时间序列预测之二：灰色模型

目录

1、简介

（1）常见系统分类

（2）灰色预测法

2. 灰色生成数列

（1）累加生成（AGO）

（2）累减生成(IAGO)​

（3）加权邻值生成​

3. 灰色模型GM(1,1)

4. 检验预测值

（1）残差检验：计算相对残差

（2）级比偏差值检验：计算

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1、简介

        灰色模型（Gray Model），常用来对数据进行预测。灰色预测是针对灰色系统所做的预测。控制论中，信息的多少常以颜色的深浅来表示，

• 信息充足、确定为白色；
• 信息缺乏、不确定为黑色；
• 部分确定部分不确定为灰色。

灰色系统指信息不完全的系统，信息的不完全可能是系统因素不完全明确、元素关系不完全清楚、系统结构不完全知道、系统的作用原理不完全明了。

        灰色预测模型所需建模信息较少，运算方便，建模精度高，是处理小样本预测问题的有效工具，但缺少对系统内在机理的考量，有可能出现较大误差，一般不推荐使用。

        灰色预测适用条件：用于时间短、数据资料少、数据不需要典型的分布规律、计算量较低、对短期预测有较高精度。不适合随机波动较大的数据。

       灰色预测建模思想：直接将时间序列转化为微分方程，建立抽象系统的发展变化动态模型。常用模型为：GM(1,1)模型，也称为单序列一阶线性动态模型。

（1）常见系统分类

• 白色系统是指一个系统的内部特征是完全 已知的，即系统的信息是完全充分的。

• 黑色系统是指一个系统的内部信息对外界来说是一无所知的，只能通过它与外界的联系来加以观测研究。

• 灰色系统内的一部分信息是已知的，另一部分信息是未知的，系统内各因素间有不确定的关系。

（2）灰色预测法

• 灰色预测通过鉴别系统因素之间发展趋势的相异程度，即进行关联分析，并对原始数据进行生成处理来寻找系统变动的规律，生成有较强规律性的数据序列，然后建立相应的微分方程模型，从而预测事物未来发展趋势的状况。

2. 灰色生成数列

        灰色系统理论认为，尽管客观表象复杂，但总是有整体功能的，因此必然蕴含某种内在规律。关键在于如何选择适当的方式去挖掘和利用它。灰色系统是通过对原始数据的整理来寻求其变化规律的，这是一种就数据寻求数据的现实规律的途径，也就是灰色序列的生产。一切灰色序列都能通过某种生成弱化其随机性，显现其规律性。数据生成的常用方式有累加生成、累减生成和加权累加生成。

（1）累加生成（AGO）

       累加生成的特点：

  一般经济数列都是非负数列，累加生成能使任意非负数列、摆动的与非摆动的，转化为非减的、递增的。

（2）累减生成（IAGO）

（3）加权邻值生成

3. 灰色模型GM(1,1)

       灰色系统理论是基于关联空间、光滑离散函数等概念定义灰导数与灰微分方程，进而用离散数据列建立微分方程形式的动态模型，即灰色模型是利用离散随机数经过生成变为随机性被显著削弱而且较有规律的生成数，建立起的微分方程形式的模型，这样便于对其变化过程进行研究和描述。
      通常称灰色预测模型为GM(n,h) 模型，常用来预测的是GM(1，1)：

                                           

 该模型通过求解微分方程

                                                       

其预测模型一般形式为：

                                      

灰色预测使用步骤：

       （1）对时间序列历史数据做一阶累加处理，得到生成数列：
               

      （2）建立GM(1,1)模型：
                                         

      （3）求得a的值为：

                                        
              其中

                                  

              

    （4）得到a、u的值，代入微分方程解出的时间函数：

                        

            由此，求得数列，然后将此预测值数列利用下式还原为预测数列：
                              

   （5）精度检验：残差检验、关联度检验、后验差检验等。

GM(n,h)模型

    在系统具有n阶倒数，h个变量及原始表征量时可用该模型。与GM(1,1)模型相比，该模型是n阶微分方程求解得到的，不具体说明，在时间序列中，常用到的就是GM(1,1)模型。

4. 检验预测值

（1）残差检验：计算相对残差

（2）级比偏差值检验：计算