TensorFlow可微分编程实践3---交叉熵与代价函数微分

在上篇博文中，我们讲述怎样处理第 l−1 l − 1 层到第 l l 层的前向传输和反向求导，我们还没有讲述关于输出层的处理技术。在这里，我们还以MNIST手写数字识别为例，网络计算图如下所示：

当我们计算出输出层的输出 y∈R10 y ∈ R 10 时，表示输入图像 x x 是0~9这10个数字的概率。此时输入图像 x x 对应的正确结果 y^∈R10 y ^ ∈ R 10 ，假设该数为 r r ，则 y^r=1 y ^ r = 1 ，其余维0，即 y^={0,0,...,1,...,0} y ^ = { 0 , 0 , . . . , 1 , . . . , 0 } ，其中主1的是第 r r 维。
我们首先处理损失函数，这里我们假设不考虑添加调整项的情况，我们的代价函数取交叉熵（cross entropy）函数，根据交叉熵定义：

H(p,q)=Ep(−logq)=H(p)+KL(p∥q)(1) (1) H ( p , q ) = E p ( − log ⁡ q ) = H ( p ) + K L ( p ‖ q )

对离散值情况，交叉熵（cross entropy）可以表示为：

H(p,q)=−∑k=1Kp(k)logq(k)(2) (2) H ( p , q ) = − ∑ k = 1 K p ( k ) log ⁡ q ( k )

在这里我们设正确值 y^ y ^ 的分布为p，而计算值 y=a2 y = a 2 的分布为q，假设共有 K=10 K = 10 个类别，并且假设第 r r 维为正确数字，则代价函数的值为：

C=H(p,q)=−∑k=1Kp(k)logq(k)=−(0∗logy1+0∗logy2+...+1∗logyr+...+0∗logy10)=−logyr(3) (3) C = H ( p , q ) = − ∑ k = 1 K p ( k ) log ⁡ q ( k ) = − ( 0 ∗ log ⁡ y 1 + 0 ∗ log ⁡ y 2 + . . . + 1 ∗ log ⁡ y r + . . . + 0 ∗ log ⁡ y 10 ) = − log ⁡ y r

我们可以将代价函数值视为 R1 R 1 的向量，我们对 y y 求偏导，根据Jacobian矩阵定义，结果为 R1×N2=R1×10 R 1 × N 2 = R 1 × 10 的1行10列的矩阵。结果如下所示：

∂C∂y=[00...−1yr...0](4) (4) ∂ C ∂ y = [ 0 0 . . . − 1 y r . . . 0 ]

其只有正确数字对应的第r维不为0，其余均为零。
接下来我们来求： ∂y∂z2 ∂ y ∂ z 2 ，因为 y y 和 a2 a 2 均为向量，可以直接使用Jacobian矩阵定义得：

∂y∂z2=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢∂y1∂z21∂y2∂z21...∂yN2∂z21∂y1∂z22∂y2∂z22...∂yN2∂z22............∂y1∂z2N2∂y2∂z2N2...∂yN2∂z2N2⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥(5) (5) ∂ y ∂ z 2 = [ ∂ y 1 ∂ z 1 2 ∂ y 1 ∂ z 2 2 . . . ∂ y 1 ∂ z N 2 2 ∂ y 2 ∂ z 1 2 ∂ y 2 ∂ z 2 2 . . . ∂ y 2 ∂ z N 2 2 . . . . . . . . . . . . ∂ y N 2 ∂ z 1 2 ∂ y N 2 ∂ z 2 2 . . . ∂ y N 2 ∂ z N 2 2 ]

接下来 ∂z2∂W2 ∂ z 2 ∂ W 2 、 ∂z2∂a1 ∂ z 2 ∂ a 1 、 ∂z2∂b2 ∂ z 2 ∂ b 2 就是上一篇博文中讲述的内容。这里我们简单讲解下代价函数和代价函数反向求导的问题。代码如下所示：

@tf.custom_gradient
def cross_entropy(y, y_):
    # 找出y_中不等于0的下标值
    idx = np.nonzero(y_)[0][0]
    def grad_fn(dy):
        grad_C = np.zeros(y.shape[0])
        grad_C[idx] = - 1.0 / y[idx]
        return tf.constant(grad_C)
    return -math.log(y[idx]), grad_fn

def test003(args={}):
    tf.enable_eager_execution()
    tfe = tf.contrib.eager
    print('代价函数求导...')
    y = np.zeros((10))
    for idx in range(10):
        y[idx] = 0.01
    y[2] = 0.31
    y[3] = 0.11
    y[8] = 0.21
    y[1] = 0.11
    y[4] = 0.21
    y_ = np.array([0.0, 0.0, 1.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0])
    print('y:{0}'.format(y))
    print('y_:{0}'.format(y_))
    C = cross_entropy(y, y_)
    print('代价函数值：{0}'.format(C.numpy()))
    grad_C1 = tfe.gradients_function(cross_entropy)
    pC_py = grad_C1(y, y_)
    print('pC_py:{0}'.format(pC_py[0].numpy()))

运行结果如下所示：

在求 ∂y2∂z2 ∂ y 2 ∂ z 2 时，根据我们的定义，输出层采用的是交叉熵（Cross Entropy）函数，形式为：

yi=ez2i∑N2k=1ez2k(3.3.001) (3.3.001) y i = e z i 2 ∑ k = 1 N 2 e z k 2

下面我们来求 ∂yi∂z2j ∂ y i ∂ z j 2 ，我们分为 i≠j i ≠ j 和 i=j i = j 两种情况来讨论。
当 i=j i = j 时：

∂yi∂z2i=∂∂z2i(ez2i∑N2k=1ez2k)=ez2i∑N2k=1ez2k−(ez2i∑N2k=1ez2k)2(3.3.002) (3.3.002) ∂ y i ∂ z i 2 = ∂ ∂ z i 2 ( e z i 2 ∑ k = 1 N 2 e z k 2 ) = e z i 2 ∑ k = 1 N 2 e z k 2 − ( e z i 2 ∑ k = 1 N 2 e z k 2 ) 2

当 i≠j i ≠ j 时：

∂yi∂z2j=∂∂z2j(ez2i∑N2k=1ez2k)=−ez2iez2j(∑N2k=1ez2k)2(3.3.002) (3.3.002) ∂ y i ∂ z j 2 = ∂ ∂ z j 2 ( e z i 2 ∑ k = 1 N 2 e z k 2 ) = − e z i 2 e z j 2 ( ∑ k = 1 N 2 e z k 2 ) 2

按照上面的公式，我们可以求出 ∂y∂z2∈R10×10 ∂ y ∂ z 2 ∈ R 10 × 10 的方阵。
根据定义有：

∂C∂W2=∂C∂y⋅∂y∂z2⋅∂z2∂W2(3.3.003) (3.3.003) ∂ C ∂ W 2 = ∂ C ∂ y ⋅ ∂ y ∂ z 2 ⋅ ∂ z 2 ∂ W 2

其维数为 R1×10×R10×10×R10×10×512=R1×10×512 R 1 × 10 × R 10 × 10 × R 10 × 10 × 512 = R 1 × 10 × 512 ，即可得到每个第1层到第2层连接权值的导数，根据梯度下降算法，就可以求出新的连接权值了。
到目前为止，我们已经将所有多层感知器（MLP）模式中用到的技术，全部讲述完成了，有了这些基本知识之后，我们就可以搭建一个完整的多层感知器（MLP）模型了，在下一节中我们将搭建一个最基本的多层感知器模型用于MNIST手写数字识别。