列向量和行向量看待矩阵乘法

声明： 仅个人小记
前言： 主要是引入一个新的看待矩阵乘法的角度觉得这个挺重要的，故做记录

列向量角度，矩阵左乘

AB = C
结合上图，我们可以知道，结果矩阵C中的第 j 列完全可以表示为矩阵A中列向量的线性组合，具体怎样的线性组合完全是参看矩阵B中相应的第 j 列，与矩阵B中的其他列无关。

换言之，左侧矩阵提供基本的列向量，右侧的矩阵交代怎样的线性组合。

行向量角度，矩阵右乘

AB = C
结合上图，结果矩阵C中的第i行完全可以表达为矩阵B中的行向量的线性组合，具体如何进行线性组合，完全参看矩阵A中相应的第i行，与矩阵A中的其他行无关。
右侧矩阵提供基本的行向量，左侧矩阵交代进行怎样的线性组合，结果矩阵便是线性组合的结果。

根据上述讨论，解释两个定理

1. 定理一
   矩阵方程AX = B 有解的充分必要条件是R(A) = R(A,B)

   上面的总结可以很好的解释下面这个定理，即

   R(A) ： 矩阵A的秩
   (A,B) ：即两个矩阵水平按左右放在一起构成一个新的矩阵C。

   由上面知道，B中的每一列都可以表达为A中的列向量进行线性组合，所以**(A,B)中的B部分是可以通过初等变换被左边的A**完全消化，即，B的引入并没有树立新的独立的维度。

2. 定理二
   对于矩阵A,B , 有 R(AB) <= min{R(A),R(B)}
   AB 是矩阵A和矩阵B的乘积结果，记作C。

   由上面的分析，可以知道，结果矩阵C中的所有向量都是可以表达为矩阵A的线性组合。我们可以进一步考虑C中能有多少个列向量呢？显然，结果矩阵C中的列向量的数目是由矩阵B的列数决定的。这里的讨论先暂停一下。

   我们来讨论一下矩阵的秩，

   • 矩阵的秩是可以看作是矩阵列(行)向量张成的空间的维度。
   • 矩阵的秩 <= min{该矩阵行数，该矩阵列数}
   • 从N维度空间中任意选出一组向量，以这组向量为基向量重新构建的空间的维度一定不会超过N。
   • 从N维度空间中任意选出M个向量，以这组向量为基向量重新构建的空间的维度一定不会超过M。

   所以，由于结果矩阵C中的列向量都是选自由矩阵A的列向量为基向量张成的空间。所以C中列向量张成的空间的维度一定不超过矩阵A的列向量张成的空间的维度，即矩阵A的秩。即得到 R(AB) = R© <= R(A)。

   同样，我们再从行向量的角度看待AB。结果矩阵C中的行向量都是选自由矩阵B的行向量为基向量所张成的空间。所以结果矩阵C中行向量张成的空间的维度一定不超过矩阵B的行向量张成的空间的维度，即矩阵B的值。从而得到R(AB) = R© <= R(B)。

   根据上述讨论，得到R(AB) <= {R(A),R(B)}