数理逻辑—推理理论

１ 推理的通俗解释

推理是从前提推出结论的思维过程，前提是指已知的命题公式，结论是指从前提出发应用推理规则推出的命题公式，当推理正确且前提也正确时，结论一定正确。

２ 构造证明法——证明推理正确的方法之一

构造证明法是按照给定的规则进行，其中有些规则建立在推理定律(即重言蕴含式)的基础之上。

推理定律：

推理定律	名称
$A\Rightarrow (A\vee B)$	附加
$(A\wedge B)\Rightarrow A$	化简
$((A\to B)\wedge A)\Rightarrow B$	假言推理
$((A\to B)\wedge \neg B)\Rightarrow \neg A$	拒取式
$((A\vee B)\wedge \neg A)\Rightarrow B$	析取三段论
$((A\to B)\wedge (B\to C))\Rightarrow (A\to C)$	假言三段论
$((A\leftrightarrow B)\wedge (B\leftrightarrow C))\Rightarrow (A\leftrightarrow B)$	等价三段论
$(A\to B)\wedge (C\to D)\wedge (A\vee C)\Rightarrow (B\vee D)$	构造性二难
$(A\to B)\wedge (\neg A\to B)\Rightarrow B$	构造性二难的特殊形式
$(A\to B)\wedge (C\to D)\wedge (\neg B\vee \neg D)\Rightarrow (\neg A\vee \neg C)$	破坏性二难

根据公理和上述推理定律，可以得到下面的常用推理规则

名称	规则
前提引入规则	前提可以在证明过程中任意引入
结论引入规则	已经证明的结论可以作为后续证明的前提
置换规则	在证明过程中可以应用16组重要等值式进行命题公式置换
假言推理规则	$A\to B,A\models B$
附加规则	$A\models A\vee B$
化简规则	$A\wedge B\models A$
拒取式规则	$A\to B,\neg B\models \neg A$
假言三段论规则	$A\to B,B\to C\models A\to C$
析取三段论规则	$A\vee B,\neg B\models A$
构造性二难规则	$A\to B,C\to D,A\vee C\models B\vee D$
破坏性二难规则	$A\to B,C\to D,\neg B\vee \neg D\models \neg A\vee \neg C$
合取引入规则	$A,B\models A\wedge B$

其中，$A_1,A_2,...,A_k\models B$表示$B$是$A_1,A_2,...,A_k$的逻辑结论，若$A_1,A_2,...,A_k$已经得证，则可以引入$B$。

构造证明法举例
构造下列推理的证明：
前提：$p\to (q\vee r),s\to \neg q,p,s$
结论：$r$
证明： ① p → ( q ∨ r ) (前提引入) ② p (前提引入) ③ q ∨ r (①②假言推理) ④ s → ¬ q (前提引入) ⑤ s (前提引入) ⑥ ¬ q (④⑤假言推理) ⑦ r (③⑥析取三段论，得证) \begin{aligned} & ① p\to (q\lor r) & \text{(前提引入)}\\ & ②p& \text{(前提引入)}\\ & ③q\lor r & \text{(①②假言推理)}\\ & ④s\to \lnot q& \text{(前提引入)}\\ & ⑤s & \text{(前提引入)}\\ & ⑥\lnot q& \text{(④⑤假言推理)}\\ & ⑦r& \text{(③⑥析取三段论，得证)}\\ \end{aligned} ​①p→(q∨r)②p③q∨r④s→¬q⑤s⑥¬q⑦r​(前提引入)(前提引入)(①②假言推理)(前提引入)(前提引入)(④⑤假言推理)(③⑥析取三段论，得证)​

使用构造证明法时有两种常用的技巧——附加前提证明法与归谬法

2.1 附加前提证明法

当结论为蕴含式时适用该技巧，蕴含式的前件即为附加的前提，这时可以将附加的前提作为前提使用。

附加前提证明法举例
构造下列推理的证明：
前提：$p\to (q\to r),\neg s\vee p,q$
结论：$s\to r$
证明： ① ¬ s ∨ p (前提引入) ② s (附加前提引入) ③ p (①②析取三段论) ④ p → ( q → r ) (前提引入) ⑤ q → r (③④假言推理) ⑥ q (前提引入) ⑦ r (⑤⑥假言推理，得证) \begin{aligned} & ① \lnot s\lor p & \text{(前提引入)}\\ & ② s & \text{(附加前提引入)}\\ & ③ p & \text{(①②析取三段论)}\\ & ④ p\to(q\to r) & \text{(前提引入)}\\ & ⑤ q\to r & \text{(③④假言推理)}\\ & ⑥ q & \text{(前提引入)}\\ & ⑦ r & \text{(⑤⑥假言推理，得证)}\\ \end{aligned} ​①¬s∨p②s③p④p→(q→r)⑤q→r⑥q⑦r​(前提引入)(附加前提引入)(①②析取三段论)(前提引入)(③④假言推理)(前提引入)(⑤⑥假言推理，得证)​

2.2 归谬法

当结论简单时(通常为一个命题变项)适用该技巧，将结论的否定式引入证明，观察证明结果的真假，若证明结果为假，则说明前提与结论的否定式不相容，推理正确。

归谬法举例
构造下列推理的证明：
前提：$p\to (\neg (r\wedge s)\to \neg q),p,\neg s$
结论：$\neg q$
证明：$$\begin{array}{rlr}& ①p\to (\neg (r\wedge s)\to \neg q)& \text{(前提引入)}\\ & ②p& \text{(前提引入)}\\ & ③\neg (r\wedge s)\to \neg q& \text{(①②假言推理)}\\ & ④\neg (\neg q)& \text{(结论的否定式引入)}\\ & ⑤q& \text{(④置换)}\\ & ⑥r\wedge s& \text{(③⑤拒取式)}\\ & ⑦\neg s& \text{(前提引入)}\\ & ⑧s& \text{(⑥简化)}\\ & ⑨s\wedge \neg s& \text{(⑦⑧合取)}\\ & ⑩0& \text{(结论为假，得证)}\end{array}$$