正态分布的一些事儿

本文整理了正态分布的一些常用的性质，以供备忘之用。

目录

概念

概率密度函数

若连续型随机变量 X 的概率密度为

f(x)=12π−−√σe−(x−μ)22σ2,−∞<x<+∞

则称 X 服从参数为 μ ， σ2 的正态分布，记为 X∼N(μ,σ2)

其密度函数的图形为：

其特征主要有：
1. 关于直线 x=μ 对称；
2. 在 x=μ 处达到最大值；
3. 在 x=μ±σ 处有拐点；
4. x→∞ 时曲线以 x 轴为渐近线；
5. 固定 σ ，改变 μ ，则图形沿 x 轴平移而不改变其形状；固定 μ ，改变 σ ，则当 σ 越小，曲线越陡峭，当 σ 越大时，曲线越平坦。

分布函数

F(x)=∫x−∞12π−−√σe−(x−μ)22σ2dx，−∞<x<+∞

特殊情况：标准正态分布

X∼N(0,1)

- 密度函数：

φ(x)=12π−−√e−x22

- 分布函数：

Φ(x)=∫x−∞12π−−√e−x22dx

- 性质
1. Φ(−x)=1−Φ(x)
2. Φ(0)=0.5

性质

1. 两个服从正态分布的随机变量加减之后仍然是正态分布。
   例如， A∼N(μ1,σ1) ， B∼N(μ2,σ2) ， A+B∼N(μ1+μ2,σ21+σ22+cov(A,B))
2. 两个正态分布密度的乘积还是正态分布。
3. 两个正态分布密度的卷积还是正态分布，也就是两个正态分布的和还是正态分布。
4. 正态分布 N(0,σ2) 的傅立叶变换还是正态分布。
5. 中心极限定理保证了多个随机变量的求和效应将导致正态分布。
6. 正态分布和其它具有相同方差的概率分布相比，具有最大熵。
7. 二项分布 B(n,p) 在 n 很大逼近正态分布 N(np,np(1−p)) 。
8. 泊松分布 Poisson(λ) 在 λ 较大时逼近正态分布 N(λ,λ) 。
9. χ2(n) 在 n 很大的时候接近正态分布 N(n,2n) 。
10. t 分布在 n 很大时接近标准正态分布 N(0,1) 。
11. 正态分布的共轭分布还是正态分布。
12. 几乎所有的极大似然估计在样本量 n 增大的时候都趋近于正态分布。
13. Cramer分解定理：如果 X ， Y 是独立的随机变量，且 S=X+Y 是正态分布，那么 X ， Y 也是正态分布。
14. 如果 X ， Y 独立且满足正态分布 N(μ,σ2) ，那么 X+Y ， X−Y 独立且同分布，而正态分布是唯一满足这一性质的概率分布。
15. 对于两个正态分布 X ， Y ，如果 X ， Y 不相关则意味着 X ， Y 独立，而正态分布是唯一满足这一性质的概率分布。

相关matlab函数

1. 分布函数：normcdf(x,sigma,mu)，其中 μ 是随机变量的值，返回的是参数为μ和 σ 的正态分布函数在 x 处的值；
2. 密度函数：normpdf(x,sigma,mu)，其中 x 是随机变量的值，返回的是参数为μ和 σ 的正态分布密度函数在 x 处的值；
3. 生成正态分布随机数：normrnd(0,.1,m,n)，其中 m 和 n 是生成 m 行 n 列的随机数；
4. 生成正态分布曲线： y = gaussmf(x,[sigma mu]) ，其中 x 是变量，sigma就是正态分布的方差 σ ，而c就是正态分布的均值 μ 。

参考资料：
【1】正态分布的前世今生：http://songshuhui.net/archives/77386