椭圆曲线的基础知识

1.名词说明

椭圆曲线离散对数（ESCDP): 离散对数问题是寻找到一个整数指数，对于整数和素数的一个原根,使得。椭圆曲线上离散曲线是阶的椭圆曲线，点在椭圆曲线上，对于椭圆曲线上的点，寻找，使得。

椭圆曲线点乘 : 椭圆曲线上的点，和正整数，可以得出,称为椭圆曲线的点乘运算，也能够被称为标量积。

椭圆曲线的阶：上椭圆曲线E中的点数

椭圆曲线点的阶：令的最小整数。

Hasse定理：椭圆曲线上的点数满足

2.椭圆曲线

设是一个域，域上的点集满足方程Weierstrass方程：

其中, 其中为无穷远点。则域K上的椭圆曲线的标准式子为Weierstrass方程。

设椭圆曲线E是如下方程:

可以知道椭圆曲线E是齐次方程，且满足，因而椭圆曲线上的每一个点都是光滑的。利用matla,如图2.1，就是椭圆曲线在实数域上的实例

 

                                  图2.1：椭圆曲线例子

而如图2.2则非实数域上的椭圆曲线,每一个点都是光滑的条件不满足。

                           图2.2：非椭圆曲线例子

在进行椭圆曲线的研究中，采用如下形式的weierstrass方程,当特征域不为2,3,方程为：.

3.椭圆曲线阿贝尔群

定义椭圆曲线为，椭圆曲线上的运算法则记为。

运算法则[2]：椭圆曲线E上的P,Q两点，L是过P，Q两点（如果P=Q，那么L是椭圆曲线上的切线），与椭圆曲线交于R’,过R’做平行于y轴的直线，则与椭圆曲线E相交于点R，

如图2.3椭圆曲线的运算法则示意图如下：

 

                                    图2.3椭圆曲线运算法则

因此椭圆曲线:上有如下的运算法则

    a.  椭圆曲线上的直线过，且为无穷远点，则

    b. 

    c.

    d.设,存在椭圆曲线上的一点,则

    e.

    f.，则

其中：

因而椭圆曲线E上的运算法则构成了Abel群。

  示例： 有限域上一条椭圆曲线

上方程：,则上的点是（0,1），（0,18），（2,7），（2,12），（5,6），（5,13），（7,3），（7,16），（9,6），（9,13），（10,2），（10,17），（13,8），（13,11），（14,2），（14,17），（15,3），（15,16），

（16,3），（16,16）

椭圆曲线的离散点群如图3.1所示

，

                                图3.1：椭圆曲线离散点

a)取

b)取

                                                 图3.1：标乘p的值