一阶IIR滤波器的C语言设计和优化

对于N阶IIR的计算方程式为：

其中N表示滤波器的级数，当N＝1的时候，其方程可以展开为如下所示：

本文的研究对象就是这个一阶方程，其中y为输出数据，x为输入数据，a和b为滤波器的系数。

x[n]为本次要滤波的输入数据，x[n-1]为上一次滤波前的输入数据，y[n-1]为上一次滤波器输出的数据。

设计这个滤波器，主要就是设计其中的系数a和b。

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几乎网上的所有资料都是叫你使用matlab中的fdtool来设计参数，其实如果只是计算滤波参数，

完全不用安装matlab这个几百兆的大家伙，可以使用下面介绍的小工具完成任务：

1.直接在线计算：http://www-users.cs.york.ac.uk/~fisher/mkfilter

2.下载专用小软件ScopeIIR，官方网站：http://iowegian.com/scopeiir

3.下载专用小软件FiWiz，官方网站：http://www1.icsi.berkeley.edu/~storn/fiwiz.html

4.下载专用小软件Iowa Hill，官方网站：http://iowahills.com/8DownloadPage.html

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无论使用哪种方式计算参数，都要输入采样率，滤波器类型，滤波级数，截止频率等参数。

最后都会得到A0,A1,A2,B0,B1,B2这样的滤波器系数，直接代入到公式中计算就可以了。

默认情况下，公式中的数据用代码都是采用浮点数float或者double来计算，这样可以提高精度，
但是大量的浮点乘法计算量比较大，特别是对于主频不高的单片机而言就更为吃力；
所以我们希望可以使用定点整数以减少计算量，甚至希望用移位器和加法器来代替乘法。

下面就举一个实例来研究如何减少计算量：

我们要设计一个采样率为1000，截止频率为100，滤波器类型为Butterworth，阶数为1的IIR低通滤波器，
通过计算得到如下参数：

B[0]=+1.000000
B[1]=+1.000000
A[1]=-0.509525

(细心的人可能会发现高通滤波器和低通滤波器的区别只有B[1]这个参数，一个为+1.00，一个为-1.00)

代入公式得到：y[n]=x[n]+x[n-1]+0.509525*y[n-1]

我们优化的重点就是这个0.50952*y[n-1]，利用移位法来代替小数乘法，
原理就是把小数分解为1/M[0]+1/M[1]+...的方式，其中M[n]必须为2的整数次幂，
分解的次数越多，分母越大，误差就越小，可以根据实际情况需要选择分解的精度。

分解过程：

0.509525 * 1024 = 521(注：需要更高精度，可以把1024改为2048，4096，8192.......)

=521/1024

＝(512+8+1)/1024

=512/1024+8/1024+1/1024

=1/2+1/8+1/1024

所以这个公式可以改写为：y[n]=x[n]+x[n-1]+y[n-1]/2+y[n-1]/8+y[n-1]/1024

最后附上C语言代码：

/*************************************************************************************************
* 输入待滤波的数据，返回滤波后的数据
* 由于输入输出都是整型数据，为了防止数据溢出或数据太小，可以将输入数据先左/右移N位，最后返回时再右/左移N位
**************************************************************************************************/
int iir_filter(int x1)
{
    static int x0;
    static int y0;
    int y1;
    y1 = x1 + x0 + (y0>>1) + (y0>>3) + (y0>>10);
    x0 = x1;
    y0 = y1;
    return y1;
}