数据结构与算法-有序表查找(折半查找、插值查找、斐波那契查找)

引入

顺序查找虽然算法非常简单，对静态查找表的记录没有任何要求，但是当查找表记录数很大时，查找效率极为低下，所以只适用于小型数据的查找。

折半查找基本概念

折半查找（Binary Search）技术，又称为二分查找。它的前提是线性表中的记录必须是关键码有序（通常从小到大有序），线性表必须采用顺序存储。折半查找的基本思想是：在有序表中，取中间记录作为比较对象，若给定值与中间记录的关键字相等，则查找成功；若给定值小于中间记录的关键字，则在中间记录的左半区继续查找；若给定值大于中间记录的关键字，则在中间记录的右半区继续查找。不断重复上述过程，直到查找成功，或所有查找区域无记录，查找失败。

折半查找java代码实现

/**
 * 折半查找
 * 
 * @param a   查找表
 * @param key 给定值
 * @return    目标记录在查找表中的位置
 */
Integer binary_search(int[] a, int key) {
	int low,high,mid;
	low = 0;	     /* 定义最低下标为记录首位 */
	high = a.length - 1; /* 定义最高下标为记录末位 */
	while (low <= high) {
		mid = (low + high) / 2;	/* 折半 */
		if (key < a[mid]) {	/* 若查找值比中值小 */
		     high = mid - 1;	/* 最高位调整到中位下标小一位 */
		} else if (key > a[mid]) { /* 若查找值比中值大 */
		     low = mid + 1;	   /* 最低位调整到中位下标大一位 */
		} else {
		     return mid;        /* 若相等则说明mid即为查找到的位置 */
		}
	}
	return null;
}

//声明查找表
int[] a = {1,2,3,4,5,6};

//测试调用
binary_search(a,2);  //输出2
binary_search(a,22); //输出null

折半查找算法复杂度分析

• 如果将查找过程绘制成一棵二叉树，折半查找等于是把静态有序查找表分成了两棵子树，即查找结果只需要找其中的一半数据记录即可，等于工作量少了一半，然后继续折半查找，效率自然是非常高了。
• 尽管折半查找判断二叉树不是完全二叉树，但同样相同的推导可以得出，最坏的情况是查找到的关键字或查找失败的次数为log₂n向下取整+1次，最好的情况是1次，因此最终我们折半算法的时间复杂度为0(logn)，显然要远远好于顺序查找的O(n)。

折半查找改进版1：插值查找

• 折半查找的折半算法是：mid = (low + high) / 2 = low + (1 / 2) * (high - low)。
• 算法科学家考虑的就是将这个【1 / 2】进行改进：mid = low + ((key - a[low]) / (a[high] - a[low])) * (high - low)。

       插值查找（Interpolation Search）是根据要查找的关键字key与查找表中最大最小记录的关键字比较后的查找方法，其核心就在于插值的计算公式(key - a[low]) / (a[high] - a[low])。
       应该说，从时间复杂度来看，它也是0(logn)，但对于表长较大，而关键字分布又比较均匀的查找表来说，插值查找算法的平均性能比折半查找要好得多。
       反之，如果查找表中关键字分布得极不均匀，类似{0,1,2,···,400000,400001}，那么插值查找未必是很合适的选择。

折半查找改进版2：斐波那契查找

• 折半查找是从中间分割，每一次查找总是一分为二，无论数据偏大还是偏小，很多时候这都未必是最合理的做法。除了插值查找，斐波那契查找（Fibonacci Search），利用黄金分割原理实现分割查找。

/**
 * 斐波那契查找
 * 
 * @param a   查找表
 * @param key 给定值
 * @return    目标记录在查找表中的位置
 */
Integer fibonacci_search(List<Integer> a, int key) {
		
	/* 声明斐波那契数列（最大值大于【查找表记录数】即可） */
	int[] f = {1,1,2,3,5,8,13,21};
		
	int low, high, mid, k;
	low = 0;	     /* 定义最低下标为记录首位 */
	high = a.size() - 1; /* 定义最高下标为记录末位 */
	k = 0;
	while (a.size() - 1 > f[k] - 1) { /* 计算【查找表总记录数】位于斐波那契数列的位置 */
	       k++;
	}
	for (int i = a.size() - 1; i < f[k] - 1; i++) { /* 将不满的数值补全 */
               a.set(i, a.get(a.size()-1));
	}
	while (low <= high) {
	      mid = low + f[k-1] - 1;	/* 计算当前分割的下标 */
	      if (key < a.get(mid)) { /* 若查找记录小于当前分割记录 */
		  high = mid - 1;     /* 最高下标调整到分割小标mid-1处 */
		  k = k - 1;			/* 斐波那契数列下标减一位 */
	      } else if (key > a.get(mid)) { /* 若查找记录大于当前分割记录 */
		  low = mid + 1;      /* 最低下标调整到分割小标mid+1处 */
		  k = k - 2;          /* 斐波那契数列下标减两位 */
	      } else {
		  if (mid <= a.size() - 1) { 
			return mid;  	     /* 若相等则说明mid即为查找到的位置 */
		  } else {
			return a.size() - 1; /* 若mid>n，说明是补全数值，返回a.size()-1 */
		  }
	      }
	}
	return null;
}

• 斐波那契查找算法的核心在于：1) 当key=a[mid]时，查找成功；2) 当keya[mid]时，新范围是第mid+1个到第hign个，此时范围个数为f[k-2]-1个。
• 尽管斐波那契查找的时间复杂度也为0(logn)，但就平均性能来说，斐波那契查找要优于折半查找。

总结

• 应该说，三种有序表的查找本质是分割点的选择不同，各有优势，实际开发时可根据数据的特点综合考虑再做出选择。