leetcode刷题总结之回溯法

前言：
最近太懒了，好久都没写总结了。回溯法是看labuladong的详解回溯法入的门，然后看了《计算机算法设计与分析》第5章的回溯法部分弄清了原理，在leetcode上做了差不多20个题，今日总结一下，供以后复习用。

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回溯法的定义：
回溯法有通用解法的美称，对于很多问题，如迷宫等都有很好的效果。回溯法实际就是对问题的解空间树采用深度优先搜索的方式，搜索需要解决问题的任一解或者所有解，它是一个既带系统性又带跳跃性的搜索算法。

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回溯法的解空间树：
所有可行解构成的多叉树成为解空间树，解空间树中从根节点到叶子节点的一条路径为回溯法的任一解。对于n=3时，0/1背包表示的解空间树，如下：

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回溯法的解题步骤：

• 1）针对所给问题，定义问题的解空间（一个可行解）
• 2）确定易于搜索的解空间结构（选择列表）
• 3）以深度优先搜索的方式搜索解空间，并在搜索过程中用剪枝函数避免无效搜索

注：剪枝函数分为约束函数和限界函数。约束函数表示在解空间树的扩展节点处剪去不满足约束的子树，限界函数表示减去得不到最优解的子树。

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回溯法的框架：

//choicelist：表示可以进行选择的列表，相当于树中可选用左节点还是右节点
//track：表示为决策路径,相当于在解空间树中为根节点到某个叶子节点的路径
//result：表示存放根节点到所有叶子节点的所有路径，所有可行解
backtrack(choicelist,track,result)
{
	if(track is ok)result.push(track);//找到一个可行解
	else{
		for choice in choicelist:
			//choose过程:选择一个choice加入track,相当于在树中选择一个节点加入路径
			track.push(choice);
			
			//进入下一步决策
			backtrack(choicelist-choice,track,result);
			
			//unchoose过程:从track中撤销上面的选择,相当于在树中移除上一次选择的节点
			track.insert(choice);
	}
}

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回溯法的时间复杂度：

• 对于像0/1背包这种问题，每次要做的决策是选或不选，相应的解空间树为子集二叉树，共2^(n+1)-1==叶子节点，所以时间复杂度为O(2^n)。
• 对于像全排列这种问题，每次要做的决策是还剩下的列表选一个数字，相应的解空间树为排列树，共n!个叶子节点，所以时间复杂度为O(n!)。
• 注：无论是子集树还是排列树，不过就是可选择的列表不一样罢了。

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习题解析：

10.正则表达式匹配：回溯框架变形，细节问题比较难想，具体可看题解。

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17.电话号码的字母组合：回溯法的标准框架，没啥变化，具体可看题解。

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22.括号生成：本题使用n来表示左括号可以使用个数，用index来表示右括号可以使用的次数。在每使用掉一个左括号时，对应可以使用右括号的数量+1，因为这样可以保证左右括号是对等的（也就是先有左括号，然后再有右括号，这样就避免无效括号了）。

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37.解数独：回溯框架+剪枝，其他细节问题较多，具体可看题解。

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39.组合总和：回溯的标准框架，细节问题可看题解。

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40.组合总数 Ⅱ：在39.组合总和的基础上加上剪枝即可。

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44.通配符匹配：回溯框架变形，细节问题可看题解。

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46.全排列：回溯的标准框架，细节问题可看题解。

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47.全排列 Ⅱ：在46.全排列的基础上加上剪枝，针对同一层次的计算，对连续的相同的元素只选取一个进行后续的替换，即可等价于基础全排列。

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51.N皇后：回溯框架+剪枝（判断皇后是否为可行皇后），细节问题可看题解。

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52.N皇后 Ⅱ：本题在51.N皇后基础上直接返回所有可行皇后的个数。

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60.第k个排列：本题使用回溯超时了，遂使用数学方法康托展开法来解题。

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77.组合：本题与全排列的区别在于全排列中会出现[1,2]、[2,1]这样的排列，然而在组合中是不能存在的，所以我们每次需要将组合数第一个数固定，然后组合数之后的数依次增大。

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78.子集：与77.组合的算法思想一样，发现共性便可求解。

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79.单词搜索：本题又是一道回溯法经典练习题，212.单词搜索 Ⅱ是使用前缀树+回溯法解决的，而本题难度相对而言小一点，直接使用回溯法就好了。

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89.格雷编码：这里用暴力法比回溯法简单一点，不过两份代码都提供了，具体可看题解。

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93.复原IP地址：回溯法，ip地址有三个点，分为四段，每段的数字范围必须在[0,255]内，注意0只能作为单独一个段，比如：0.0.0.124，细节问题具体可看题解。

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131.分割回文串：思想与N皇后的回溯法差不多的模板，寻找到所有的可行解后，回溯完成！

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282.给表达式添加运算符：本题最难最难的就是处理乘法了，由于乘法的优先级比加、减法高，所以在遇到乘号时需要回退到上一步，然后将上一步的操作数与乘法进行运算。