h(x)exp\left\{{\eta }^T\mu (x)\right\}dx=1$$

没有懂也没关系，主要的是公式，后面会用于推导。

sigmoid 函数的推导

在做二元分类或者逻辑回归的时候，我们都会使用 sigmoid 这个函数作为激活函数，但知道为什么使用 sigmoid 函数吗？现在我们看看 sigmoid 函数的推导过程，就可以理解了。

再次回到伯努利分布的式子：$$p(x|\mu )={\mu }^x(1-\mu {)}^{1-x}$$
将其 log 化后，再以指数函数进行转换可以得到（用另一种表达形式）：
$$p(x|\mu )=exp\left\{xln\mu +(1-x)ln(1-\mu )\right\}=(1-\mu )exp\left\{xln\frac{\mu }{1-\mu }\right\}$$ $$p(x|\eta )=h(x)g(\eta )exp\left\{{\eta }^T\mu (x)\right\}$$ 将该式子与下面的指数族函数公式对比，发现是符合指数族分布的特征的。其中，因为 μ(x) 是关于 x 的函数，所以，可以得出 η = ln(μ/1-μ)，再将其转换回指数函数的类型，可以得到：e^η = μ/1-μ。最后可以得出求解概率参数 μ 的式子：μ = 1/(1+e^-η)， 其范围也符合 0 <= μ <= 1 。这个式子是不是很熟悉，这个就是我们一直使用的 sigmoid 函数。

用 σ(η) 来表示 sigmoid 函数，即为 σ(η) = 1/(1+e^-η)。所以伯努利分布也可以表示成这样：$$p(x|\eta )=\sigma (-\eta )exp(\eta x)$$
根据公式也能发现这样的特性：1 − σ(η) = σ(−η)，所以指数族分布的相关函数可以表示成：μ(x) = x ；h(x) = 1；g(η) = σ(−η)。

以上过程，可以自己按照公式推一遍，就会恍然大悟(x)。

同样地，使用相同的方法，也可以推导出 softmax 函数。这个明天或者后天会整理。

P.S：文中有错欢迎指出，互相学习。以及欢迎关注我的公众号 ?