高斯概率密度函数相乘仍然是高斯密度函数

高斯分布的概念

百科：
正态分布（Normal distribution），也称“常态分布”，又名高斯分布（Gaussian distribution），最早由A.棣莫弗在求二项分布的渐近公式中得到。C.F.高斯在研究测量误差时从另一个角度导出了它。P.S.拉普拉斯和高斯研究了它的性质。是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。
正态曲线呈钟型，两头低，中间高，左右对称因其曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。
若随机变量X服从一个数学期望为$\mu$、方差为${\sigma }^2$的正态分布，记为$N(\mu ,{\sigma }^2)$。其概率密度函数为正态分布的期望值$\mu$决定了其位置，其标准差${\sigma }^2$决定了分布的幅度。当$\mu =0,\sigma =1$时的正态分布是标准正态分布。

高斯分布相乘

假设$f(x)$ ~ $N({\mu }_f,{\sigma }_f^2)$，$g(x)$~$N({\mu }_g,{\sigma }_g^2)$都是高斯分布
即：
$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }{\sigma }_f}{e}^{\frac{-(x-{\mu }_f{)}^2}{2{\sigma }_f^2}}$
和
$g(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }{\sigma }_g}{e}^{\frac{-(x-{\mu }_g{)}^2}{2{\sigma }_g^2}}$
他们的乘积是：
$h(x)=f(x)g(x)=\frac{1}{2\pi {\sigma }_f\sigma g}{e}^{-(\frac{(x-{\mu }_f{)}^2}{2{\sigma }_f^2}+\frac{(x-{\mu }_g{)}^2}{2{\sigma }_g^2})}——————————(1)$

现在，我们对其做进一步化简，以期得到 $h(x)$ 的分布函数。

相乘后的高斯分布

上述公式指数部分为：
$\beta =\frac{(x-{\mu }_f{)}^2}{2{\sigma }_f^2}+\frac{(x-{\mu }_g{)}^2}{2{\sigma }_g^2}$
以x的幂项展开这两个二次方程得：
$\beta =\frac{({\sigma }_f^2+{\sigma }_g^2)x^2-2({\mu }_f{\sigma }_g^2+{\mu }_g{\sigma }_f^2)+{\mu }_f^2{\sigma }_g^2+{\mu }_g^2{\sigma }_f^2}{2{\sigma }_f^2{\sigma }_g^2}$
考虑到标准正态分布方程可以写成：
$P(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{e}^{\frac{-(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{e}^{-\frac{(x^2-2\mu x+{\mu }^2)}{2{\sigma }^2}}$
对比上式，我们将$\beta$改写成如下形式：
$\beta =\frac{x^2-2x\frac{{\mu }_f{\sigma }_g^2+{\mu }_g{\sigma }_f^2}{{\sigma }_f^2+{\sigma }_g^2}+(\frac{{\mu }_f{\sigma }_g^2+{\mu }_g{\sigma }_f^2}{{\sigma }_f^2+{\sigma }_g^2}{)}^2}{\frac{2{\sigma }_f^2{\sigma }_g^2}{({\sigma }_f^2+{\sigma }_g^2)}}+\frac{\frac{{\mu }_f^2{\sigma }_g^2+{\mu }_g^2{\sigma }_f^2}{{\sigma }_f^2+{\sigma }_g^2}-(\frac{{\mu }_f{\sigma }_g^2+{\mu }_g{\sigma }_f^2}{{\sigma }_f^2+{\sigma }_g^2}{)}^2}{\frac{2{\sigma }_f^2{\sigma }_g^2}{({\sigma }_f^2+{\sigma }_g^2)}}$
化简得：
$\beta =\frac{(x-\frac{{\mu }_f{\sigma }_g^2+{\mu }_g{\sigma }_f^2}{{\sigma }_f^2+{\sigma }_g^2}{)}^2}{2\frac{{\sigma }_f^2{\sigma }_g^2}{{\sigma }_f^2+{\sigma }_g^2}}+\frac{({\mu }_f-{\mu }_g{)}^2}{2({\sigma }_f^2+{\sigma }_g^2)}$
令
${\sigma }_{fg}=\sqrt{\frac{{\sigma }_f^2{\sigma }_g^2}{{\sigma }_f^2+{\sigma }_g^2}}$
${\mu }_{fg}=\frac{{\mu }_f{\sigma }_g^2+{\mu }_g{\sigma }_f^2}{{\sigma }_f^2+{\sigma }_g^2}$
化简得：
$\beta =\frac{(x-{\mu }_{fg}{)}^2}{2{\sigma }_{fg}}+\frac{({\mu }_f-{\mu }_g{)}^2}{2({\sigma }_f^2+{\sigma }_g^2)}$
代入方程(1)可得：
$h(x)=f(x)g(x)=\frac{1}{2\pi {\sigma }_f{\sigma }_g}exp[-\frac{(x-{\mu }_{fg}{)}^2}{2{\sigma }_{fg}^2}]exp[-\frac{({\mu }_f-{\mu }_g{)}^2}{2({\sigma }_f^2+{\sigma }_g^2)}]$
$=\frac{1}{\sqrt{2\pi }{\sigma }_{fg}}exp[-\frac{(x-{\mu }_{fg}{)}^2}{2{\sigma }_{fg}^2}]\frac{1}{\sqrt{2\pi ({\sigma }_f^2+{\sigma }_g^2)}}exp[-\frac{({\mu }_f-{\mu }_g{)}^2}{2({\sigma }_f^2+{\sigma }_f^2)}]$
所以$h(x)$也是一个高斯分布函数：
$h(x)=\frac{S_{fg}}{\sqrt{2\pi }{\sigma }_{fg}}exp[-\frac{(x-{\mu }_{fg}{)}^2}{2{\sigma }_{fg}^2}]$
其中$S_{fg}=\frac{1}{\sqrt{2\pi ({\sigma }_f^2+{\sigma }_g^2)}}exp[-\frac{({\mu }_f-{\mu }_g{)}^2}{2({\sigma }_f^2+{\sigma }_f^2)}]$