人智导（四）：约束满足问题

人智导（四）：约束满足问题

约束满足问题(Constraint Satisfaction Problem)

• 一种结构化的、简单而标准模式的问题表示
• 状态被描述为一系列变量$X_i$（对应的值域为$D_i$）
• 目标测试：一个约束集，描述这些变量或子集允许的取值

CSP问题的定义

约束满足问题的定义：

• 变量集合：$\{X_1,X_2,\dots ,X_n\}$；约束集合：$\{C_1,C_2,\dots ,C_n\}$。$X_i$对应的值域为$D_i$；$C_i$为一些变量间的约束关系。
• 一个状态：部分或全部变量的一个赋值
• 完全赋值：每个变量都进行赋值（完全状态complete state）
• 问题的解：满足所有约束的完全赋值

约束满足问题：地图着色(map coloring)

如图

• 状态变量：WT, NT, Q, NSW, V, SA, T
• 值域：$D=\{red,green,blue\}$
• 约束：相邻区域必须用不同颜色标识
  • 隐式描述：$WA\ne NT$
  • 显式描述：$(WA,NT)\in \{(red,green),(red,blue),\dots \}$
• 问题的解是满足约束的变量赋值，如：
  $\{WA=red,NT=green,Q=-red,NSW=green,V=red,SA=blue,T=green\}$

约束满足问题：八皇后问题

约束规则：同一行或同一列、或统一斜线上不能有两个或以上的Queens
形式化描述：

• 变量：$X_{ij}$
• 值域：$\{0,1\}$
• 约束：
  • $\forall i,j,k(X_{ij},X_{ik})\in \{(0,0),(0,1),(1,0)\}$
  • $\forall i,j,k(X_{ij},X_{kj})\in \{(0,0),(0,1),(1,0)\}$
  • $\forall i,j,k(X_{ij},X_{i+k,j+k})\in \{(0,0),(0,1),(1,0)\}$
  • $\forall i,j,k(X_{ij},X_{i+k,j-k})\in \{(0,0),(0,1),(1,0)\}$

约束满足中的变量与约束

• 变量种类：离散变量 vs 连续变量（现实世界中许多问题涉及实数型变量）
• 约束种类：
  • 一元约束：如$SA\ne green$
  • 二元约束：如$SA\ne WA$
  • 多元约束：涉及三个以上变量的高阶约束
• 目标测试：检查是否满足所有约束条件

CSP问题的解决

标准搜索方法解决CSP问题

• CSP问题表示：状态(state)通过变量赋值来定义
  • 初始状态：没有任何赋值{}
  • 后继函数：对一个未有值的变量赋值，不违反约束条件
  • 目标测试：当前状态赋值已完备，并且满足所有约束
  • 路径代价可把每一步代价作为常数（例如取值为1）
• CSP问题的解：必须是一个满足约束的完全赋值，若有n个变量，n也就是解的路径深度

回溯搜索算法

思路：

• 无信息搜索算法解决CSP
• 一次只给一个变量赋值
• 过程中每步都检测是否满足约束（不与之前赋值相冲突）
  算法：

Function BACKTRACKING-SEARCH (csp) returns solution or failure
	return RECURSIVE-BACKTRACKING({},csp)
Function RECURSIVE-BACKTRACKING(assignment, csp) returns solution or failure
	if assignment is complete then return assignment
	var <--- SELECT-UNASSIGNED-VARIABLE(VARIABLES[csp],assignment, csp)
	for each value in ORDER-DOMAIN-VALUES(var assignment, csp) do
		if value is consistent with assignment given CONSTRAINTS[csp] then
			add{var = value} to assignment
			result <--- RECURSIVE-BACKTRACKING(assignment, csp)
			if result != failure then return result
			remove {var = value} from assignment
	return failure

深度优先搜索+有序变量赋值+违反约束即失败
启发式：优先选择合法取值最少变量（最受约束变量）
标准问题求解与完全状态问题对比

• CSP标准的问题求解：如何发现动作序列，一步一步地达到目标
  • 看作是规划(plan)问题
  • 达到目标的途径是重要的
• CSP解决完全状态问题：如何发现满足约束的完全赋值
  • 看作是识别(Identification)问题
  • 目标本身是重要的，而途径不是

完全状态问题

局部搜索：问题的完整状态(complete-state)形式表示

• 初始状态：每个变量均被赋值
• 后继状态：每次改变一个变量的值
• 直到发现满足约束的解

如下图：

初始状态违反了约束，采用局部搜索来消除违反的约束
算法：最小冲突算法Min-Conflict

Function MIN-CONFLICTS(csp, max_steps) returns a solution or failure
	inputs:csp
	       max_steps //最大尝试次数
	current <--- an initial complete assignment for csp
	for i=1 to max_steps do
		if current is a solution for csp then return current
		var <--- a randomly chosen conflicted variable from csp.VARIABLES
		value <--- the value v for var that minimizes CONFLICTS(var, v, current, csp)
		set var = value in current
	return failure

最小冲突算法：每一步搜索为一个变量赋予新值，启发式是新值必须与其他变量相冲突的数目最小化。
爬山或模拟退火等局部搜素可以被应用于目标优化。

总结

局部搜索问题

• 局部搜索：只关心目标状态本身，而非达到目标的途径
• 仅需少量存储空间，适于处理大规模的、甚至是连续状态空间的目标搜索状态
• 完全状态(complete state)的形式化描述问题，诸如布局、调度、最优化问题等方面应用
• 爬山搜索算法、模拟退火算法、局部集束算法
  约束满足问题
• 从数学意义上定义一种简单而标准模式的问题形式化表示
• 完全状态(complete state)的形式化，状态由一组变量表示
• 约束满足问题求解：回溯搜索（标准搜索），最小冲突搜索（局部搜索）