仿射变换2
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第6篇•图像知识篇——仿射变换
OpenCV机器视觉图像处理MATLAB · 2016-01-02 07:06
大家好，之前没有更新，自己也挺不好意思，先给大家道歉。不过前天遇到仿射变换中6个自由度与6个单独的“原子变换”的关系，查了很长时间发现网上相关内容要么只列举六个“原子变换”，要么列举一堆公式，结果还是搞不懂，也没有看到中文论文或者博客中有详细解释，挺让我失望的。庆幸找到一本书——《Multiple View Geometry inComputer Vision》和Jongwoo Lim and David Ross的程序，让我大概了解这两个参数之间的对应关系，感谢下老外的细微描述能力和分享精神。我之前的文章很多都是看书或者网上查找的，用自己语言尽可能简单的语言描述出来，不算什么原创，最多算个知识的搬运工。由于微信内容不能输入公式，因此用了Multiple View Geometry in Computer Vision》书中公式截图。闲言少叙，进入主题。
仿射变换几何书上都有，公式如下：
分块表示为：
其中
为6个自由度，对应的6个“原子变换”为X和Y方向上的位移（两个），旋转（一个），回转（错切，一个），X和Y方向分别缩放的比例因子（两个）。旋转（一个），回转（错切，一个）如下图（来自《Multiple View Geometry in Computer Vision》）所示：
在解释变换对应关系之前，先引入一个基础知识。
等距变换，即包括图像整体旋转（包括对称）和位移，图像中变换前后长度、角度和面积不变，并且保持平行关系。公式为：
其中为1时改等距变换为保向的（平移和旋转），为-1时该等距变换为逆向的。这里假设左上角的2×2矩阵为R，如下公式表示：
相似变换，即包括图像整体缩放、旋转和位移。公式如下：
分块表示为：
退回到仿射变换，“原子变换”中的位移直接对应于仿射变换矩阵的tx和ty。其他的四个自由度对应于仿射变换矩阵中A。这里A可以通过奇异值分解，映射到四个自由度，公式如下：
这里的R为前面等距变换中的定义。最后附上MATLAB代码：
function q =affparam2mat(p)
%功能：由原子变换计算仿射变换矩阵；
% Reference "Multiple View Geometry in Computer Vision"by Richard
% Hartley and Andrew Zisserman.
% Copyright (C) Jongwoo Lim and David Ross. All rights reserved.
sz = size(p);
if (length(p(:)) ==6)
p = p(:);
end
s = p(3,:); th =p(4,:); r = p(5,:); phi = p(6,:);
cth = cos(th); sth= sin(th); cph = cos(phi); sph = sin(phi);
ccc = cth.*cph.*cph; ccs = cth.*cph.*sph; css =cth.*sph.*sph;
scc = sth.*cph.*cph; scs = sth.*cph.*sph; sss =sth.*sph.*sph;
q(1,:) = p(1,:); q(2,:) = p(2,:);
q(3,:) = s.*(ccc +scs +r.*(css -scs)); q(4,:) = s.*(r.*(ccs -scc) -ccs -sss);
q(5,:) = s.*(scc -ccs +r.*(ccs +sss)); q(6,:) = s.*(r.*(ccc +scs) -scs +css);
q = reshape(q, sz);
function q =affparam2geom(p)
% 功能：由仿射变换矩阵计算六个“原子变换”。
% Reference "Multiple View Geometry in ComputerVision" by Richard
% Hartley and Andrew Zisserman.
% Copyright (C) Jongwoo Lim and David Ross. All rights reserved.
A = [ p(3), p(4); p(5), p(6) ];
%% A = USVt =(UVt)(VSVt) = R(th)R(-phi)SR(phi)
[U,S,V] = svd(A);
if (det(U) < 0)
U =U(:,2:-1:1); V = V(:,2:-1:1); S = S(2:-1:1,2:-1:1);
end
q(1) = p(1);
q(2) = p(2);
q(4) = atan2(U(2,1)*V(1,1)+U(2,2)*V(1,2),U(1,1)*V(1,1)+U(1,2)*V(1,2));
phi = atan2(V(1,2),V(1,1));
if (phi <= -pi/2)
c = cos(-pi/2); s= sin(-pi/2);
R = [c -s; sc]; V = V * R; S = R'*S*R;
end
if (phi >= pi/2)
c = cos(pi/2); s= sin(pi/2);
R = [c -s; sc]; V = V * R; S = R'*S*R;
end
q(3) = S(1,1);
q(5) = S(2,2)/S(1,1);
q(6) = atan2(V(1,2),V(1,1));
q = reshape(q, size(p));