AT4119 [ARC096C] Everything on It

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分析：
每种配料至少出现两次好像很难做，我们考虑容斥，算某些配料没有出现两次，也就是最多出现了一次的方案
设\(F_i\)表示至少有\(i\)种配料最多出现了一次
答案即为\(\sum_{i=0}^{n}(-1)^iF_i\)
考虑如何计算\(F_i\)
首先我们思考这\(i\)种配料放到\(j\)碗面里面，由于每种配料最多出现一次，所以\(j\leq i\)
把\(i\)个元素划分进\(j\)个非空集合的方案数即第二类斯特林数
但是是最多出现一次而不是恰好一次，可能有元素没有出现，考虑新建一个集合\(S\)，将不出现的元素放入这个集合
由于新建的集合也有可能是空的，即所有元素都出现了恰好一次，再新增一个0号元素，将0号元素存在的集合钦定为集合\(S\)
多一个元素，多一个集合，那么\(i\)种配料放到\(j\)碗面里面，每种配料最多出现一次的方案数为\(S2\)_{i+1,j+1}
先给出\(F_i\)吧：

\[F_i=\binom{n}{i}2^{2^{n-i}}\sum_{j=0}^{i}\begin{Bmatrix}{i+1}\\{j+1}\end{Bmatrix}(2^{n-i})^j \]

组合数意义为在\(n\)个元素里选\(i\)个，剩下的元素提供\(2^{n-i}\)种配料组合，这些配料组合能组成\(2^{2^{n-i}}\)种拉面组合
而前面\(i\)种元素的\(j\)碗面也可以添加剩下\(n-i\)的配料，构成\((2^{n-i})^j\)种方案
预处理组合数斯特林数计算，复杂度\(O(n^2)\)

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