信息检索常用的评价指标整理 MAP nDCG ERR F-measure Precision Recall

相关文献：

learning to rank ： https://en.wikipedia.org/wiki/Learning_to_rank#cite_note-13
MRR： https://en.wikipedia.org/wiki/Mean_reciprocal_rank
Precision and Recall： https://en.wikipedia.org/wiki/Precision_and_recall
chales‘blog ： http://charleshm.github.io/2016/03/Model-Performance/

一 查准率与查全率

Precision（P）

是指检索得到的文档中相关文档所占的比例，公式如下：

如果我们只考虑召回的所有结果的top n文档的 查准率， 叫做 P@n

Recall： （R）

查全率率是指所有相关文档中被召回到的比例，公式如下：

如果我们只考虑召回的所有结果的top n文档的 查准率， 叫做 R@n

即使仅仅观察查全率为100% 也没多大意义， 虽然相关的文档 被全部召回了， 但是往往代价是伴随着更多的不相关文档被召回，导致查准率下降， 所以应该同时考虑两个指标，尽可能的都要高。

F-measure

一种同时考虑准确率和召回率的指标。公式如下：

$$F=\frac{2\times precision\times recall}{(precision+recall)}$$

可以看出F的取值范围从0到1。另外还有一种F的变体如下所示：

常用的两种设置是$F2$和$F0.5$，前者中recall重要程度是precision的两倍，后者则相反，precision重要程度是recall的两倍。

二 Mean average precision（MAP）

准确率和召回率都只能衡量检索性能的一个方面，最理想的情况肯定是准确率和召回率都比较高。当我们想提高召回率的时候，肯定会影响准确率，所以可以把准确率看做是召回率的函数，即：$P=f(R)$，也就是随着召回率从0到1，准确率的变化情况。那么就可以对函数$P=f(R)$在R上进行积分，可以求P的期望均值。公式如下：


微分：


其中k是召回文档中的某doc rank位置， n是所有召回文档数，$P(k)$为cut-off $k$ in the list准确率，$\Delta r(k)$为$k-1$ 到$k$的召回率变化量

等价于下面的公式：

$ rel(k)$ 值为0或1，如果doc k是相关文档，$rel(k)$为1，否则为0，

AvePAveP的计算方式可以简单的认为是：
$$AveP=\frac{1}{R}\times \sum _{r=1}^R\frac{r}{position(r)}$$

其中$R$表示相关文档的总个数，$position(r)$表示，结果列表从前往后看，第rr个相关文档在列表中的位置。比如，有三个相关文档，位置分别为1、3、6，那么$AveP=\frac{1}{3}\times (\frac{1}{1}+\frac{2}{3}+\frac{3}{6})$。在编程的时候需要注意，位置和第i个相关文档，都是从1开始的，不是从0开始的。
$AveP$意义是在召回率从0到1逐步提高的同时，对每个R位置上的P进行相加，也即要保证准确率比较高，才能使最后的$AveP$比较大。

最后～，MAP计算所有Query的平均准确率分数：
$$MAP=\frac{{\sum }_{q=1}^{Q}AveP(q)}{Q}$$
Q为query数目总量。

三 Mean reciprocal rank（MRR）

$$MRR=\frac{1}{|Q|}\sum _{i=1}^{|Q|}\frac{1}{ran{k}_i}$$
where $ran{k}_i$refers to the rank position of the first relevant document for the i-th query.

第一个正确答案的排名的倒数。MRR是指多个查询语句的排名倒数的均值

四 Expected reciprocal rank (ERR)

一种考虑是，一个文档是否被用户点击和排在它前面的文档有很大的关系，比如排在前面的文档都是不相关文档，那么它被点击的概率就高，如果排它前面的文档都是非常相关的文档，那么它被点击的概率就很低。Cascade Models假设用户从排名由高到底依次查看文档，一旦文档满足了用户的需求，则停止查看后续的文档。用RiRi表示用户只看在位置ii上的文档后就不在需要查看其它文档的概率，显然文档的相关度越高，$R_i$越大。那么用户在位置i停止的概率公式如下：

$$P{P}_r=\prod _{i=1}^{r-1}(1-R_i)R_r$$

ERR表示用户的需求被满足时停止的位置的倒数的期望。首先是计算用户在位置rr停止的概率$P{P}_r$，如下所示：

$$P{P}_r=\prod _{i=1}^{r-1}(1-R_i)R_r$$

其中$R_i$是关于文档相关度等级的函数，可以选取如下的函数：

那么ERR的计算公式如下：

更通用一点，ERR不一定计算用户需求满足时停止的位置的倒数的期望，可以是其它基于位置的函数$\phi (r)$，只要满足$\phi (0)=1$，且$\phi (r)\to 0$随着$r\to \infty$。比如DCG中的$\phi (r)=\frac{1}{lo{g}_2(r+1)}$
ERR论文： https://web.archive.org/web/20120224053008/http://research.yahoo.com/files/err.pdf

五 Discounted cumulative gain (DCG)

在MAP计算公式中，文档只有相关不相关两种，而在nDCG中，文档的相关度可以分多个等级进行打分。

Cumulative Gain (CG)

计算DCG之前先进行计算CG， 公式如下：
$$CG=\sum _{i=1}^{p}re{l}_i$$
$re{l}_i$是位置i处的相关性，上述公式计算了前p个结果的相关性总和
注意到召回结果的doc间任意排序，对CG函数值是无影响的，比如： 召回的三个文档rank依次是doc1，doc2，doc3，相关性依次是 3，2，0，而如果
rank顺序为doc3，doc2，doc1，其CG值依然为5. 而前者排序是最合理的，但CG值相同。

Discounted Cumulative Gain（DCG）

所以要引入对位置信息的度量计算，既要考虑文档的相关度等级，也要考虑它所在的位置信息。假设每个位置按照从小到大的排序，
它们的价值依次递减，意味着，相关度越高的如果排序越靠后，那么分数就应该受到惩罚，
可以假设第i个位置的价值是$\frac{1}{lo{g}_2(i+1)}$，那么排在第i个位置的文档所产生的效益就是$re{l}_i\times \frac{1}{lo{g}_2(i+1)}=\frac{re{l}_i}{lo{g}_2(i+1)}$，公式如下：

另一种比较常用的，用来增加相关度影响比重的DCG计算方式是：

Normalized DCG （NDCG）

由于每个查询语句所能检索到的结果文档集合长度不一，p值的不同会对DCG的计算有较大的影响。所以不能对不同查询语句的DCG
进行求平均，需要进行归一化处理。nDCG就是用IDCG进行归一化处理，表示当前DCG比IDCG还差多大的距离。公式如下：
$$nDC{G}_p=\frac{DC{G}_p}{IDC{G}_p}$$
IDCG为理想情况下最大的DCG值
$$IDC{G}_p=\sum _{i=1}^{|REL|}\frac{2^{re{l}_i}-1}{lo{g}_2(i+1)}$$

其中$|REL|$表示，文档按照相关性从大到小的顺序排序，取前p个文档组成的集合。也就是按照最优的方式对文档进行排序。

如何计算

假如一个query召回的文档前6个为
$D=\{d_1,d_2,d_3,d_4,d_5,d_6\}$
相关性分值依次为
$3,2,3,0,1,2$
意味着$d_1$ 的相关性分值为3，$d_2$相关性分值为2，以此类推。
$CG$值为：

可以看到只是简单的对召回对前6个文档分数简单的加和，并没有考虑doc所在的位置对排序结果的评分影响。而$DCG$的思想是对 越高相关性的doc越往后排会给予一定的更大惩罚项。
$DCG$的计算如下

因为每个query召回文档数目不同，DCG间无法统一比较，所以需要归一化。
先计算IDCG，我们假设实际上此query召回了八个doc，除了上面6个doc，还有$do{c}_7$ 分值为3，$doo{c}_8$分值为0，理想rank情况下的相关分数顺序为：
$3,3,3,2,2,1,0$
计算$IDCG@6$:
$IDC{G}_6=8.740$
$$nIDC{G}_6=\frac{DC{G}_6}{IDC{G}_6}=\frac{6.861}{8.740}=0.785$$

局限性

• nDCG不能惩罚“坏”文档，比如两个query返回了两列结果，分值分别为$1,1,1$, $1,1,10$ 那么两者的nDCG是一样的。注意把$Excellent$,$Fair$,$Bad$映射为分值数字最好为$1,0,-1$,而不是类似于$2,1,0$
• nDCG不能惩罚“缺失” 的doc，比如两个query返回了两列结果，分值分别为$1,1,1$,$1,1,1,1,1$.前者计算$DCG@3$，后者计算$DCG@5$ 的话，两个doc都可以被认为是好的。解决方法是应该采取固定的topk大小来计算$DCG@k$，并在doc不足的query召回结果后面补上“最小权重分值”，如$1,1,1,0,0$,$1,1,1,1,1$ 两者均计算$nDCG@5$

六 分类模型上 Precision 和 Recall的含义

混淆矩阵

True Positive(真正, TP)：将正类预测为正类数.
True Negative(真负 , TN)：将负类预测为负类数.
False Positive(假正, FP)：将负类预测为正类数 →→ 误报 (Type I error).
False Negative(假负 , FN)：将正类预测为负类数 →→ 漏报 (Type II error).

精确率(precision)定义为：

$$P=\frac{TP}{TP+FP}\text{\hspace{1em}(1)}$$
需要注意的是精确率(precision)和准确率(accuracy)是不一样的，
$$ACC=\frac{TP+TN}{TP+TN+FP+FN}$$

在正负样本不平衡的情况下，准确率这个评价指标有很大的缺陷。比如在互联网广告里面，点击的数量是很少的，一般只有千分之几，如果用acc，即使全部预测成负类（不点击）acc 也有 99% 以上，没有意义。

召回率(recall,sensitivity,true positive rate)定义为：
$$R=\frac{TP}{TP+FN}\text{\hspace{1em}(2)}$$

此外，还有 F1F1 值，是精确率和召回率的调和均值，

$$\frac{2}{F_1}=\frac{1}{P}+\frac{1}{R}$$
$$F_1=\frac{2TP}{2TP+FP+FN}\text{\hspace{1em}(3)}$$
精确率和准确率都高的情况下，F1F1 值也会高。

通俗版本

实际上非常简单，精确率是针对我们预测结果而言的，它表示的是预测为正的样本中有多少是对的。那么预测为正就有两种可能了，一种就是把正类预测为正类(TP)，另一种就是把负类预测为正类(FP)。
而召回率是针对我们原来的样本而言的，它表示的是样本中的正例有多少被预测正确了。那也有两种可能，一种是把原来的正类预测成正类(TP)，另一种就是把原来的正类预测为负类(FN)。