最小生成树算法

最小生成树算法有：Kruskal 算法和 Prim 算法。

首先明确关于图的几个概念：

• 连通图：在无向图中，若任意两个顶点 v_i 与 v_j 都有路径相通，则称该无向图为连通图。
• 强连通图：在有向图中，若任意两个顶点 v_i 与 v_j 都有路径相通，则称该有向图为强连通图。
• 连通网：在连通图中，若图的边具有一定的意义，每一条边都对应着一个数，称为权；权代表着连接两个顶点的代价，称这种连通图叫做连通网。
• 生成树：一个连通图的生成树是指一个连通子图，它含有图中全部 n 个顶点，但只有足以构成一棵树的 n-1 条边。（一颗有 n 个顶点的生成树有且仅有 n-1 条边，如果生成树中再添加一条边，则必定成环。）
• 最小生成树：在连通网的所有生成树中，所有边的代价和最小的生成树，称为最小生成树。

Kruskal 算法

也可以称为加边法，初始最小生成树边数为 0，每迭代一次就选择一条满足条件的最小代价边，加入到最小生成树的边集合里：

1. 把图中的所有边按代价从小到大排序；
2. 把 n 个顶点的图看成独立的 n 棵树组成的森林；
3. 按权值从小到大选择边，所选的边连接的两个顶点 u_i、v_i 应属于两颗不同的树，则成为最小生成树的一条边，并将这两颗树合并作为一颗树。
4. 重复步骤 3，直到所有顶点都在一颗树内或者有 n-1 条边为止。

Kruskal 算法

时间复杂度（边数 e）：O(e*log₂e)

Prim 算法

也可以称为加点法，每次迭代选择代价最小的边对应的点，加入到最小生成树中。算法从某一个顶点 s 开始，逐渐长大覆盖整个连通网的所有顶点。

1. 图的所有顶点集合为 V；初始令集合 u = {s}, v = V−u;
2. 在两个集合 u、v 能够组成的边中，选择一条代价最小的边 (u₀, v₀)，加入到最小生成树中，并把 v₀ 并入到集合 u 中。
3. 重复上述步骤，直到最小生成树有 n-1 条边或者 n 个顶点为止。

Prim 算法

由于不断向集合 u 中加点，所以最小代价边必须同步更新；需要建立一个辅助数组 edge[]，用来维护集合 v 中每个顶点与集合 u 中最小代价边信息。每次 u 新加入一个点后，扫描它能到的点，假设它到某个点 i 的代价更小，就替换掉原先的 edge[i] 的代价值。

时间复杂度（节点数 v，边数 e）：
邻接矩阵 O(v²)
邻接表 O(e*log₂v)