线性方程组什么时候无解？多个解？唯一解？

线性方程组什么时候无解？多个解？有唯一解？

一。非齐次线性方程组，无解，多解，唯一解

非齐次线性方程组，就是方程组的等式右边不为0的方程组，系数加上方程等式右边的矩阵，叫做增广矩阵

【例1】求解下列线性方程组

化简后的有效方程组个数小于未知数个数，有多个解 化 简 后 的 有 效 方 程 组 个 数 小 于 未 知 数 个 数 ， 有 多 个 解 。

⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪ 2x1+3x2+x3=2 x1−2x2+2x3=4 3x1+x2+3x3=6  {   2 x 1 + 3 x 2 + x 3 = 2   x 1 − 2 x 2 + 2 x 3 = 4   3 x 1 + x 2 + 3 x 3 = 6  

第一步，先列出增广矩阵，

⎛⎝⎜⎜⎜⎜2133−21123|2|4|6⎞⎠⎟⎟⎟⎟ ( 2 3 1 | 2 1 − 2 2 | 4 3 1 3 | 6 )

第二步，用高斯消元法化简，化简成阶梯矩阵
先把第2行换到第1行

⎛⎝⎜⎜⎜⎜123−231213|4|2|6⎞⎠⎟⎟⎟⎟ ( 1 − 2 2 | 4 2 3 1 | 2 3 1 3 | 6 )

，第2行减第1行的2倍，第3行减第1行的3倍，得到

⎛⎝⎜⎜⎜⎜100−2772−3−3|4|−6|−6⎞⎠⎟⎟⎟⎟ ( 1 − 2 2 | 4 0 7 − 3 | − 6 0 7 − 3 | − 6 )

，第3行减第2行，得到

⎛⎝⎜⎜⎜⎜100−2702−30|4|−6|0⎞⎠⎟⎟⎟⎟ ( 1 − 2 2 | 4 0 7 − 3 | − 6 0 0 0 | 0 )

，化简后的方程组，等于

⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪ 2x1+3x2+x3=2 7x2−3x3=6 0x1+0x2+0x3=0  {   2 x 1 + 3 x 2 + x 3 = 2   7 x 2 − 3 x 3 = 6   0 x 1 + 0 x 2 + 0 x 3 = 0  

这样， x2 x 2 可以通过 x3 x 3 来表示， x1 x 1 也可以通过 x3 x 3 来表示，这样 x3 x 3 就叫做自由变量， x3 x 3 可以取任意值。所以 x1,x2,x3 x 1 , x 2 , x 3 就有无穷多个解。

可见，化简后的有效方程组个数，小于未知数个数。
有效方程组个数=2，未知数个数=3

化简后的有效方程组个数，小于未知数个数。这样的方程组有无穷多个解 化 简 后 的 有 效 方 程 组 个 数 ， 小 于 未 知 数 个 数 。 这 样 的 方 程 组 有 无 穷 多 个 解 。

【例2】求解下列线性方程组

化简后的有效方程组出现(0=d)型式不兼容方程，则无解 化 简 后 的 有 效 方 程 组 出 现 ( 0 = d ) 型 式 不 兼 容 方 程 ， 则 无 解 。

⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪ x1−7x2+6x3=2 2x1+3x2−8x3=3 x1+10x2−14x3=6  {   x 1 − 7 x 2 + 6 x 3 = 2   2 x 1 + 3 x 2 − 8 x 3 = 3   x 1 + 10 x 2 − 14 x 3 = 6  

第一步，先列出增广矩阵，

⎛⎝⎜⎜⎜⎜121−73106−8−14|2|3|6⎞⎠⎟⎟⎟⎟ ( 1 − 7 6 | 2 2 3 − 8 | 3 1 10 − 14 | 6 )

第二步，用高斯消元法化简，化简成阶梯矩阵
第2行减去第1行*2，第3行减去第2行

⎛⎝⎜⎜⎜⎜100−71706−200|2|−1|5⎞⎠⎟⎟⎟⎟ ( 1 − 7 6 | 2 0 17 − 20 | − 1 0 0 0 | 5 )

导出最后一个方程：
0x1+0x2+0x3=5 0 x 1 + 0 x 2 + 0 x 3 = 5
这个方程是不可能成立的，所以原线性方程组无解。
这种形式的方程叫做 {0=d} 方程，其中d是非零数，这种叫做不相容方程，也是自相矛盾的方程。
{0=d} 方程是一种自相矛盾的方程，左边全是0，右边是一个非零，这是自相矛盾的，是不相容的，所以无解。
化简后导出(0=d)形式的方程，方程组无解 化 简 后 导 出 ( 0 = d ) 形 式 的 方 程 ， 方 程 组 无 解

判断有解无解总结：
对于 Ax=b方程组
通过高斯消元法，化简，化成阶梯行方程组
1）先看看是否出现{0=d}形式的不相容方程，如果出现，无解
2）有解的情况下，再看看有效方程个数是否小于未知数个数，如果是，则有无穷多个解。如果正好相等，则有唯一解。

二。齐次线性方程组，非零解，零解

齐次线性方程组，就是方程组的等式右边全部是0的方程组，只有系数矩阵，不需要增广矩阵，所以不会出现{0=d}形式的不相容方程。所以不会出现无解的情况，只需要考虑是多个解，还是唯一解。

对于齐次线性方程组，有 多个解叫做有非零解。唯一解叫做零解。 多 个 解 叫 做 有 非 零 解 。 唯 一 解 叫 做 零 解 。

对于Ax=0的齐次线性方程组，列出其系数矩阵（不需要增广矩阵），使用高斯消元法化简，化为阶梯形矩阵，化简后，判断有效方程组个数是否小于未知数个数，
如果有效方程组个数小于未知数个数，叫做有非零解（多个解） 如 果 有 效 方 程 组 个 数 小 于 未 知 数 个 数 ， 叫 做 有 非 零 解 （ 多 个 解 ）
如果等于，叫做只有零解（唯一解） 如 果 等 于 ， 叫 做 只 有 零 解 （ 唯 一 解 ）

三。什么是矩阵的秩（ zhi` z h i ` ），什么是detA?

∗∗detA∗∗就是矩阵A的行列式的值 ∗ ∗ d e t A ∗ ∗ 就 是 矩 阵 A 的 行 列 式 的 值
什么叫做矩阵的秩？
将矩阵用高斯消元法化简后，非零行的行数叫做行秩，非零列的列数叫做列秩。
矩阵的秩是方阵经过初等变换后的非零行行数或非零列列数 矩 阵 的 秩 是 方 阵 经 过 初 等 变 换 后 的 非 零 行 行 数 或 非 零 列 列 数 。
可以将矩阵看成一个个行向量或者列向量，秩就是极大无关组中所含向量的个数。

定义： A={aij}m×n的不为零的子式得最大阶数称为矩阵A的秩 A = { a i j } m × n 的 不 为 零 的 子 式 得 最 大 阶 数 称 为 矩 阵 A 的 秩 。
记做 rA r A ，或者 rankA r a n k A
特别规定零矩阵的秩就是零。
若A中至少有一个r阶子式不等于零，且在r< min(m,n)时，A中所有的r+1阶子式全为零，则A的秩为r。
由定义直接可得n阶可逆矩阵的秩为n，
通常又将可逆矩阵称为满秩矩阵，满秩矩阵 detA≠0 d e t A ≠ 0
不满秩矩阵就是奇异矩阵，奇异矩阵 detA=0 d e t A = 0
由行列式性质知道，矩阵A的转置AT的秩与A的秩是一样的。

四。通过矩阵的秩（ zhi` z h i ` ）来判断线性方程组无解，有多个解，唯一解的问题

线性方程组什么时候无解，有多个解，唯一解？

1.对于非齐次线性方程组，用矩阵的秩r(A)来判断

对线性方程组进行初等变换（高斯消元法），化为最简型（阶梯形）矩阵，

考查系数矩阵r(A)，增广矩阵r(A,b)，以及方程组未知数个数n
如果系数矩阵的秩r(A)小于增广矩阵的秩r(A,b)， r(A)<r(A,b)，那么方程组无解 r ( A ) < r ( A , b ) ， 那 么 方 程 组 无 解 ；
如果系统矩阵的秩小于方程组未知数个数， r(A)=r(A,b)<n，那么方程组有多个解 r ( A ) = r ( A , b ) < n ， 那 么 方 程 组 有 多 个 解 。
如果系统矩阵的秩等于方程组未知数个数， r(A)=r(A,b)=n，那么方程组有唯一解 r ( A ) = r ( A , b ) = n ， 那 么 方 程 组 有 唯 一 解 。

2.对于齐次线性方程组，用行列式的值 detA来判断。

不存在无解的情况
判断detA， 如果detA==0，则有非零解（无穷多个解） 如 果 d e t A == 0 ， 则 有 非 零 解 （ 无 穷 多 个 解 ）
判断detA， 如果detA≠0，则只有零解（只有唯一解） 如 果 d e t A ≠ 0 ， 则 只 有 零 解 （ 只 有 唯 一 解 ）