NKOJ-3768 数列操作
P3768 数列操作
问题描述
给出 N 个正整数数列 a[1..N]，再给出一个正整数 k，现在可以重复进行如下操作：
每次选择一个大于 k 的正整数 a[i]，将 a[i]减去 1，选择 a[i-1]或 a[i+1]中的一个加上 1。
经过一定次数的操作后，问最大能够选出多长的一个连续子序列，使得这个子序列的每个数都不小于 k。
总共给出 M 次询问，每次询问给出的 k 不同，你需要分别回答。。
输入格式
第一行两个正整数 N 和 M 。
第二行 N 个正整数，第 i 个正整数表示 a[i] 。
第三行 M 个正整数，第 i 个正整数表示第 i 次询问的 k 。
输出格式
共一行，输出 M 个正整数，第 i 个数表示第 i 次询问的答案。
输入输出样例
样例输入 1
5 6
1 2 1 1 5
1 2 3 4 5 6
样例输出 1
5 5 2 1 1 0
样例输入 2
6 4
3 2 1 2 5 1
3 4 1 6
样例输出 2
2 1 6 0
数据范围
对于 40%的数据， 1<=N<=100 1<=M<=50
对于 100%的数据，1<=N<=300000 1<=M<=50a[i] <= 10^9 k <= 10^9
你永远想不到第一题有多难
题解
先简化一下题意
题目当中的操作其实可以转化为：
对于区间[l,r]，若sum[l,r]>=(r-l+1)*k，则该区间满足要求 操作后每个数字不小于k
然后就是一件很纠结的事情
其实我们算的是 sum[l,r] - (r-l+1)*k 是否大于0
但是对于不同的区间[l,r]，减去的(r-l+1)*k是不同的 这就很难处理了
所以我们先做一点简单的
对于区间[1,n] 求出最长的子区间[l,r] 满足sum[l,r]>=0
这道题目就简单多了
①求出前缀和的单调递减序列
②求出满足sum[1,r]-sum[1,l]>0的 r-l 最大值
例如 区间元素为 1 -2 1 1 -4 1 2
那么前缀和为 1 -1 0 1 -3 -2 0
单调递减序列 0(pos=0) -1 -3
于是在求r-l的最大值时 我们就枚举pos=7 -> pos=1
求出对于r 最小的单调序列的编号
pos=7时 单调队列的当前编号为5，对应的前缀和为-3
sum[7] - sum[5] = 0(第七个位置的前缀和)-(-3)(第五个位置的前缀和)=3>0
所以可以更新最大长度为 7-5+1=3
如此往复 即可得到对于7的最长序列为 7（pos=0的点sum=0->满足条件）
为什么我们只需要考虑单调队列中的元素呢？
对于单调队列中的任意两个连续的下标 l,r 当天讨论的点为 p
如果 sum[p]-sum[l]<0
那么由于队列的单调性 sum[p+k]>=sum[p] (p+k=sum[p]所以sum[p+k]也一定不满足要求
反之 如果sum[p+k]满足要求 那么sum[p]也一定能满足要求
小问题解决了
那么我们能不能把原来的问题转化成这个问题呢？
答案是肯定的
我们可以把数列中的每一个数字都减去 k
转化后 我们求得等价于原来的
sum[l,r] -(r-l+1)k >= (r-l+1)k -(r-l+1)k
[黑色的字体即为减去的k们]
问题解决
注意
①要用long long（套路真的深）
②对于最长的满足要求的序列即为原序列的特殊情况，我们应该把队列中的第一个元素位置赋值为0 sum[0]=0 （具体原因自己想想 当然你也可以先WA再想）
附上对拍代码
#include sq[top]])sq[++top]=i;
}
for(long long i=n;i;i--)
{
while(top&&sum[sq[top]]<=sum[i])top--;
res=max(res,i-sq[top+1]);
}
printf("%d ",res);
}
}