Tarjan应用:求割点/桥/缩点/强连通分量/双连通分量/LCA(最近公共祖先

作者提示：在阅读本文之前，请确保您已经理解并掌握了基本的Tarjan算法，不会的请到 http://hi.baidu.com/lydrainbowcat/blog/item/42a6862489c98820c89559f3.html 阅读。 基本概念： 1.割点：若删掉某点后，原连通图分裂为多个子图，则称该点为割点。 2.割点集合：在一个无向连通图中，如果有一个顶点集合，删除这个顶点集合，以及这个集合中所有顶点相关联的边以后，原图变成多个连通块，就称这个点集为割点集合。 3.点连通度：最小割点集合中的顶点数。 4.割边 ( 桥 ) ：删掉它之后，图必然会分裂为两个或两个以上的子图。 5.割边集合：如果有一个边集合，删除这个边集合以后，原图变成多个连通块，就称这个点集为割边集合。 6.边连通度：一个图的边连通度的定义为，最小割边集合中的边数。 7.缩点：把没有割边的连通子图缩为一个点，此时满足任意两点之间都有两条路径可达。 注：求块<>求缩点。缩点后变成一棵k个点k-1条割边连接成的树。而割点可以存在于多个块中。 8.双连通分量：分为点双连通和边双连通。它的标准定义为：点连通度大于1的图称为点双连通图，边连通度大于1的图称为边双连通图。通俗地讲，满足任意两点之间，能通过两条或两条以上没有任何重复边的路到达的图称为双连通图。无向图G的极大双连通子图称为双连通分量。 Tarjan算法的应用论述： 1.求强连通分量（见上一篇文章，本文第一行有链接）、割点、桥、缩点： 对于Tarjan算法中，我们得到了dfn和low两个数组， low[u]:=min(low[u],dfn[v])——(u,v)为后向边，v不是u的子树； low[u]:=min(low[u],low[v])——(u,v)为树枝边，v为u的子树； 下边对其进行讨论： 若low[v]>=dfn[u],则u为割点，节点v的子孙和节点u形成一个块。因为这说明v的子孙不能够通过其他边到达u的祖先，这样去掉u之后，图必然分裂为两个子图。这样我们处理点u时，首先递归u的子节点v，然后从v回溯至u后，如果发现上述不等式成立，则找到了一个割点u，并且u和v的子树构成一个块。 若low[v]>dfn[u],则(u,v)为割边。但是实际处理时我们并不这样判断，因为有的图上可能有重边，这样不好处理。我们记录每条边的标号（一条无向边拆成的两条有向边标号相同），记录每个点的父亲到它的边的标号，如果边(u,v)是v的父亲边，就不能用dfn[u]更新low[v]。这样如果遍历完v的所有子节点后，发现low[v]=dfn[v]，说明u的父亲边(u,v)为割边。 void tarjan(int x) {  vis[x]=1;  dfn[x]=low[x]=++num;  for(int i=head[x];i;i=next[i])   if(!vis[ver[i]])   {    p[ver[i]]=edge[i];//记录父亲边    tarjan(ver[i]);    low[x]=min(low[x],low[ver[i]]);   }   else if(p[x]!=edge[i])//不是父亲边才更新    low[x]=min(low[x],dfn[ver[i]]);  if(p[x]&&low[x]==dfn[x]) f[p[x]]=1;//是割边 }  2.求双连通分量以及构造双连通分量： 对于点双连通分支，实际上在求割点的过程中就能顺便把每个点双连通分支求出。建立一个栈，存储当前双连通分支，在搜索图时，每找到一条树枝边或后向边(非横叉边)，就把这条边加入栈中。如果遇到某时满足DFS(u)<=Low(v)，说明u是一个割点，同时把边从栈顶一个个取出，直到遇到了边(u,v)，取出的这些边与其关联的点，组成一个点双连通分支。割点可以属于多个点双连通分支，其余点和每条边只属于且属于一个点双连通分支。 对于边双连通分支，求法更为简单。只需在求出所有的桥以后，把桥边删除，原图变成了多个连通块，则每个连通块就是一个边双连通分支。桥不属于任何一个边双连通分支，其余的边和每个顶点都属于且只属于一个边双连通分支。 一个有桥的连通图，如何把它通过加边变成边双连通图？方法为首先求出所有的桥，然后删除这些桥边，剩下的每个连通块都是一个双连通子图。把每个双连通子图收缩为一个顶点，再把桥边加回来，最后的这个图一定是一棵树，边连通度为1。 统计出树中度为1的节点的个数，即为叶节点的个数，记为leaf。则至少在树上添加(leaf+1)/2条边，就能使树达到边二连通，所以至少添加的边数就是(leaf+1)/2。具体方法为，首先把两个最近公共祖先最远的两个叶节点之间连接一条边，这样可以把这两个点到祖先的路径上所有点收缩到一起，因为一个形成的环一定是双连通的。然后再找两个最近公共祖先最远的两个叶节点，这样一对一对找完，恰好是(leaf+1)/2次，把所有点收缩到了一起。 3.求最近公共祖先（LCA） 在遍历到u时，先tarjan遍历完u的子树，则u和u的子树中的节点的最近公共祖先就是u,并且u和【u的兄弟节点及其子树】的最近公共祖先就是u的父亲。注意到由于我们是按照DFS顺序遍历的，我们可用一个color数组标记，正在访问的染色为1，未访问的标记为0，已经访问到即在【u的子树中的】及【u的已访问的兄弟节点及其子树中的】染色标记为2，这样我们可以通过并查集的不断合并更新，通过find实现以上目标。 注：用链表存储边和问题，可以使得该算法的时间复杂度降低为O(n+m+q)，其中n、m、q分别为点、边、问题数目。本文中为了书写简便，采用的是矩阵的存储方式。   function find(x:longint):longint;   begin     if f[x]<>x then f[x]:=find(f[x]);     find:=f[x];   end; procedure tarjan(u:longint);   begin      f[u]:=u; color[u]:=1;      for i:=1 to n do      if (g[u,i])and(color[i]=0) then//g[u,i]表示u连着i         begin           tarjan(i); f[i]:=u;         end;      for i:=1 to n do      if ((ask[u,i])or(ask[i,u]))and(color[i]=2) then//ask[u,i]表示询问了u,i        begin          lca[u,i]:=find(i); lca[i,u]:=lca[u,i];        end;      color[u]:=2;   end;   参考例题：Poj 1523、2942、3694、3352、3177  Tyvj P1111  注：本文部分内容摘自BYVoid神牛的Blog：http://www.byvoid.com/blog/biconnect/