离散数学——第四章 代数结构

这是大一下离散数学笔记的最后一章。图论等知识在大二上教授。

第四章 代数结构

4.1.前言

4.1.1.本章概述

4.2.代数系统

4.2.1.运算

• 运算的定义
  设A是一个集合，$A\times A$到$A$上的映射为A上的二元运算。一般地，$A^n$到A的映射为$A$上的n元运算。
  记运算结果为$f(<x_1,x_2\dots \dots x_n>)$，或简记为$f(x_1,x_2\dots \dots x_n)$。
  在之后的讨论中，默认运算都是二元运算。

• 运算的封闭性
  对于集合 $A$ ，一个从 $A^n$ 到 $B$ 的映射，称为集合 $A$ 上的 一个 $n$ 元运算。如果 $B\subseteq A$ ，则称该 $n$ 元运算是封闭的。
  也就是说，$\forall x_1,x_2,\dots \dots x_n\in S$，恒有$f(x_1,x_2,\dots \dots ,x_n)\in S$,则称集合$S$对运算$f$封闭。

  比如，自然数集对实数集上的减法不封闭。

• 运算律

  • 交换律
    设 $\ast$ 是定义在集合 $A$ 上的二元运算，如果对于任意的 $x,y\in A$ ，都有 $x\ast y=y\ast x$ ，则称二元运算 $\ast$ 在 $A$ 上是可交换的。

  • 结合律
    设 $\ast$ 是定义在集合 $A$ 上的二元运算，如果对于任意的 $x,y,z\in A$ ，都有 $(x\ast y)\ast z=x\ast (y\ast z)$ ，则称二元运算 $\ast$ 在 $A$ 上是可结合的。

  • 分配律
    设 $\ast ,△$ 是定义在集合 $A$ 上的二元运算，如果对于任意的 $x,y,z\in A$ ，都有
    $$\begin{gathered} x\ast (y△z)=(x\ast y)△(x\ast z)（1） \\ (y△z)\ast x=(y\ast x)△(z\ast x)（2） \end{gathered}$$
    则称运算 $\ast$ 对于运算 $△$ 是可分配的。
    若仅有（1）称运算 $\ast$ 对于运算 $△$ 是左可分配。
    若仅有（2）称运算 $\ast$ 对于运算 $△$ 是右可分配。

  • 消去律
    设 $\ast$ 是定义在集合 $A$ 上的二元运算，如果对于任意的 $x,y,z\in A$ ，都有
    $$\begin{gathered} ifx\ast y=x\ast z,theny=z \\ ify\ast x=z\ast x,theny=z \end{gathered}$$
    则称$\ast$满足消去律。
    类似的有左消去律，右消去律。

  • 吸收律
    设 $\ast ,△$ 是定义在集合 $A$ 上的两个可交换的二元运算，如果对于任意的 $x,y\in A$ ，都有
    $$\begin{gathered} x\ast (x△y)=x \\ x△(x\ast y)=x \end{gathered}$$
    则称运算 $\ast$ 和运算 $△$ 满足吸收律。

  • 运算表
    设$A=\{a_1,a_2,\dots \dots a_n\}$, $\ast$为$A$上的运算，
    则下表为$\ast$上的运算表。

4.2.2.代数系统

• 定义
  一个非空集合 $A$ 连同若干个定义在该集合上的运算 $f_1,f_2,\cdots ,f_k$ 所组成的系统就称为一个代数系统，记作 $⟨A,f_1,f_2,\cdots ,f_k⟩$ 。
  一般要求运算的封闭性。

• 子代数
  设$<A,\ast >$是一个代数系统，$S\subseteq A$,如果$S$对$\ast$封闭，则称，$<S,\ast >$为$<A,\ast >$的子代数。

• 单位元

  • 定义：
    设 $\ast$ 是定义在集合 $A$ 上的一个二元运算，如果有一个元素 $e_l\in A$ ，对于任意的元素 $x\in A$ 都有 $e_l\ast x=x$ ，则称 $e_l$ 为 $A$ 中关于运算 $\ast$ 的左单位元；如果有一个元素 $e_r\in A$ ，对于任意的元素 $x\in A$ 都有 $x\ast e_r=x$ ，则称 $e_r$ 为 $A$ 中关于运算 $\ast$ 的右单位元；如果 $A$ 中的一个元素 $e$ ，它既是左单位元又是右单位元，则称 $e$ 为 $A$ 中关于运算 $\ast$ 的单位元。

  • 定理1
    设 $\ast$ 是定义在集合 $A$ 上的一个二元运算，且在 $A$ 中有关于运算 $\ast$ 的左单位元 $e_l$ 和右单位元 $e_r$ ，则 $e_l=e_r=e$ 。

  • 定理2
    $A$ 中的单位元若存在，必唯一。

• 逆元

  • 定义：
    设代数系统 $⟨A,\ast ⟩$ ，这里 $\ast$ 是定义在 $A$ 上的一个二元运算，且 $e$ 是 $A$ 中关于运算 $\ast$ 的单位元。如果对于 $A$ 中的一个元素 $a$ 存在着 $A$ 中的某个元素 $b$ ，使得 $b\ast a=e$ ，那么称 $b$ 为 $a$ 的左逆元；如果 $a\ast b=e$ 成立，那么称 $b$ 为 $a$ 的右逆元；如果一个元素 $b$ ，它既是 $a$ 的左逆元又是 $a$ 的右逆元，那么就称 $b$ 是 $a$ 的逆元。记一个元素 $x$ 的逆元为 $x^{-1}$ 。
    由定义发现，逆元的定义依赖于单位元。
  • 定理1：
    单位元必可逆。
  • 定理2：
    设代数系统 $⟨A,\ast ⟩$ ，这里 $\ast$ 是定义在 $A$ 上的一个二元运算， $A$ 中存在单位元 $e$ ，且每一个元素都有左逆元。如果 $\ast$ 是可结合的运算，那么，这个代数系统中任何一个元素的左逆元必定也是该元素的右逆元，且每个元素的逆元是唯一的。
    之所以强调$\ast$满足结合律，请看证明:
    证明：
    设 $a,b,c\in A$ ，且 $b$ 是 $a$ 的左逆元， $c$ 是 $b$ 的左逆元，则 $e=c\ast b=c\ast ((b\ast a)\ast b)=((c\ast b)\ast a)\ast b=a\ast b$ ，因此 $b$ 也是 $a$ 的右逆元。
    设元素 $a$ 有两个逆元 $b,c$ ，那么 $b=b\ast e=b\ast (a\ast c)=(b\ast a)\ast c=c$ ，因此， $a$ 的逆元是唯一的。

• 幂等元
  设代数系统 $⟨A,\ast ⟩$ ，如果$a\in A$,满足$a\ast a=a$,称$a$为$A$的幂等元。

4.2.3.同态与同构

• 同态的定义
  设 $⟨A,★⟩$ 和 $⟨B,\ast ⟩$ 是两个代数系统， $★$ 和 $\ast$ 分别是 $A$ 和 $B$ 上的二（ $n$ ）元运算，设 $f$ 是从 $A$ 到 $B$ 的一个映射，使得对任意的 $a_1,a_2\in A$ ，有 $f(a_1★a_2)=f(a_1)\ast f(a_2)$ ，则称 $f$ 为由 $⟨A,★⟩$ 到 $⟨B,\ast ⟩$ 的一个同态映射（也称$f$保持运算），称 $⟨A,★⟩$ 同态于 $⟨B,\ast ⟩$。把 $⟨f(A),\ast ⟩$ 称为 $⟨A,★⟩$ 的一个同态象。其中 $f(A)=\{x|x=f(a),a\in A\}\subseteq B$ 。

  同态实质上是一个映射或函数$f$。

• 满同态
  设 $f$ 是由 $⟨A,★⟩$ 到 $⟨B,\ast ⟩$ 的一个同态，如果 $f$ 是从 $A$ 到 $B$ 的一个满射，则 $f$ 称为满同态，记为：记作 $A\sim B$；

• 单同态
  如果 $f$ 是从 $A$ 到 $B$ 的一个入射，则 $f$ 称为单同态；

• 同构映射
  如果 $f$ 是从 $A$ 到 $B$ 的一个双射，则 $f$ 称为同构映射，并称 $⟨A,★⟩$ 和 $⟨B,\ast ⟩$ 是同构的，记作 $A\cong B$ 。

• 自同态
  设 $⟨A,\ast ⟩$ 是一个代数系统，如果 $f$ 是由 $⟨A,\ast ⟩$ 到 $⟨A，\ast ⟩$ 的同态，则称 $f$ 为自同态。如果 $g$ 是由 $⟨A,\ast ⟩$ 到 $⟨A,\ast ⟩$ 的同构，则称 $f$ 为自同构。

• 一些定理

  • 设$f、g$是两个同态，当$f、g$都为单同态、满同态、同构时，$g\circ f$也分别是单同态、满同态、同构。
  • 同构映射的逆映射仍是保持运算的双射。
  • 满同态保持结合律。
  • 满同态保持交换律。
  • 满同态保持单位元。
  • 满同态保持逆元。
  • 同态保持幂等元。

4.2.4.直积

• 代数系统的直积
  设代数系统$<A,\ast >,<B,\circ >$，这两个代数系统的直积定义为为一个新的代数系统$<A\times B,△>$，
  其中$A\times B$即为$A、B$的笛卡尔积，$△$定义如下：
  $$\forall <x,y>,<u,v>\in A\times B，<x,y>△<u,v>=<x\ast u,y\circ v>$$
• 一个重要的定理
  ……

4.3.群

4.3.1.半群

• 半群
  一个代数系统 $⟨S,\ast ⟩$ ，其中 $S$ 是非空集合， $\ast$ 是$S$ 上的二元运算，如果运算：
  运算 $\ast$ 满足结合律。 则称代数系统 $⟨S,\ast ⟩$ 为半群。

• 子半群
  设 $⟨S,\ast ⟩$ 是一个半群， $B\subseteq S$ 且 $\ast$ 在 $B$ 上是封闭的，那么 $⟨B,\ast ⟩$ 也是一个半群。通常称 $⟨B,\ast ⟩$ 是半群 $⟨S,\ast ⟩$ 的子半群。

• 幺半群
  若一个半群里有单位元，则此半群称为幺半群、1半群、独异点

• 子幺半群
  设$S$是幺半群，若$T$是S的子半群,且$S$的单位元$e\in T$(单位元用一个)，则称$T$是$S$的子幺半群。

4.3.2.群的概念以及基本性质

• 群的定义
  设 $⟨G,\ast ⟩$ 是一个代数系统，其中 $G$ 是非空集合， $\ast$ 是 $G$ 上的二元运算，如果
  （1）运算 $\ast$ 是可结合的。
  （2）存在单位元 $e$ 。
  （3）对于每一个元素 $x\in G$ ，存在着它的逆元 $x^{-1}$ 。
  则称 $⟨G,\ast ⟩$ 是一个群。

换言之：
幺半群+元素逆元 == 群

• 群的阶数
  设 $⟨G,\ast ⟩$ 是群。如果 $G$ 是有限集，那么称 $⟨G,\ast ⟩$ 为有限群， $G$ 中元素的个数通常称为该有限集的阶数，记为 $|G|$ ；如果 $G$ 是无限集，则称 $⟨G,\ast ⟩$ 为无限群。

注意：与集合的元素的个数为基数的区别。

• Abel群
  如果群 $⟨G,\ast ⟩$ 中的运算 $\ast$ 是可交换的，则称该群为阿贝尔群，或称交换群。
  要小心：
  对于Abel群，才有$(ab{)}^n=a^n{b}^n$；
  对于一般的群，运算的交换律不一定成立。

• 群中必满足消去律
  设 $⟨G,\ast ⟩$ 是一个群，对于任意的 $a,b,c\in G$ ，如果有 $a\ast b=a\ast c$ 或者 $b\ast a=c\ast a$ ，则必有 $b=c$ （消去律）。

• 幂等元唯一存在
  单位元$e$是G中唯一幂等元。

• 设$<G，\ast >.<H,\circ >$是群，$f$是$G$到$H$的同态，若$e$是$G$中的单位元，那么$f(e)$是$H$ 的单位元，且$\forall a\in G$，有$f(a{)}^{-1}=f(a^{-1})$。

简证：
$f(e)=f(e\ast e)=f(e)\circ f(e)$，所以$f(e)$是幂等元，又由幂等元的唯一性知，$f(e)$是单位元。

注意：逆元的证明需要证明左逆元、右逆元。
$f(e)=f(a\ast a^{-1})=f(a)\circ f(a^{-1})$
$f(e)=f(a^{-1}\ast a)=f(a^{-1})\circ f(a)$

• 群的判定定理
  设$<G,\ast >是群，<H,\circ >$是任意代数系统，若存在G到H的满同态，则$<H，\circ >$必为群。

注意：
满同态保持结合律，单位元，逆元。
自然G是群，H也是群。

• 半群到群的判定定理(i)
  设$<G,\ast >$是一个半群，且
  (i) G中有一左单位元e，使得$\forall a\in G,ea=a$;
  (ii) G中有一”左逆元“，$a^{-1},s.t.a^{-1}a=e$。

证明思路：
(i) “左逆元"也是"右逆元”。
(ii) 左单位元也是右单位元。

• 半群到群的判定定理(ii)
  设$<G,\ast >$是半群，如果$\forall a,b\in G$，方程在$G$中总有解，$$ax=b,ya=b$$则G是群。

• 半群到群的判定定理(iii)
  有限半群，如果消去律成立，则必为群。

4.3.3.子群

• 子群的定义
  设 $⟨G,\ast ⟩$ 是一个群， $S$ 是 $G$ 的非空子集，如果 $⟨S,\ast ⟩$ 也构成群，则称 $⟨S,\ast ⟩$ 是 $⟨G,\ast ⟩$ 的一个子群。

• 定理1
  设 $⟨G,\ast ⟩$ 是一个群， $⟨S,\ast ⟩$ 是 $⟨G,\ast ⟩$ 的一个子群，
  那么 $⟨G,\ast ⟩$ 中单位元 $e$ 必定也是 $⟨S,\ast ⟩$ 中的单位元。
  对于$a\in H,a$在H中的逆元$a^{{}^{\prime }}$就是在a在G中的逆元$a^{-1}$

• 子集的判定定理与性质定理
  设$H$是群$<G,\ast >$的非空子集，则$H$是$G$的子群，当且仅当：
  (i)$\forall a,b\in H,a\ast b\in H$(运算的封闭性)
  (ii)$\forall a\in H,a$在$G$中的逆元$a^{-1}\in H$ （逆元是同一个）

• 推论
  设$<G,\ast >$为群，$S$是$G$的非空子集，则
  $$S是G的子群\equiv \forall a,b\in S，a\ast b^{-1}\in S$$

• 群中的指数律
  $$a^m\ast a^n=a^{m+n}$$
  $$(a^m{)}^n=a^{mn}$$

• 循环子群
  设G是子群，$a\in G$，令$(a)=\{a^i|i\in Z\}$,
  则$(a)$是G的子群，称为由$a$生成的循环子群。
  a称为生成元。

证明：
(i)首先$(a)$非空
(ii)其次$(a)$运算封闭($\forall a^i,a^j\in (a),a^i{a}^j=a^{i+j}\in (a)$)
(iii)其次

• 群的周期
  设$G$是群，$a\in G$,若存在正整数$n$，使$a^n=e$,则将满足该条件的最小正整数n称为a的周期(阶)；
  若这样的$n$不存在,则称$a$的周期为$\infty$，

  • $|a|=|(a)|$
    即$a$的周期等于a生成的循环子群的基数（集合元素的个数）；
  • 若$a$的周期为$n<\infty$，则
    $a^m=e\equiv n|m$

• 推论
  设$G$为群，$a\in G$，若$a$周期为$n$(或等价地说（a）的阶为)，则
  $$$(a)=\{a^0,a^1,\dots \dots .a^{n-1}\}$

  4.3.4.循环群

  是$G$是一个群，如果$\exists a\in G$,使得$G=(a)=\{a^i|i\in Z\}$,称$G$是由a生成的循环群，a称为其生成元。

$$G是由a生成的循环群\equiv \forall x\in G,\exists i\in Z,使x=a^i$$

• 定理 1
  设$<G,\ast >$是一个循环群,
  若$G$是无限群，则$<G,\ast >\cong <Z,+>$;
  若$G$是$n$阶群，则$<G,\ast >\cong <Z_n,{+}_n>$;

证明：
(1)设$G$是一个无限循环群，不妨设$a$为其生成元，
令$f:Z——>G$,定义为$f(i)=a^i,\forall i\in Z。$
则显然$f$为满射。
下证$f$为单射，$\forall i,j\in G若f(i)=f(j),$即$a^i=a^j,$假设$i>j$,
有$a^{i-j}=e$，这与$G$是无限群矛盾，所以$f$为双射。
下证，$f$保持运算，
$\forall i,j\in Z,f(i+j)=a^{i+j}=a^i\ast a^j=f(i)\ast f(j)$
。从而 $<G,\ast >\cong <Z,+>$;

(2)设$G$为$n$阶循环群，$a$为其生成元，$a$的周期为n,且
$G=a^0,a^1\dots \dots a^{n-1}$
其中，$a^0,a^1\dots \dots a^{n-1}$各不相同。
令$$f([i])=a^i,\forall [i]\in Z_n$$

• 定理2
  循环群的子群必为循环群。(不仅仅要求是子集)
  证明：
  设$G$是由$a$生成的循环群，H是其子群。
  若$H=a=e$,则$H$是由$e$生成的循环群；
  若

• 定理3 //很重要
  设$<G,\ast >$是$n$阶循环群，$m$是正整数，且$m|n$,则$G$中存在唯一一个$m$阶子群。

4.4环与域

定义及基本性质

• 定义1
  设$<R,+,\ast >$是一个代数系统，其中，$+,\ast$均为二元运算，如果
  （I）$<R,+>$是一个Abel群
  （2）$<R,\ast >$是一个半群。
  （3）$\ast$对$+$满足分配律，即
  $$\begin{gathered} a\ast (b+c)=(a\ast b)+a\ast c \\ (b+c)\ast a=b\ast a+c\ast a \end{gathered}$$

环的一些初步性质

设$R$是一个环，在Abel群$<R,+>$中，单位元用$0$表示，称为零元,a$\in R$在$<R,+>$中的逆元用$-a$，称为$a$的负元，
并记$ma=a+a+\dots \dots +a$。

• $0a=a0=0,\forall a\in R$
  此处的0就是Abel群中的零元。
• $a(-b)=(-a)b=-(ab)$
• $(-a)\ast (-b)=ab,\forall a,b\in R$

在环R中，$a+(-b)$可以简记为$a-b$，并把符号$-$称作做减法。

• $a(b-c)=ab-ac$

在环$<R,+,\ast >$中，若为幺半群，则称$<R,\ast >$的单位元为环R的单位元，通常用$1$表示，这时称R为有单位元的环、有1的环。

• 环的乘法群 R*
  将有1的环R中所有的可逆元在乘法运算下构成一个群，该群记为$R\ast$，并称为环R的乘法群。

整环 、除环、域

• 定义1
  设$<R,+,\ast >$为一个环，$a\in R$,且$a$不为0,若R中存在非零元素$b$，
  使得$ab=0(ba=0)$，则称a为R的左(右)零因子。R的左右零因子统称为零因子。零因子总是成对出现。

例1
对于模n剩余环$<Z_n,{+}_n,{\times }_n>$，若n不为素数，则$Z_n$中必存在零因子。

• 定理1

• 若环R无零因子，则乘法消去律成立，
  即$ab=ac\equiv b=c$,且$ba=ca\equiv b=c$
  也就是说
  $$无零因子\equiv 消去律成立$$，反之亦然。

• 整环的定义
  有单位元、无零因子的交换环称为整环。

• 除环、域
  设$R$是一个有幺的环，$R^{\wedge }=R-\{0\}$ ,如果$<R^{\wedge },\ast >$是一个群，则称$R$为除环，可交换的除环称为域。

(1)有单位元的环R是除环$\equiv$R中非零元均可逆$\equiv$R的乘法群$R^{\ast }=R-0$
(2)有单位元的环是域$\equiv$R是交换环 且 R中非零元素均可逆。

• 设$R$是一个无零因子的有限环，且$|R|\ge 2$,则R必为除环。

• 有限整环必为域。

由于$Z_p$是一个有限整环，由上可知$Z_p$为域(这个域称为素域)。