三次样条插值

1.样条函数

有一函数满足 S(x)∈C2[a,b] （在 [a,b] 上该函数二阶导数连续）

2.三次样条插值

x0,x1,⋯,|xn是 在区间 [a,b] 上给定的节点，若有三次样条函数 S(x) 满足 S(xi)=yi ，则 S(x) 为三次样条插值函数。

S(x)=⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪不超过三次的多项式（共有4个系数）,[x0,x1]不超过三次的多项式（共有4个系数）,[x1,x2]⋮不超过三次的多项式（共有4个系数）,[xn−1,xn]

上式共有 4n 个系数，所以要求所有系数，共需 4n 个方程。
其中有，
S(xi)=yi , —- (n+1) 个方程
S(xi−0)=S(xi+0) , —- (n−1) 个方程(函数连续)
S′(xi−0)=S′(xi+0) , —- (n−1) 个方程(一阶导数连续)
S′′(xi−0)=S′′(xi+0) , —- (n−1) 个方程(二阶导数连续)
以上共有 4n−2 个方程。
一般给出以下三种边界条件：
(1).已知两端的一阶导数值， S′(x0)=f′0,S′(xn)=f′n
(2).已知两端的二阶导数值， S′′(x0)=f′′0,S′′(xn)=f′′n
(3).周期边界
确定参数 a,b,c,d,e 的关系，使得函数 S(x) 是3次样条函数

S(x)=⎧⎩⎨⎪⎪a(x−2)2+b(x−1)3,x∈(−∞,1)c(x−2)2,x∈[1,3)d(x−2)2+e(x−3)3,x∈[3,+∞)

在 x=1 处，有

⎧⎩⎨S(1−0)=S(1+0)S′1(1)=S′2(1)S′′1(1)=S′′2(1)

解得，a=c;
在 x=3 处也有三个式子，解得，c=d
所以a=c=d。