matlab信号频谱分析FFT详解

前言

做OFDM通信少不了频谱分析，基带信号DA后的频谱，以及基带数字上变频后的DA信号都要频谱分析。我觉得其实做任何工程都是这样，先规定实施方案，然后仿真成功，再实际开发，不过也可以一边开发，一边仿真，开发结果要与仿真预期结果一致。
所以分析与仿真工具MATLAB就很重要了，既可以仿真，又可以通过示波器或其他方法把实际信号采下来分析。

matlab使用FFT函数分析信号频谱

一般我使用的FFT分析频谱流程如下：

%% 两个频率分别为15HZ 和 20HZ 的正弦信号[1]
Fs=50;%采样率
f1=15;
f2=20;
t = 0:1/Fs:10-1/Fs; %500个点
x = sin(2*pi*f1*t) + sin(2*pi*f2*t);
figure;
plot(t,x);
y = fft(x); 
%将横坐标转化，显示为频率f= n*(fs/N)
f = (0:length(y)-1)*Fs/length(y);
figure;
plot(f,abs(y));
title('Magnitude');
%该变换还会生成尖峰的镜像副本，该副本对应于信号的负频率。
%为了更好地以可视化方式呈现周期性，可以使用 fftshift 函数对变换执行以零为中心的循环平移。
n = length(x);                         
fshift = (-n/2:n/2-1)*(Fs/n);
yshift = fftshift(y);
figure;
plot(fshift,abs(yshift));

图1时域图像                                                   图2直接FFT的结果                                       图3 FFT平移后的结果

其中有3个注意的点：
1.FFT的结果看的是频谱，所以怎么把横坐标的值从原来的FFT点数0:N-1转换为频率值呢？
首先要引出频谱分辨率的概念，即分辨两个不同频率信号的最小间隔，FFT结果相邻点间的间隔。因为N点FFT对应采样率为fs的序列，其频率分辨率为,其中Ts为采样周期，T为整个序列的时间长度。有关频率分辨率的就不多说了。所以我们横坐标转换为：f = (0:length(y)-1)*Fs/length(y);

2.直接FFT的结果里怎么又多余的信号频率（镜像频率）图2？
DFT具有对称性，因为其是周期序列DFS在一个周期内的点，时域序列是有限长实序列，DFT的结果的实部周期偶对称，虚部周期奇对称，也就是模值周期偶对称，相位周期奇对称。其实从奈奎斯特定律也可以看出，fs>=2f，fs的采样率最多也就显示fs/2的真实频率（感性理解哈哈）。
所以程序处理方式就是周期延拓后取-N/2:N/2-1.用到函数fftshift()，结果如图3.如注释所述：
%该变换还会生成尖峰的镜像副本，该副本对应于信号的负频率。
%为了更好地以可视化方式呈现周期性，可以使用 fftshift 函数对变换执行以零为中心的循环平移。

其实这和设计数字滤波器IIR与FIR也一样，采样率为fs的信号，设计的滤波器的通带阻代也限制在0-fs/2内。

3.程序中的信号幅度值都是1，500点的FFT画出来的幅度值怎么变成了250，应该是1吧？
是的，应该是1。所以怎么变换为1呢，注意到FFT的结果是偶对称的，且其反应的真实频谱是0-fs/2。所以需要的操作是直接取0-N/2的FFT结果，乘以2，然后除以N。即2*abs(y(1:N/2+1))/N，在上面的程序下接着写：
注意到要除以N，也就是FFT的长度，为什么除以N，这个有很多说法，我自己理性理解的也不透彻，所以这里就不解释了自行百度（我只能结合本例子感性理解哈哈）。

%FFT的结果所要展现的真实的频谱幅值[2]
realy=2*abs(y(1:n/2+1))/n;
realf=(0:n/2)*(Fs/n);
figure;
plot(realf,realy);

 结果如图4，可见横坐标频率是0-25，纵坐标信号的幅度为1.

然而，有不少人（包括我）平时分析信号都是直接FFT画频谱：图2，且看幅值都是看相对的大小，或者有没有频率分量，就很少做图3与图4的变换。但是我不知道其中的缘由，今天终于明白了。

图4 FFT所反映的真正的频谱幅值

 

参考资料

[1]傅里叶变换 - MATLAB & Simulink - MathWorks 中国

[2]快速傅里叶变换- MATLAB fft - MathWorks 中国