图论与代数结构

基本概念

图的概念

多重图：含有重边的图

$d^{+}(v)$：出度

支撑子图：$G^{\prime }$是$G$的子图，且满足$V^{\prime }=V$

导出子图：$G^{\prime }$是$G$的子图，$E^{\prime }$包含$G$在$V^{\prime }$中所有的边

$G_1\oplus G_2=(V_1\cup V_2,E_1\oplus E_2)$

$G$的补图$\overline{G}$：$K_n-G$

点v的直接后继集：${\Gamma }^{+}(v)=\{u|(v,u)\in E\}$

图同构的必要条件：$|V_1|=|V_2||E_1|=|E_2|$ 结点度的非增序列相同 存在同构的导出子图

图的代数表示

1.邻接矩阵

2.权矩阵

3.关联矩阵

有向图：
$$b_{ij}=\{\begin{array}{cc}1& e_j=(v_i,v_k)\in E\\ -1& e_j=(v_k,v_i)\in E\\ 0& default\end{array}$$
无向图：
$$b_{ij}=\{\begin{array}{cc}1& e_j=(v_i,v_k)or(v_k,v_i)\in E\\ 0& default\end{array}$$
4.边列表

5.正向表：使用以下方法表示E={(1,2),(1,3),(1,4),(4,2),(4,4),(6,4)}
$$\left[\begin{array}{cccccc}{v}_1& v_2& v_3& v_4& v_{end}& \\ 1& 4& 6& 7& 7& \\ 2& 3& 4& 2& 4& 4\end{array}\right]$$
6.逆向表

7.邻接表：使用链表存储一个节点的直接后继集

道路与回路

道路与回路

简单有向道路/回路：边不重复

初级有向道路/回路：点不重复

有向图的连通性：先转换为无向图，然后判断连通性

道路与回路的判定

Warshall算法

P=A;
for(int i=1;i<=n;i++)
	for(int j=1;j<=n;j++)
		for(int k=1;k<=n;k++)
			P[j][k]=P[j][k]|(P[j][i]&P[i][k]);

欧拉道路与回路

无向连通图$G$存在欧拉回路的充要条件是$G$中结点的度都是偶数

充分性证明：每次构造出一条回路，并删去回路上的边，将构造出的回路取并集

有向连通图$G$中各结点正负度相同，则存在有向欧拉回路

设$G$中有k个度为奇数的点，则$E$可以划分为$\frac{k}{2}$条简单道路

哈密顿回路

定理：对于简单图$G$中任意两点$v_i,v_j$，有$d(v_i)+d(v_j)\ge n-1$则$G$中存在哈密顿道路

证明：

(1)$G$是连通图：若存在两个连通支，每个连通支中取一点，考虑度数和，矛盾

(2)$G$存在Hamilton道路

设$(v_{i1}...v_{il})$是一条极长的初级道路，则$v_{i1}$与$v_{il}$所有邻点都在道路上，若$l<n$，则一定存在经过$v_{i1}...v_{il}$的初级回路，由连通图，存在不在回路上且与回路上点$v_{ix}$相邻的点$v_j$，在回路上拆掉一条边并加上这条边$(v_{ix},v_j)$即可

推论：对于简单图$G$中任意两点$v_i,v_j$，有$d(v_i)+d(v_j)\ge n$则$G$中存在哈密顿回路

证明：由定理，$G$有H道路，设端点为$v_1,v_n$，若$G$不存在$H$回路，一定有$d(v_1)+d(v_n)\le n-1$

引理：$G$是简单图，$v_i,v_j$是不相邻的节点，且满足$d(v_i)+d(v_j)\ge n$，则$G$存在H回路的充要条件是$G+(v_i,v_j)$有H回路

证明：假设不存在，则$G+(v_i,v_j)$的H回路一定过$(v_i,v_j)$，删去后存在H道路，又有$d(v_i)+d(v_j)<n$

闭合图$C(G)$：简单图$G$中不相邻的点$v_i,v_j$，若$d(v_i)+d(v_j)\ge n$，令$G^{\prime }=G+(v_i,v_j)$，直到不可做为止，闭合图唯一

定理：简单图$G$存在H回路的充要条件是$C(G)$存在H回路

旅行商问题

寻找权值最小的H回路

分支定界法

1.对边权值排序，在边权序列中选择n条边，判断是否构成H回路

2.删除当前待选边集中的最长边，加入后面第一条待选边，剪支

3.回溯

便宜算法(近似算法)

1. 开始时，T是结点1的自环

2. 每次选择不在环上与环最近的一个点，拆分掉相邻的两条边中较短的一条，将该点和与环相连的边加入到环上

3. 重复直到包含所有节点

设旅行商问题最佳解释$O_n$，便宜算法的解是$T_n$，则$\frac{T_n}{O_n}<2$

最短路径

//dfs_spfa
bool dfs_spfa(int x)
{
    vis[x]=1;
    for(int t=head[x];t;t=data[t].ne)
    {
        int y=data[t].b;
        if(dis[y]>dis[x]+data[t].c)
        {
            dis[y]=dis[x]+data[t].c;
            if(vis[y]||dfs_spfa(y))
            {
                vis[x]=0;
                return 1;//存在负权圈
            }
        }
    }
    vis[x]=0;
    return 0;
}

void bfs_spfa()
{
    queueq;
    memset(dis,0x7fffffff,sizeof dis);
    memset(inq,0,sizeof inq);
    q.push_back(S);dis[S]=0;inq[S]=1;
    while(!q.empty())
    {
        int x=q.front();q.pop();inq[x]=0;
        for(int t=head[x];t;t=data[t].ne){
            int y=data[t].b;
            if(dis[x]+data[t].c

在负权边较少的情况下，忽略负权边跑dijkstra，通过dijkstra算法给出跑Bellman-Ford算法的结点序

关键路径

PT图：结点表示工序，边表示依赖关系，边$e_{ij}$的权$w_{ij}$表示工序i的时长

设$v_1...v_n$是拓扑排序后的点的顺序，不妨设$v_1$是唯一入度为0的点，$v_n$是唯一出度为0的点

最早启动时间：$v_1$到$v_i$的最长路

最晚启动时间：工程所用时间 - $v_i$到$v_n$的最长路

PERT图：有向边表示工序，权值表示所需时间，若工序$e_i$完成$e_j$才开始，令$v_k$是$e_i$的终点，$e_j$的起点

最早启动时间：$v_1$到$v_i$的最长路

最晚启动时间：工程所用时间-$v_j$到$v_n$的最长路-$w(i,j)$

中国邮路问题

正权连通图G中，求从某个节点出发经过每条边至少一次最后返回出发点的最短回路

定理：L是无向连通图G最佳邮路的充要条件是

1.G的每条边至多重复一次

2.G的任意一个回路上，重复边长度之和不超过该回路长度的一半

无向图中邮路问题：

找出所有度数为奇数的点，求出两两之间的最短路，然后求出最小权匹配

树

给定图$G$的一棵树$T$，称$G-T$为余树，记作$\overline{T}$

基本关联矩阵及其性质

基本关联矩阵：有向图连通$G=(V,E)$的关联矩阵$B$中划去任意节点$v_k$所对应的行，得到的$(n-1)\times m$的矩阵$B_k$称为$G$的一个基本关联矩阵

定理：设$B$是有向连通图$G$的关联矩阵，则$rankB=n-1$

证明：只需证$rankB\ge n-1$，设B中最少的线性相关的行数为l，不妨设为第$i_1...i_l$行，则有$k_1{r}_{i_1}+k_2{r}_{i_2}+...k_l{r}_{i_l}=0$，其中$k_i\ne 0$，在矩阵B中，每列有两个非零元，则这$l$个向量$r_{i_1}...r_{i_l}$中每行至多两个非零元，若存在一行只有一个非零元，则矛盾，现在将B中行行交换，列列交换，则使这$l$行交换到前$l$行，则将每列都有的两个非零元交换到前$r$列，则矩阵B变为
$$B^{\prime }=\left[\begin{array}{cc}{P}_{l\times r}& 0\\ 0& Q_{(n-l)\times (m-r)}\end{array}\right]$$
若$n\ne l$，则图G为非连通图，矛盾

推论：$n$个节点树$T$的基本关联矩阵的秩是$n-1$

定理：设$B_k$是连通图$G$的基本关联矩阵，$C$是$G$中的一个回路，则$G$中各边所对应$B_k$的各列线性相关

定理：令$B_k$是有向连通图$G$的基本关联矩阵，那么$B_k$的任意$n-1$阶子阵行列式非零的充要条件是其各列所对应的边构成$G$的一棵支撑树

支撑树的计数

定理：设$B_0$是有向图$G$关联矩阵$B$的任意一个$k$阶子方阵，则$det(B_0)=0/1/-1$

Binet-Cauchy Theory：已知矩阵$A=(a_{ij}{)}_{m\times n}$ $B=(b_{ij}{)}_{n\times m}$ 满足$m\le n$ 则$|AB|={\sum }_i|A_i||B_i|$ ，其中$A_i{B}_i$都是m阶行列式，$A_i$是从$A$中取不同的$m$列所成的行列式，$B_i$同理

定理：设$B_k$是有向连通图$G=(V,E)$某一基本关联矩阵，则$G$的不同树的数目是$det(B_k{B}_k^T)$

无向图生成树计数：对每边任给一方向即可

基尔霍夫定理：设无向图的Laplace矩阵(度矩阵-邻接矩阵)是Q，则$Q^{\ast }$(Q中去掉任一第i行第i列)的行列式的值即为生出树个数

有根树的计数：

​ 任何以$v_0$为根的有根树的基本关联矩阵$B_0$中一定是每行每列都只有一个-1元素

​ 经过点和边的重编号，可以将$B_0$化为上三角矩阵，且对角线上都是-1

​ 将$B_0$中元素1变为0，行列式的值不变，若T不是根树，则行列式的值为0，因此有定理：有向连通图$G$中以$v_k$为根的根树数目是$det(B_k{B}_k^T)$，其中$B_k$为$B_k$中所有1元素变为0

回路矩阵与割集矩阵

回路个数：最多为$2^{m-n+1}-1$个不同的初级回路

给定回路C的参考方向，与回路参考方向相同的边称作正向边，否则称作反向边

完全回路矩阵：C
$$C_{ij}=\{\begin{array}{cc}1& e_j\in C_i且为正向边\\ -1& e_j\in C_i且为反向边\\ 0& default\end{array}$$
基本回路矩阵：$C_{f(m-n+1)\ast m}$

考虑每条余数边与支撑树上的若干条边构成唯一回路，参考方向为余数边的方向

易知，$rank{C}_f=m-n+1$

将余数边放在前面，且次序与它所构成的回路一致，则可以写成
$$C_f=\left[\begin{array}{cc}I& C_{f12}\end{array}\right]$$
定理：设有向连通图$G$的关联矩阵$B$与完全回路矩阵$C_e$的边次序一致时，恒有$B{C}_e^T=0$

定理：完全回路矩阵$C_e$的秩是m-n+1

证明：易知$rand{C}_e\ge m-n+1$，由Sylvester定理，$randB+rand{C}_e\le m$ ，得证

定义：由连通图G中m-n+1个互相独立的回路组成的矩阵，称为G的回路矩阵，记为C

性质：$C=P{C}_f$其中P为可逆矩阵

定理：连通图G的回路矩阵C任一m-n+1阶子阵行列式非零，当且仅当这些列对应了一棵余树

定理：若有向连通图$G=(V,E)$的基本关联矩阵$B_k$与基本回路矩阵$C_f$的边顺序一致，设$C_f=(I,C_{f12})$，$B_k=(B_{11},B_{12})$，则有$C_{f12}=-B_{11}^T{B_{12}^T}^{(-1)}$

定义：设S是有向图G=(V,E)的边子集，若同时满足：G’=(V,E-S)比G的连通支数多1，对任意$S^{\prime }\subset S$，G与G’’=(V,E-S’)的连通支数相同，则称S是G的一个割集

完全割集矩阵：$S_e$
$$S_{ij}=\{\begin{array}{cc}1& e_j\in S_i且方向一致\\ -1& e_j\in S_i且方向相反\\ 0& default\end{array}$$
基本割集矩阵：$S_f$

考虑每条树边与若干余树边构成的的割集

易知，$rand{S}_f=n-1$

将余数边对应的列放在前，树边对应的列放在后且与割集顺序一致
$$S_f=\left[\begin{array}{cc}{S}_{f11}& I\end{array}\right]$$
定理：设有向连通图$G$的完全割集矩阵$S_e$与完全回路矩阵$C_e$的边次序一致时，恒有$S_e{C}_e^T=0$

定理：完全割集矩阵$S_e$的秩是n-1

定理：割集矩阵S的任一n-1阶子阵行列式非零，当且仅当这些列对应G的某棵树

定理：若有向连通图$G=(V,E)$的基本割集矩阵$S_f$与基本回路矩阵$C_f$的边顺序一致，设$C_f=(I,C_{f12})$，$S_f=(S_{f11},I)$，则有$S_{f11}=-C_{f12}^T$

平面图与图染色

平面图：若能把图G画在一个平面上，使任何两条边不相交，则称G为可平面图

域：设G是一个平面图，由它的若干边所构成的一个区域，区域内不含任何结点及边

域的相邻：两个域之间存在公共边界

欧拉公式：$V+F=E+2$

对于拥有k个连通支的情况，有$V-E+F=k+1$

定理：设平面图没有割边，且每个域的边界数至少为$t$，则$m\le \frac{t(n-2)}{t-2}$

极大平面图：在任意两点之间加一条边一定会破坏图的平面性

极大平面图的性质：连通，不存在割边，每个域的边界数为3

定理：$m=3n-6d=2n-4$

推论：简单平面图$m\le 3n-6d\le 2n-4$

非平面图：

​ 点数最少非平面图$K_5$

​ 边数最少的非平面图$K_{3,3}$

​ 证明：图中没有$K_3$子图，则$m\le 2n-4$

设$K_5$为$K^{(1)}$图，$K_{3,3}$为$K^{(2)}$图，在$K^{(1)}$型图与$K^{(2)}$型图的边上加一些点，称为$K$型图

Kuratowski定理：图可平面化$\iff$图不存在K型子图

图的平面性检测

对图G的每个连通支分别预处理和检测

预处理：删除割点，化为多个双联通分量，移去自环，用边代替度为2的点，移去重边

简单判断：$n<5$ $m<9$ $m>3n-6$

对偶图

注意一条边在域中时对偶图中有自环

性质：对平面图G，对偶图G*存在且唯一

性质：对偶图G*一定是连通图

性质：平面连通图的对偶图的对偶图是原图

注意：对偶图的对偶图不一定为原图，且对偶两次后点数边数可能发生变化(孤立点)

性质：设C是平面图G的初级回路，则对偶后为一割集

性质：G有对偶图当且仅当G可平面

四色猜想：在平面图上对域使用四种颜色进行着色，存在一种着色方案使得无相邻两个域使用同种颜色着色

定理：任意简单平面图都可以进行节点五着色

证明：数学归纳法，平面图一定存在一个节点度数<6

定理：若存在哈密顿回路，则四色问题成立

3-正则平面图：每个节点的度都是3

定理：若任何一个3-正则平面图的域可四着色，则任意平面图的域也可以四着色

任意平面图$\Rightarrow$3-正则平面图：将度数大于3的节点变成环，然后将每条边与环上点相连

色数与色数多项式

G的点着色数：给定图G，满足相邻节点颜色不同的最少色数，记作$\gamma (G)$

G的边着色数：给定图G，满足相邻边颜色不同的最少色数，记作$\beta (G)$

易知，将边用点代替并在相邻边对应的点之间连边，$\beta (G)$可以转换为$\gamma (G^{\prime })$

定理：非空图$G$，$\gamma (G)=2$当且仅当G没有奇回路

定理：平面连通图域可二着色当且仅当连通图G有欧拉回路

定理：对于任意一个图G，$\gamma (G)\le d_0+1$，$d_0=\max d(v_i)$

匹配与网络流

定理：M是G的最大匹配当且仅当G中不存在关于M的可增广道路

Hungary算法：

输入为二分图 G=(X,Y,E);
结点标记
	0：表示尚未搜索
	1：表示饱和点
	2：表示无法扩大匹配的点（仅对X中的结点）
1.任给初始匹配M，给饱和点“1”标记
2.判断X各结点是否都已有非零标记
	是， M是最大匹配，结束
	否，找一个“0”标记点x0∈X, 开始本次搜索
		令U←{x0}，为本次搜索的X结点集
		令V←Φ，为本次已检查过的Y结点集
3.判断集合U的邻接点集Γ(U)=V?
	是，x0无扩大匹配，标x0为“2”，转2
	否，在Γ(U)-V中找一点yi，判断yi是否标记“1”（即饱和点）
		饱和点：存在xi使得边(xi,yi)∈M，令U←U+{xi}，V←V+{yi}，转3
		非饱和点：存在从x0到yj的可增广路P，令M←M xor P，给x0,yi标记1，转2

bool path(int x)
{
    for(int t=head[x];t;t=da[t].ne)
    {
        int y=da[t].b;
        if(!flag[y])
        {
            flag[y]=1;
            if(!closed[y]||path(closed[y]))
            {closed[y]=x;return true;}
        }
    }
    return false;
}
int hungery()
{
    memset(closed,0,sizeof closed);
    int ans=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        memset(flag,0,sizeof(flag));
        if(path(i))ans++;
    }
   	return ans;
}

Hall定理：在二分图G=(X,Y,E)中，X到Y存在完全匹配的充要条件是对于X的任意子集A，恒有|Γ(A)|≥|A|

推论：若二分图G=(X,Y,E)的每个结点xi∈X，都有d(xi)≥k，每个结点yj∈Y，都有d(yj)≤k，则X到Y存在完全匹配

定理：在二分图中，$X$到$Y$的最大匹配数是$|X|-\delta (G)$，其中$\delta (G)={\max }_{A\subseteq X}|A|-|\Gamma (A)|$

将二分图中边用邻接矩阵表示，记作A

覆盖：适当地选取A的某些行和列，使这些行和列能盖住A的全部非零元，称为A的覆盖

最小覆盖：如果选取最少的行与列就能覆盖A的全部非零元，则称这样的覆盖为最小覆盖

定理：二分图的最大匹配数，与其邻接矩阵的最小覆盖数s相等

最佳匹配：如果边权是非负实数，而且存在多个完全匹配，那么其中权和最大或最小的完全匹配就叫最佳匹配

最大权匹配算法：已知利润矩阵C

1.在C的每行中选一最大值作为本行的界值l(xi)，每列的界值l(yj)=0，构造矩阵B=(bij)n×n，其中bij=l(xi)+l(yj)-cij
2.在B中对0元素进行最小覆盖，覆盖数为r
	若r=n，转4
	在未覆盖的元素中选最小非零元δ
	若xi行，yj列均已覆盖，则bij←bij+δ
	若xi行，yj列均未覆盖，则bij←bij-δ
3.修改界值
	若xi行没覆盖，则l(xi)←l(xi)-δ
	若yj列已覆盖，则l(yj)←l(yj)+δ
	删除覆盖标记，转2
4.sum(l(xi)+l(yj))即为最大权，结束

网络流

Edmonds-Karp算法 O(nm^2)
给S标号(-1,inf)
按先标号先检查的顺序，选择标号最早但尚未检查过的节点u，若所有节点都检查过，转line 6否则对u所有未标邻点v，若能通过正向边或反向边标号，则标号
若T得到标号，反向增广，否则转line 3
重新开始标号，转line 2
结束

图的连通性

定理： 设G是至少有3个结点的连通图，则下述性质等价

·G是一个块（无割点）

·G的任何两结点属于某一初级回路

·G的任何一个结点和任何一条边同属于某一初级回路

·G的任何两条边属于某一初级回路

·给定两个结点u,v和一条边e，存在一条包含e的初级道路$P_{uv}$

·对G的任意三个不同结点（及其顺序），存在一条包含它们的初级道路

·对G的任意三个不同结点（及其顺序），存在一条只包含其中两点而不含第三点

定义：连通图G在移去若干结点之后至少分为两个连通子图或剩下一个孤立结点，则这些结点的集合称为G的一个点断集或断集，记为A，称$\kappa (G)=\min |A|$为断量

定义：如果连通图G移去若干条边之后变为非连通的，则这些边的集合称为G的一个边断集，记为B，并称$\lambda (G)=\min |B|$为边断量

定理：连通图G中，有$\kappa (G)\le \lambda (G)\le \delta (G)$，其中$\delta (G)$是节点的最小度

定义：G是连通图，任给定$k\ge 1$，当$\kappa (G)\ge k$时，称G是k连通图（最少要去掉k个点才能不连通），类似地，$\lambda (G)\ge k$时，称为k边连通图

定理：简单图G中有$\kappa (G)\le \lceil \frac{2m}{n}\rceil$

对于一个k连通简单图，如果令f(k,n)表示其边数目m，不等式$f(k,n)\ge \lceil \frac{kn}{2}\rceil$

取等条件：哈拉里构造方法，设节点为$v_0...v_n-1$

·k=2r，若$i-j\le r(modn)$，则$(v_i,v_j)\in E$

·k=2r+1且n=2l，若$i-j\le r(modn)$，则$(v_i,v_j)\in E$，若$i-j=l(modn)$，则$(v_i,v_j)\in E$

·k=2r+1且n=2l+1，若$i-j\le r(modn)$，则$(v_i,v_j)\in E$，若$i-j=l+1(modn)$，则$(v_i,v_j)\in E$，对剩余的点$v_t$，令$v_t$与满足$t-j=l(modn)$的某点$v_j$相邻

##代数结构

设$R$为等价关系，则$\overline{a}=\{x\in A|xRa\}$

商集：$A/R=\overline{A}=\{\overline{a}|a\in A\}$，其中$\overline{a}$表示a所在的等价类

定理：设f是$A\to B$的一个满射，则f可以确定A的一个等价关系

定理：设f是$A\to B$的满射，则存在唯一的一个双射$f^{\ast }:A/R\to B$，使得$f=f^{\ast }\gamma$，其中$R$是由f确定的等价关系，$\gamma$是$A\to A/R$的自然映射

代数系统

定义：集合A和运算$f_1,f_2,\dots f_s$所组成的系统，称为一个代数系统（或一个代数结构），简称为一个代数，用记号$(A,f_1,f_2,\dots ,f_s)$表示，当A是有限集合时，也称该系统是有限代数系统

定义：在代数系统$(X,\cdot )$中，如果对所有的$x_i,x_j\in X$，有$x_i\cdot x_j=x_j\cdot x_i$成立，则称代数系统$(X,\cdot )$对于二元运算·适合交换律

定义：如果对任意$x_i,x_j,x_k\in X$，$(x_i\cdot x_j)\cdot x_k=x_i\cdot (x_j\cdot x_k)$成立，则称代数系统$(X,\cdot )$对于二元运算·适合结合律

如果$(X,\cdot )$对于·适合结合律，那么也一定适合多个元素的广义结合律，可以在表达式中省略括号，并定义x的n次幂$(n\ge 1)$

定义：给定一个代数系统$V=(X,\cdot )$，如果存在一个元素$e_L$（或者$e_R$）属于X，使得对于任意元素$x\in X$，有$e_L\cdot x=x$（或$x\cdot e_R=x$），称$e_L$（或$e_R$）是X上关于运算·的一个左（或右）单位元，若e既是左单位元又是右单位元，则称之为单位元

定理：若代数系统$V=(X,\cdot )$有左单位元$e_L$，又有右单位元$e_R$，则$e=e_L=e_R$是X唯一单位元

定义：设$V=(X,\cdot )$是有单位元e的代数系统，对于$x\in X$，若存在一个元素$x^{\prime }$，使得$x^{\prime }\cdot x=e$，则称x是左可逆的，并称$x^{\prime }$是x的一个左逆元，若存在$x^{\prime \prime }\in X$，使得$x\cdot x^{\prime \prime }=e$，则称x是右可逆的，并称$x^{\prime \prime }$是x的一个右逆元，若x既是左可逆又是右可逆的，则说x是可逆元

定理：设代数系统$V=(X,\cdot )$具有单位元e，且适合结合律，对于$x\in X$，x有左逆元$x^{\prime }$，又有右逆元$x^{\prime \prime }$，则x有唯一的逆元$x^{-1}=x^{\prime }=x^{\prime \prime }$，并且$(x^{-1}{)}^{-1}=x$

定义： 设$V_1=(X,o_1,o_2,\dots ,o_r)$和$V_2=(X,o_1^{\prime },o_2^{\prime },\dots ,o_r^{\prime })$是两个代数系统，$o_i$和$o_i^{\prime }$都是$k_i$元运算，$k_i$是正整数，$i=1,2,\dots ,r$，则说代数系统$V_1$和$V_2$是同类型的

定义：设$(X,\cdot )$和$(Y,\ast )$是两个同类型的代数系统，$f:X\to Y$是一个双射。如果对任意元a,b属于X，恒有$f(a\cdot b)＝f(a)\ast f(b)$则称f是$(X,\cdot )$到$(Y,\ast )$的一个同构映射，并称$(X,\cdot )$与$(Y,\ast )$同构，用$X≌Y$表示

定义：若以上的f是一般映射，则称f是$(X,\cdot )$到$(Y,\ast )$的一个同态映射，$f(X)\subseteq Y$

定义： 设$(S,\cdot )$是一个代数系统，R是S的一个非空子集，如果R在运算·下是封闭的，则称(R,·) 是$(S,\cdot )$的一个子代数系统或子代数

定理：设映射$f:X\to Y$是从代数系统$(X,\cdot )$到$(Y,\ast )$的一个同态映射，则$(f(X),\ast )$是$(Y,\ast )$的一个子代数，并称$(f(X),\ast )$是在f作用下$(X,\cdot )$的同态象

定义：设$f:X\to Y$是从代数系统$(X,\cdot )$到$(Y,\ast )$的一个同态，如果f是单射，称f是单一同态，f是满射，称f是满同态，用X~Y表示，并称Y是X的一个同态象，当然如果f是双射，它就是同构

定理：给定代数系统$(X,\cdot )$和$(Y,\ast )$，其中·和*都是二元运算。设$f:X\to Y$是从代数系统$(X,\cdot )$到$(Y,\ast )$的满同态，则如果·是可交换的或可结合的运算，则*也是可交换的或可结合的运算；若$(X,\cdot )$中的运算·具有单位元e，则$(Y,\ast )$中运算*具有单位元f(e)，对运算·，如果每一个元素$x\in X$都有逆元$x^{-1}$，则对运算*，每一个元素$f(x)\in Y$都有逆元$f(x^{-1})$

定义：代数系统$(X,\cdot )$上的同态映射$f:X\to X$称为自同态，若f是同构映射，则称之为自同构

半群

半群：满足结合律的代数系统

含幺半群（幺群）：存在单位元的半群

交换幺群：满足交换律的幺群

循环幺群：设$(M,\cdot ,e)$是一个幺群，若存在一个元素$g\in M$，使得对任意$a\in M$，a都可以写成g的方幂形式,即$a=g^m$（m是非负数），则称$(M,\cdot ,e)$是一个循环幺群，g为生成元

定理：循环幺群是可交换幺群

子半群：设$(S,\cdot )$是一个半群，$T\subseteq S$，在运算 · 的作用下如果T是封闭的,则称$(T,\cdot )$是$(S,\cdot )$的子半群

子幺群：设$(M,\cdot ,e)$是一个幺群，$T\subseteq M$，在运算 · 的作用下，如果T是封闭的，且$e\in T$，那么$(T,\cdot ,e)$是$(M,\cdot ,e)$的子幺群

群

群：设G是非空集合，· 是G上的二元运算，若代数系统$(G,\cdot )$满足适合结合律，存在单位元，G中的元素都是可逆元，则称代数系统(G, ·)是一个群。

Abel群：若群G的二元运算 · 满足交换律，则称G是交换群，或者阿贝尔(Abel)群

定义：规定集合G的基数为群$(G,\cdot )$的阶，当阶为某一整数时，该群为有限群；否则为无限群

Klein四元群：满足$x=x^{-1}$

定理：如果幺群M中只有一部分元素可逆，那么M中所有可逆元素构成的子集G是一个群

定理：设半群$(G,\cdot )$有一个左单位元（右单位元）e，且对每一个元$a\in G$，都有左逆元（右逆元）$a^{-1}\in G$，则G是群

定理：设$(G,\cdot )$是半群，如果对G中任意两个元素$a,b$， 从半群到方程$ax=b$和$ya=b$在G中有解，则G是一个群

定义：设a是G中的一个元素，若有正整数k存在,使$a^k=e$，则满足$a^k=e$的最小正整数k称为元素a的阶(或周期)，记为$O<a>$，并称a是有限阶元素

定理：设a是G中一个r阶元素，k是正整数，则$a^k=e$，当且仅当$r|k$， O < a > = O < a − 1 > O=O O<a>=O<a−1>，$r<=|G|$

定理：H是群G的非空子集，则H是G的子群的充要条件：

1. H对G的运算是封闭的，即对于任意的$a,b\in H$，都有$ab\in H$
2. H中有单位元$e^{\prime }$，且$e^{\prime }=e$
3. 对任意的$a\in H$，都有$a^{-1}$ 是a在H中的逆元

定理：G的非空子集H是G的子群的充要条件是：对于任意的$a,b\in H$，都有$a{b}^{-1}\in H$

循环群：若群G中存在一个元素a，使得G中的任一元素g，都可以表示成a的幂的形式，即$G=a_k|k\in Z$，则称G是循环群，记作 < a > <a>，a称为G的生成元

定理：设 G = < a > G = G=<a>，则

1. 若 O < a > = ∞ O = ∞ O<a>=∞，则G中只有生成元a或者$a^{-1}$
2. 若 O < a > = n O = n O<a>=n，则G中有$\phi (n)$个生成元,其中$\phi (n)$是欧拉函数

定理：设 G = < a > G = G=<a>是循环群，循环群的子群H

1. G的子群H都是循环群
2. 若G是无限群,则H（$H\ne \{e\}$）也是无限循环群；若G是有限群，设$|G|=n$，且$a_k$ 是H中a的最小正幂，则$|H|=n/k$

定理：设G是n阶循环群，则对于n的每一个正因子d，G有且只有一个d阶子群

定理：设G是循环群 < a > <a>，a为生成元，若$O = ∞ $，则G与$(Z,+)$同构；若$O = n$，则G与$(Z_n ,+)$同构

定理：设G是一个群，$(G^{\prime },\cdot )$是一个代数系统，若存在G到G’的双射f，且保持运算，即对任意的$a,b ∈ G $，有$f(ab) =f(a)·f(b)$，则G’也是一个群

置换

置换：当|A|=n时，A中的一个一一变换，也称为n元置换

置换群：由置换构成的群

$S_n$：n!个n元置换的集合

n次对称群：$S_n$对于置换乘法构成群，称为n次对称群

n元置换群：n次对称群的子群

轮换：置换$\sigma$满足$\sigma (i_1)=i_2$，$\sigma (i_2)=i_3$，…，称$(i_1{i}_2...i_l)$是一个长度为l的轮换

定义：设$\alpha$ $\beta$是$S_n$中的两个轮换，若$\alpha ,\beta$中的元素都不同，则称$\alpha$与$\beta$不相交

定理：不相交的轮换乘法满足交换律

定理：设$\alpha =(i_1...i_{n_1})(j_1...j_{n_2})...(k_1...k_{n_r})$，则$\alpha$的阶是$n_1...n_r$的最小公倍数

定理：任何置换可以表示为不相交轮换的乘积

定理：任何一个长度为l轮换可以表示为l-1个对换的乘积

例如：$(i_1{i}_2...i_l)=(i_1{i}_l)...(i_1{i}_2)$

定理：不管用什么方法把置换表示成对换之积，所得对换个数奇偶性相同

如果对换数为奇数，则为奇置换，否则为偶置换，$N({\sigma }_1{\sigma }_2)=N({\sigma }_1)+N({\sigma }_2)$

定理：n次对称群$S_n$中所有偶置换的集合，对$S_n$中置换乘法构成子群，记作$A_n$，称为交错群，若$n\ge 2$，则$|A_n|=\frac{n!}{2}$

Cayley定理：任何群G与一个变换群同构

构造变换群：任取$a\in G$，定义$G$上的变换$f_a:x\to axx\in G$

左陪集：设H是群G的一个子群，对任意的$a\in G$，集合$aH=\{ah|h\in H\}$是左陪集

定理：$|aH|=|H|$，$a\in H\iff aH=H$，$\forall x\in aH\Rightarrow xH=aH$，$aH\ne bH\Rightarrow aH\cap bH=\varnothing$，$aH=bH\Rightarrow a^{-1}b\in H\wedge b^{-1}a\in H$

定理：设G是有限群，H是G的子群，则存在正整数k，满足$G=a_{1}H\cup a_{2}H\cup ...a_{k}H$，其中$a_{i}H\cap a_{j}H=\varnothing$

定义：群G关于子群H的左（右）陪集的个数，称为H在G中的指数，记作$[G:H]$

Lagrange定理：群G的阶=子群H的指数*H的阶

推论：设A,B是群G的两个有限子群，则$|AB|=\frac{|A||B|}{|A\cap B|}$

正规子群：设H是G的一个子群，若$\forall a\in G$，都有$aH=Ha$，则称H是G的一个正规子群，用符号$H△G$表示

定义：设H是G的一个正规子群，G/H表示H所有陪集构成的集合，称G/H为G关于H的商群