leetcode刷题之旅（62）不同路径

题目描述

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为“Start” ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为“Finish”）。

问总共有多少条不同的路径？

例如，上图是一个7 x 3 的网格。有多少可能的路径？

说明：m 和 n 的值均不超过 100。

 

样例

输入: m = 3, n = 2
输出: 3
解释:
从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。
1. 向右 -> 向右 -> 向下
2. 向右 -> 向下 -> 向右
3. 向下 -> 向右 -> 向右

输入: m = 7, n = 3
输出: 28

 

思路分析

方法一：典型的动态规划问题

即每一步要记录当前的可能数

1. 初始状态

   

2. 当前这个状态只和左边和上边的格子有关系.

   

    

3. 依次求解

   

   所以可以得出状态方程  

   dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1]

    

 

方法二：对方法一进行优化，因为实际记录值只需要dp[j]的值，i只是记录行数，把二维数组优化为一维数组

dp[j] = dp[j] + dp[j-1]

 

方法三：排列组合 因为无论怎么走，向右和向下的步数是固定的，可以用c(m-1,m+n-2)直接得出答案

 

代码及结果

方法一：

public int uniquePaths(int m, int n) {
		 if (m<0 || n<0 || m>100 || n>100) {
			return 0;
		}
		 int dp[][] = new int[m][n];
		 for (int i = 0; i < m; i++) {
			for (int j = 0; j < n; j++) {
				if (i==0 || j==0) {
					dp[i][j] = 1;
				}
				else {
					dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1];
				}
			}
		}
		return dp[m-1][n-1];
	 }

方法二：

public int uniquePaths(int m, int n) {
		 if (m<0 || n<0 || m>100 || n>100) {
				return 0;
			}
		 int dp[] = new int[n];
		 dp[0] = 1;
		 for (int i = 0; i < m; i++) {
			for (int j = 1; j < n; j++) {//第一列永远唯一 所以从第二列加起
				dp[j] = dp[j] + dp[j-1]; 
			}
		}
		return dp[n-1];
	 }

方法三：

public static int uniquePaths(int m, int n) {
		if (m<0 || n<0 || m>100 || n>100) {
			return 0;
		}
		long small = m