单样本和两样本的统计推断：置信区间和假设检验

《商务与经济统计学》读书笔记 6

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1 相关概念

• 置信区间（confidence interval）：用一个区间范围来估计总体参数，和点估计对比。

  点估计：用一个数值来估计总体参数。

• 置信系数（confidence coefficient）：置信区间包含总体参数的概率。

• 置信水平（confidence level）：置信系数的百分比表示形式。
• 常见目标参数

参数	概念	数据类型
μ	均值；平均数	定量
p	比例；百分比	定性
σ2	方差；变异；散步	定量

2 置信区间—单样本的统计推断

2.1 大样本置信区间：正太（ z ）统计量

对于正太分布（ z 分布）的统计量， μ 在大样本下（ 1−α ）的置信区间
α 已知：

x¯±zα/2σx=x¯±zα/2σn√

α 未知：

x¯±zα/2σx=x¯±zα/2sn√

大样本置信区间的条件：
1.目标总体中选择一个随机样本
2.样本容量很大（ n≥30 ）。中心极限定理，保证了 x¯ 的抽样分布近似正态分布。

2.2 小样本置信区间：学生（ t ）统计量

（ t 分布）的统计量， μ 在小样本下（ 1−α ）的置信区间
α 已知：

x¯±tα/2σx¯=x¯±tα/2σn√

α 未知：

x¯±tα/2σx=x¯±tα/2sn√

其中 tα/2 是基于 n−1 个自由度 t 分布中右尾面积 α/2 对应的 t 值。

小样本置信区间的条件：
1.目标总体中选择一个随机样本
2.总体相对频数分布近似于标准正态分布。

2.3 大样本置信区间：总体比例（ p ）统计量

对于重复抽样分布（ p^ 分布）的统计量， p 的大样本下（ 1−α ）的置信区间

p^±zα/2σp^=p^±zα/2pqn−−−√

说明：
1. p^ 的抽样分布均值是 p ， p^是p的无偏估计值 。
2. p^ 的抽样分布标准差是 pq/n−−−−√ ，其中 q=1−p 。
3.对于大样本， p^ 的抽样分布是近似正太的，如果 np^≥15 和 nq^≥15 同时成立，样本被视为大样本。

大样本置信区间的条件：
1.目标总体中选择一个随机样本
2.样本容量很大（如果 np^≥15 和 nq^≥15 同时成立）。

p 值调整：
当 p 值接近1或者0时，大样本的条件很难满足，可以对总体比例进行调整。

总体比例 p 调整后的置信区间。

p˘±zα/2σp˘=p˘±zα/2p˘(1−p˘)n+4−−−−−−−−√

其中， p˘=x+2n+4 。

2.4 样本量的确定

• 总体均值
  根据 μ 的 1−α 置信区间确定样本量
  
  zα/2(σn√)=ME
  
  则可以得到
  
  n=(zα/2)2σ2ME2
  
  

• 总体比例
  根据 p 的 1−α 置信区间确定样本量
  
  zα/2(pqn−−−√)=ME
  
  则可以得到
  
  n=(zα/2)2pqME2

2.5 总体方差 (σ2) 统计量: χ2 分布

σ2的1−α 的置信区间

(n−1)s2χ2α/2≤σ2≤(n−1)s2χ2(1−α/2)

χ2α/2和χ2（1−α/2） 代表自由度为 n−1 的卡方分布右尾和左尾面积为 α/2 所对应的值。

σ2 有效置信区间的条件：
1.从目标总体中选择一个随机样本。
2.总体的频率分布近似正太。

3 假设检验—单样本统计推断

3.1检验统计量、拒绝域及 P 值

• 检验统计量和拒绝域
  原假设( H0 )： μ=μ0
  备择假设( Ha )： μ≠μ0
  检验统计量: z=x¯−μσx¯=x¯−μσ/n√
  

  当 z 落在拒绝域时，我们认为这是一个小概率事件( p=α )，发生的可能性非常低，因此原假设不正确，因而拒绝原假设。
  当 z 落在接受区域，则没有充分的理由来拒绝原假设。（但是也没有充分理由接受原假设）

  此时涉及两类错误：
  第I类错误： H0 为真的情况下拒绝原假设而接受备择假设，犯第I类错误的概率为 α 。
  第II类错误： H0 为假的情况下接受原假设，犯第II类错误的概率为 β 。

  结论	H0 为真	Ha 为真
  接受 H0	正确决定	第II类错误（概率为 β ）
  拒绝 H0	第I类错误（概率为 α ）	正确决定

• p 值：显著性水平
  1.计算 z 值， zp=x¯−μσx¯
  2.如果是单侧检验，那么p值就是靠近备择假设区域的面积。
  如备择假设是 > ，那么 p=P(z>zp) 如备择假设是 < ，那么 p=P(z<zp) ;
  3.如果是双侧检验，那么那么p值就是靠近备择假设区域的面积的两倍。
  p=P(z>|zp|)

  p 值作为检验结果的优势：
  1. p 小于显著水平 α ，那么拒绝原假设。
  2.可以通过 p 来确定能容忍的最大 α 值。

3.2 假设检验：正太（ z ）;学生（ t ）;比例（ p ）；总体方差

• 双侧检验：

统计量	大样本总体均值	小样本总体均值	总体比例（ p ）	总体方差
分布	正太（ z ）	学生（ t ）	（ p ）	σ2
H0	μ=μ0	μ=μ0	p=p0	σ2=σ20
Ha	μ≠μ0	μ≠μ0	p≠p0	σ2≠σ20
检验统计量	z=x¯−μ0σ/n√	t=x¯−μ0s/n√	z=p^−p0σp^=p^−p0p0q0/n√	χ2=(n−1)s2σ20
拒绝域	|z|>zα/2	|t|>tα/2	|z|>zα/2	χ2<χ2(1−α/2)

4 置信区间和假设检验—两样本的统计推断

• 目标参数：

参数	概念	数据类型
μ1−μ2	均值差；平均上的差异	定量
p1−p2	比例差；百分比差；比率差	定性
σ21/σ22	方差比值；变异差异	定量

4.1 大样本总体均值

• x1¯−x2¯ 抽样分布性质
  1. x1¯−x2¯ 的抽样分布均值是 μ1¯−μ2¯ 。
  2.如果两个样本相互独立，抽样分布的标准差：
  
  σ(x¯1−x¯2)=σ21n1+σ22n2−−−−−−−−√
  
  3.根据中心极限定理， x1¯−x2¯ 的抽样分布在大样本下近似服从正太分布。

独立大样本情况下 μ1−μ2 的置信区间：正太 z
(x1¯−x2¯)±za/2(σ(x1¯−x2¯)=(x1¯−x2¯)±za/2σ21n1+σ22n2−−−−−−−√≈(x1¯−x2¯)±za/2s21n1+s22n2−−−−−−−√
独立大样本情况下 μ1−μ2 的假设检验：正太 z

	单侧检验	双侧检验
H0	μ1−μ2=D0	μ1−μ2=D0
Ha	μ1−μ2<D0 （或 μ1−μ2>D0 ）	μ1−μ2≠D0
检验统计量 z	z=(x1¯−x2¯)−D0σ(x¯1−x¯2)=(x1¯−x2¯)−D0σ21n1+σ22n2√≈(x1¯−x2¯)−D0s21n1+s22n2√
拒绝域	z<−zα 或 z>zα	|z|>zα/2
有效大样本统计推断条件	1.两个样本独立的方式从总体中随机抽取 2样本量 n1和n2 都很大。

4.2 小样本总体均值

• 混合样本估计量 s2p
  1. σ2 混合样本估计量表示为 s2p
  
  s2p=(n1−1)s21+(n2−1)s22(n1−1)+(n2−1)=(n1−1)s21+(n2−1)s22(n1+n2−2)

独立小样本情况下 μ1−μ2 的置信区间：学生 t
(x1¯−x2¯)±ta/2s2p(1n1+1n2)−−−−−−−−−−√=(x1¯−x2¯)±ta/2(n1−1)s21+(n2−1)s22(n1+n2−2)(1n1+1n2)−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√
独立小样本情况下 μ1−μ2 的假设检验：正太 t

	单侧检验	双侧检验
H0	μ1−μ2=D0	μ1−μ2=D0
Ha	μ1−μ2<D0 （或 μ1−μ2>D0 ）	μ1−μ2≠D0
检验统计量 t	t=(x1¯−x2¯)−D0s2p(1n1+1n2)√
拒绝域	t<−tα 或 t>tα	|t|>tα/2
有效大样本统计推断条件	1.两个样本独立的方式从两个目标总体中随机抽取 2两个被抽样的总体近似服从正态分布 3两个总体具有相同的方差（ σ21=σ22 ）

• 若 σ21≠σ22 的情况
  

  1. 样本量相同（ n1=n2=n ）
  置信区间: (x1¯−x2¯)±ta/2(s21+s22)/n−−−−−−−−−√
  H0:μ1−μ2=0 下的检验统计量： t=(x1¯−x2¯)(s21+s22)/n−−−−−−−−−√
  t 是基于自由度 v=n1+n2−2=2(n−1) 。
  2. 样本量不相同（ n1≠n2 ）
  置信区间: (x1¯−x2¯)±ta/2(s21/n1+s22/n2)−−−−−−−−−−−−−√
  H0:μ1−μ2=0 下的检验统计量： t=(x1¯−x2¯)(s21/n1+s22/n2)−−−−−−−−−−−−−√
  t 是基于自由度 v=(s21/n1+s22/n2)2(s21/n1)2n1−1+(s22/n2)2n2−1 。

4.3 配对差异试验

对于某些情况，由于某些原因不再符合独立样本，比如考察毕业生男生和女生工资薪酬均值差，如果是独立样本，结果可能因为专业和平均成绩差异而变化比较大，因此可以根据专业和平均成绩进行匹配。

• 配对差异试验的置信区间：

  配对差异试验 μd=(μ1−μ2) 的置信区间。

  • 大样本
    d¯±zα/2σdnd√≈d¯±zα/2σdnd√
  • 小样本
    d¯±tα/2σdnd√
    其中， tα/2 是基于自由度为 nd−1 的。

• 配对差异试验的假设检验：

  	单侧检验	双侧检验
  H0	μd=D0	μd=D0
  Ha	μd<D0 （或 μd>D0 ）	μd≠D0
  大样本
  检验统计量 z	z=d¯−D0σd/nd√≈d¯−D0sd/nd√
  拒绝域	z<−zα 或 z>zα	|z|>zα/2
  有效大样本统计推断条件	1随机样本差值是从两个目标总体中随机抽取 2样本量 nd 很大（ σ21=σ22 ）
  小样本
  检验统计量 t	t=d¯−D0sd/nd√
  拒绝域	t<−tα 或 t>tα	|t|>tα/2
  有效小样本统计推断条件	1.随机样本差值是从两个目标总体中随机抽取 2总体差异近似服从正态分布

4.3 总体比例

• p1^−p2^ 抽样分布性质
  1. p1^−p2^ 的抽样分布均值是 p1−p2 。即：
  
  E(p1^−p2^)=p1−p2
  
  2.如果两个样本相互独立，抽样分布的标准差：
  
  σ(p1^−p2^)=p1q1n1+p2q2n2−−−−−−−−−−−√
  
  3.根据中心极限定理， p1^−p2^ 的抽样分布在大样本下近似服从正太分布。

• 独立大样本情况下 p1−p2 的置信区间：
  (p1^−p2^)±za/2σ(p1^−p2^)=(p1¯−p2¯)±za/2p1q1n1+p2q2n2−−−−−−−−−√≈(p1^−p2^)±za/2p1^q1^n1+p2^q2^n2−−−−−−−−−√
  独立大样本情况下 p1−p2 的假设检验：正太 z
  
  

  	单侧检验	双侧检验
  H0	p1−p2=0	p1−p2=0
  Ha	p1−p2<0 （或 p1−p2>0 ）	p1−p2≠0
  检验统计量 z	z=(p1^−p2^)σ(x^1−x^2)=(p1^−p2^)p1q1n1+p2q2n2√≈(p1^−p2^)p1^q1^n1+p2^q2^n2√
  拒绝域	z<−zα 或 z>zα	|z|>zα/2
  有效大样本统计推断条件	1.两个样本独立的方式从总体中随机抽取 2样本量 n1和n2 都很大（ n1p^1≥15,n2p^2≥15 ）。

4.4 样本量确定

• 总体均值
  根据 μ1−μ2 的 1−α 置信水平和误差限 ME 确定样本量
  
  zα/2σ21n1+σ22n2−−−−−−−−√=ME
  
  此时 n=n1=n2 则可以得到
  
  n=(zα/2)2(σ21+σ212)ME2
  
  

• 总体比例
  根据 p 的 1−α 置信区间确定样本量
  
  zα/2p1q1n1+p2q2n2−−−−−−−−−−−√=ME
  
  此时 n=n1=n2 则可以得到
  
  n=(zα/2)2(p1q1+p2q2)ME2

4.5 总体方差：两样本

独立大样本情况下相等方差的 F 假设检验： F

	单侧检验	双侧检验
H0	σ21=σ22	σ21=σ22
Ha	σ21<σ22或（σ21>σ22）	σ21≠σ22
检验统计量 F	F=s22s21（或F=s21s22）	F=较大的样本方差较小的样本方差
拒绝域	F>Fα	F>Fα/2
有效大样本统计推断条件	1.被抽样的总体服从正态分布 样本随机且独立。