电路复习——电路的基本定理

电路的基本定理

[!] 以下笔记内容可能会出现部分错误的地方，恳请各位师生批评指正，谢谢！

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主要内容

• 叠加定理
• 替代定理
• 等效电源定理
• 最大功率传输定理

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叠加定理

1 介绍

• 叠加定理是分析电路的一个重要的基本定理，后文提及到的替代定理与等效电源定理就是从叠加定理导出的。
• 线性电路中有多个独立电源共同作用时，在任意支路中产生的电压或电流响应，等于各个独立电源单独作用下，相应支路中电压或电流响应的代数和，这个原理便是叠加定理。
• 使用叠加定理，我们可以把多个独立电源共同作用的复杂线性电路，先分解转换为单个独立电源作用的简单电路，分别对单电源电路进行分析计算，然后把相应的相应分量叠加起来作为多电源作用下的原电路总响应。

2 验证

2.1 原电路分析

• 在这里借用了来自于网上的一张图¹
  
  我们将求解$i_1$来验证叠加定理
• 对于原电路(a)，使用网孔电流法进行分析有：
  $$\{\begin{array}{l}{u}_s=(R_1+R_2)i_{m1}-R_2{i}_{m2}\\ i_{m2}=i_s\\ i_{m1}=i_1\end{array}$$联立方程解得$$i_1=\frac{u_s+R_2{i}_s}{R_1+R_2}\text{\hspace{1em}(2-1)}$$

2.2 等效电路分析

2.2.1 电压源单独作用

• 对于图(b)电路，我们有$$u_s=i_1^{\prime }(R_1+R_2)$$即$$i_1^{\prime }=\frac{u_s}{(R_1+R_2)}\text{\hspace{1em}(2-2)}$$

2.2.2 电流源单独作用

• 对于图©电路，使用并联分流公式有$$i_1^{\prime \prime }=\frac{R_2}{R_1+R_2}{i}_s\text{\hspace{1em}(2-3)}$$

2.3 对比

• 将(2-2)、(2-3)相加，有$$i_1^{\prime }+i_1^{\prime \prime }=\frac{u_s+R_2{i}_s}{R_1+R_2}=i_1$$
  即叠加定理成立。也可以利用一样的方式来验证该电路中任一电流或电压响应。

3 提醒

• 叠加定理只适用于线性电路，不适用于非线性电路
• 当某个独立电源单独作用时，不起作用的其他独立电源要置零
• 受控电源不能置零，要保留在电路中
• 电压或电流叠加时，应特别注意各分量的参考方向
• 当电路中有三个或三个以上的独立电源时，为了求解方便，我们可以先将独立电源进行分组，然后再用叠加定理求解
• 叠加定理只能用来叠加计算电流和电压，功率并不能叠加

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替代定理

1 介绍

• 替代定理是后面等效电源定理的基础。
• 在线性或非线性电路中，如果已知任意第$k$条支路中的端电压$u_k$和该支路电流$i_k$，则无论该支路是由什么元件组成的，总可以用一个恒压源、恒流源或一个线性电阻来替代，置换替代后不影响原点路中其他各处的电压和电流。
• 替代定理最大的价值在于对二端网络并没有什么特殊要求，只要知道了其端口电压和电流就能进行替代。

2 替代和等效的区别？

2.1 相同点

• 替代和等效都是将电路的某一二端网络使用另一个元件(或另一个二端网络)替换掉。

2.2 不同点

• 替代只在特定的外部电路下成立，假如外部电路改变了，则替代的部分也会随之改变。²
• 等效则与外部电路无关，无论外部电路是什么，内部等效的结果都不变。

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等效电源定理

• 如果线性二端网络内部含有能独立源，就成为线性有源二端网络。
• 任何一个线性有源单端口网络，对于其外部电路来说，总可以用一个等效独立源模型来代替，这就是等效电源定理。
• 根据代替的等效电源类型，可以分为电压源形式的戴维南定理和电流源形式的诺顿定理。

1 戴维南定理(Thevenin Theorem)

1.1 介绍

• 线性有源二端网络的对外作用可以用一个理想电压源和一个电阻相串联的电压源模型来等效代替，该定理称为戴维南定理。该等效后的电路称为戴维南等效电路。
• 在戴维南定理等效的电压源模型中，源电压值等于该有原线性二端网络的开路电压$u_{oc}$，电阻等于该有源线性二端网络中的输入电阻$R$³。

1.2 提醒

• 有源二端网络中必须是线性电路，而且其中受控源的控制量只能是网络中的电流或电压，同时网络内部的电流或电压也不能是外电路中受控源的控制量。
• 外电路可以是线性电路，也可以是非线性电路。

2 诺顿定理(Norton Theorem)

2.1 介绍

• 线性有源二端网络对外作用可以用一个理想电流源和一个电阻相并联的电流源模型来等效代替，这个就是诺顿定理。等效后的电路称为诺顿等效电路。
• 在诺顿等效电路中，源电流值等于该线性二端网络的短路电流$i_{sc}$，等效内阻等于该线性有源二端网络中的输入电阻$R$。

2.2 提醒

• 和戴维南定理一样，有源二端网络中必须是线性电路，而且其中受控源的控制量只能是网络中的电流或电压，同时网络内部的电流或电压也不能是外电路中受控源的控制量。
• 外电路可以是线性电路，也可以是非线性电路。

3 特殊情况

• 如果一个线性有源二端网络的等效电阻$R_{eq}=\infty$，此时的网络只有诺顿等效电路而没有戴维南等效电路；同理，当$R_{eq}=0$时只有戴维南等效电路而没有诺顿等效电路。

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最大功率传输定理

1 定义

• 该定理又称为雅可比法则⁴。当负载电阻与线性有源二端网络的戴维南(或诺顿)等效电阻相等时，负载将获得最大的功率。
• 该定理可以扩展到包括了电抗的交流电路，当负载复阻抗和线性有源二端网络的戴维南(或诺顿)等效复阻抗共轭匹配时，负载将获得最大的功率。⁵

2 推导

• 一个有源二端网络产生的功率通常分为两个部分：一部分消耗在电源及线路的内阻上；另一部分输出给负载。当所接的负载不同时，这个有源二端网络向负载输出的功率也不同。
• 在这里有一个简单的戴维南等效电路图，我们将以此来进行推导⁶
  
• 对于负载功率， 有公式$$P_{R_L}=ui=i^2{R}_L$$对电路进行分析，有
  $$u_{oc}=i(R_o+R_L)$$联立，解得$$P_{R_L}=\frac{u_{oc}^2{R}_L}{(R_o+R_L{)}^2}=\frac{u_{oc}^2}{\frac{R_o^2}{R_L}+2R_o+R_L}$$由不等式$$a+b\ge 2\sqrt{ab}$$解得当$R_o=R_L$时，有$$max{P}_{R_L}=\frac{u_{oc}^2}{4R_o}$$
• 若要证明交流电路，只需要将上述式子中的电阻改为复阻抗即可。

3 注意

• 最大功率传输定理的先决条件是有源二端网络是确定的，当内阻可以自由调节时，能够得到在戴维南等效电路中$R_{eq}=0$时负载有最大功率，在诺顿等效电路中$R_{eq}=\infty$时负载有最大功率
• 换句话说，最大功率传输定理的目的是在存在不变内阻的情况下尽可能获得最大的传输功率。否则，应当使电源越接近理想情况越好。

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1. 图来自 http://vod.nwpunec.net/vod/2016dlfxjc/1/kcxx/ch4/se02.html ↩︎

2. 个人观点，在集总分布电路中，所有的响应都是即时且不变的，因此才可以利用替代来简化电路结构，跟编程中的模块化思维很接近。 ↩︎

3. 若二端网络内没有独立源，则其可以等效为一个电阻，这个电阻称为输入电阻。在这里的意思为将有源二端网络的独立源都去掉而留下电阻(和受控源)，再计算里面的等效电阻。 ↩︎

4. 和雅可比矩阵不是同一个人 ↩︎

5. 这部分涉及到交流电路中相量的概念，如果不懂的话可以先跳过 ↩︎

6. 图来自 https://zhuanlan.zhihu.com/p/109825346 ↩︎