【数学建模】通过python实现灰色关联度计算

1.关联分析

关联分析主要作用为对系统的因素进行分析，其主要作用为分辨因素中哪些因素对系统的影响是显著的，哪些影响是次要的。通常而言因素分析的主要方式为回归分析等，但其存在数据量要求大，计算量大等诸多问题，为克服以上问题，可采用关联分析进行系统分析。

数据变换方法

在进行系统分析之前，应对原始数据进行数据变换处理，以消除量纲。
数据变换的定义：

设有序列
$x=(x(1),x(2),\cdots ,x(n))$
则称映射：
$f:x\to y$
$f(x(k))=y(k),k=1,2,\cdots ,n$
为序列$x$到序列$y$的数据变换。

常见的数据变换方法有：
（1）初始化变换：
$f(x(k))=\frac{x(k)}{x(1)}=y(k),x(1)\ne 0$

（2）均值化变换：
$f(x(k))=\frac{x(k)}{\bar{x}}=y(k),\bar{x}=\frac{1}{n}{\sum }_{k=1}^{n}x(k)$

（3）归一化变换：
$f(x(k))=\frac{x(k)}{x_0}=y(k)$ 等。

关联分析

选取参考数列，一般为时间序列：
$x_0=\left\{x_0(k)\mid k=1,2,\cdots ,n\right\}=\left(x_0(1),x_0(2),\cdots ,x_0(n)\right)$
设有$m$个比较数列：
$x_i=\left\{x_i(k)\mid k=1,2,\cdots ,n\right\}=\left(x_i(1),x_i(2),\cdots ,x_i(n)\right),i=1,2,\cdots ,m$
则比较数列$x_i$对参考数列$x_0$在$k$时刻的关联系数为：

${\xi }_i(k)=\frac{{\min }_s{\min }_t|x_0(t)-x_s(t)|+\rho {\max }_s{\max }_t|x_0(t)-x_s(t)|}{|x_0(k)-x_i(k)|+\rho {\max }_s{\max }_t|x_0(t)-x_s(t)|}$

其中，$\rho$为分辨系数，${\max }_s{\max }_t\mid x_0(t)-x_s(t)\mid$与${\min }_s{\min }_t\mid x_0(t)-x_s(t)\mid$分别为两数列之间的两级最小差与两级最大差。

由于通过上述公式每个数列的每个时刻都能求出一个关联数，为防止信息过于分散，定义比较数列$x_i$对参考数列$x_0$的关联度$r_i$：
$r_i=\frac{1}{n}{\sum }_{k=1}^n{\xi }_i(k)$

2.实例

通过对某健将级女子铅球运动员的跟踪调查，获得其1982-1986年每年最好成绩以及16项专项素质和身体素质的时间序列资料，试对此铅球运动员的专项成绩进行因素分析。

首先对原始数据进行初始化处理：

$y=\left(1,\frac{x(2)}{x(1)},\cdots ,\frac{x(n)}{x(1)}\right)$

同时注意到最后两个数列为跑步时间，数值减少时意味着运动员水平的进步，因此应采取公式：

$y_i=\left(1,\frac{x_i(1)}{x_i(2)},\frac{x_i(1)}{x_i(3)},\frac{x_i(1)}{x_i(4)},\frac{x_i(1)}{x_i(5)}\right),i=15,16$

取分辨系数$\rho =0.5$，计算各数列关联度Matlab程序如下：

clc,clear
load x.txt   %把原始数据存放在纯文本文件 x.txt 中
for i=1:15     
    x(i,:)=x(i,:)/x(i,1);   %标准化数据 
end
for i=16:17     
    x(i,:)=x(i,1)./x(i,:);  %标准化数据 
end
data=x; 
n=size(data,2); %求矩阵的列数，即观测时刻的个数 
ck=data(1,:);  %提出参考数列 
bj=data(2:end,:); %提出比较数列 
m2=size(bj,1); %求比较数列的个数 
for j=1:m2       
    t(j,:)=bj(j,:)-ck; 
end
mn=min(min(abs(t')));  %求小差
mx=max(max(abs(t')));  %求大差
rho=0.5;  %分辨系数设置 
ksi=(mn+rho*mx)./(abs(t)+rho*mx);  %求关联系数 
r=sum(ksi')/n  %求关联度 
[rs,rind]=sort(r,'descend')   %对关联度进行排序

利用python解决：

import numpy as np

#进行关联度分析
data = open('athlete score.txt').readlines()

#数据初始化处理
for lines in range(15):
    data[lines] = list(eval(data[lines]))
    for i in range(1,len(data[lines])+1):
        data[lines][-i] = data[lines][-i] / data[lines][0]
for lines in range(1,3):
    data[-lines] = data[-lines].replace(",,",'.')
    data[-lines] = list(eval(data[-lines]))
    for i in range(1,len(data[-lines])+1):
        data[-lines][-i] = data[-lines][0] / data[-lines][-i]

#提出参考数列、比较数列
x0 = np.array(data[0])
xi = np.array(data[1:])

t = xi - x0

#求两级最大差、两极最小差
maxi,mini = np.max(np.abs(t)),np.min(np.abs(t))
rho = 0.5

#求关联系数、关联度
kesi = ((mini + rho*maxi) / (np.abs(t) + rho*maxi)) / np.size(x0)
ri = kesi.sum(axis=1)

print(ri)

程序运行结果如下：

对比Matlab结果：

参考文献

司守奎, 徐珂文, 李日华. 数学建模算法与程序[J]. 海军航空工程学院, 2007, 9: 95-98.