最大子序列和的求法

求最大子序列和问题的四种算法

定义：

给定整数$A_1$，$A_2$，$A_3$,……，$A_N$(可能有复数），求${\sum }_{k=i}^j{A}_k$的最大值（为方便起见，如果所有整数均为负数，则最大子序列和为0）。

算法一:

int MaxSubsequenceSum(const int A[], int N)
{
	int ThisSum, MaxSum, i, j, k;
	MaxSum = 0;
	for(i=0; i MaxSum)
				MaxSum = ThisSum;
		}
	return MaxSum;
}

注：该种算法会进行大量不必要的计算，运行效率较低。

算法二:

int MaxSubsequenceSum(const int A[], int N)
{
	int ThisSum, MaxSum, i, j;
	MaxSum = 0;
	for(i = 0; i < N; i++)
	{
		ThisSum = 0;
		for(j = i; j < N; j++)
		{
			ThisSum += A[j];
			if(ThisSum > MaxSum)
				MaxSum = ThisSum;
		}
	}
	return MaxSum;
}

注：算法二是算法一的改进版本，相比于算法一，算法二减少了一个for循环，减少了不必要运算，提高了运行效率。

算法三：

	static int MaxSubSum(const int A[], int Left, int Right)
	{
		int MaxLeftSum, MaxRightSum;
		int MaxLeftBorderSum, MaxRightBorderSum;
		int LeftBorderSum, RightBorderSum;
		int Center, i;
		if(Left == Right)	/*Base Case*/
			if(A[Left] > 0)
				return A[Left];
			else
				return 0;
		Center = (Left + Right)/2;

		MaxLeftSum = MaxSubSum(A, Left, Center);
		MaxRightSum = MaxSubSum(A ,Center + 1, Right);

		MaxLeftBorderSum = 0;
		LeftBorderSum = 0;
		for(i = Center; i >= Left; i--)
		{
			LeftBorderSum += A[i];
			if(LeftBorderSum > MaxLeftBorderSum)
				MaxLeftBorderSum = LeftBorderSum;
		}

		MaxRightBorderSum = 0;
		RightBorderSum = 0;
		for(i = Center + 1; i <= Right; i++)
		{
			RightBorderSum += A[i];
			if(RightBorderSum > MaxRightBorderSum)
				MaxRightBorderSum = RightBorderSum;
		}
		return MAX3(MaxLeftSum, MaxRightSum, MaxLeftBorderSum + MaxRightBorderSum);	/*伪代码，取三个数值中最大的一个*/
	}


	int MaxSubsequenceSum(const int A[], int N)
	{
		return MaxSubSum(A,0,N-1);
	}

注：算法三采用了“分治”策略，它的代码虽然长，但比算法二更加高效。其想法是把问题分成两个大致相等的子问题，然后递归地对它们求解，这是“分”部分。“治”阶段将两个子问题的解合并到一起并可能再做些少量的附加工作，最后得到整个问题的解。
在求最大子序列和的问题中，最大子序列和可能在三处出现。或者出现在输入数据的左半部，或者出现在输入数据的右半部，或者跨越输入数据的中部从而占据左右两半部分。
前两种情况可以用递归求解。第三种情况的最大和可以通过求出前半部分的最大和（包含前半部分的最后一个元素）以及后半部分的最大和（包含后半部分的第一个元素）而得到。然后将这两个和加在一起。

算法四：

	int MaxSubsequenceSum(const int A[], int N)
	{
		int ThisSum, MaxSum, j;
		ThisSum = MaxSum = 0;
		for(j = 0; j < N; j++)
		{
			ThisSum += A[j];
			if(ThisSum > MaxSum)
				MaxSum = ThisSum;
			else if(ThisSum < 0)
				ThisSum = 0;
		}
		return MaxSum;
	}

注：算法四只用了一个for循环，实现起来比递归算法简单而且更为有效。