树的一般知识

树的一般知识

非递归遍历

preorder

最开始将根节点放进栈里。然后拿出来，按照先进后出的原则，先放右儿子，再放左儿子。对着两个点也如此操作。直到整棵树的节点被访问过。

伪代码：

void  Preorder (struct  node  * t)   {             
    Inistack(s); 
     if  ( t )  Push( s,  t );
     while  ( ! Empty( s )  {
           Pop( s,  t );
           visit( t );
           if  ( t->rchild )  Push( s, t->rchild );
           if  ( t->lchild )  Push( s, t->lchild );
     }
}

postorder

给每个节点打一个标记。节点刚进入栈里，标记是 $0$ 。如果节点的两个儿子都已进栈，标记设置为 $1$ ,。标记是 $0$ 的节点被访问时，节点的右、左儿子进栈。标记为 $1$ 的节点被访问，节点出栈。

inorder

也是采用打标记的思路。不同的是，标记为 $0$ 被访问，左儿子进栈，标记设置为 $1$ ；标记为 $1$ 被访问，先出栈，然后右儿子进栈。

森林和树的转换

1. 树转二叉树

将树用 parent-siblings 表示法表示。parent 连接最左边的孩子作为左儿子，而从左儿子依次向右连接 siblings 作为右儿子。

2. 多个二叉树转一个二叉树

选定一个二叉树的根节点作为根节点，其余二叉树根节点依次作为右儿子连接。

3. 二叉树转树

把 $1$ 的步骤反过来即可。

构造Huffman树

给定了一堆字母和他们分别的出现次数，用 $01$ 串编码。

创建一个堆(优先队列)，里面的节点信息：

1. 左右儿子编号
2. 比较键值，在这里是出现次数

一开始编号从 $1$ 到 $n$，全都扔堆里。每次依次拿出两个堆顶，创建一个新节点，左右儿子是这两个节点，键值是他们的和，编号顺着 $+1$，再扔进去。直到堆里只剩下一个，就是根。

构建好 Huffman 树，从根节点向左走编码串后加 $0$，向右走编码串后加 $1$。

AVL树的节点数

如果定义空树的深度为 $-1$， 找出深度为 $i$ 的AVL树的最少节点数 $f(i)$。

$$\begin{gathered} f(0)=1 \\ f(1)=2 \\ f(2)=4 \\ \dots \\ f(5)=20 \\ f(6)=33 \\ \dots \end{gathered}$$
构造深度为 $i$ 的树，应该选取根节点，然后在左子树上构造深度为 $i-1$ 的树，右子树上构造深度为 $i-2$的树。这样 $f(i)=f(i-1)+f(i-2)+1$。

度与节点的关系

节点的度，是节点的子树个数，也是节点的子节点个数，还是与节点相连的次级边的个数。给出所有有度节点的度，将其相加，就得到了整棵树的边数。 $+1$ 就是节点数。

如果设树的度为 $n$，度为 $i$ 的节点有 $d_i$ 个，那么可以求出叶子结点：

$$N=1+\sum _{i=1}^{n}i\times d_i-\sum _{i=1}^n{d}_i=1+\sum _{i=1}^n(i-1)\times d_i$$

特别地，二叉树中，叶子结点个数等于度为 $2$ 的节点数 $+1$。

AVL插入和删除

在任意一棵非空平衡二叉树（AVL 树）$T_1$中，删除某结点 v 之后形成平衡二叉树 $T_2$，再将 $v$ 插入 $T_2$形成平衡二叉树 $T_3$。下列关于 $T_1$与 $T_3$的叙述中，正确的是：(2分)

1. 若 $v$ 是 $T_1$的叶结点，则 $T_1$与 $T_3$可能不相同
2. 若 $v$ 不是 $T_1$的叶结点，则 $T_1$与 $T_3$一定不同
3. 若 $v$ 不是 $T_1$的叶结点，则 $T_1$与 $T_3$一定相同

删除 $2$，得到

再插入 $2$, 就得到原来的树。