3D数学--空间直线与平面的交点

如果直线不与平面平行，将存在交点。如下图所示，已知直线L过点m（m1，m2，m3），且方向向量为VL（v1，v2，v3），平面P过点n（n1，n2，n3），且法线方向向量为VP（vp1，vp2，vp3），求得直线与平面的交点O的坐标（x，y，z）：

将直线方程写成参数方程形式，即有：

x = m1+ v1 * t

y = m2+ v2 * t (1)

z = m3+ v3 * t

将平面方程写成点法式方程形式，即有：

vp1 * (x – n1) + vp2 * (y – n2) + vp3 * (z – n3) = 0 (2)

则直线与平面的交点一定满足式（1）和（2），联立两式，求得：

t = ((n1 – m1)*vp1+(n2 – m2)*vp2+(n3 – m3)*vp3) / (vp1* v1+ vp2* v2+ vp3* v3) (3)

如果（3）式中分母(vp1* v1+ vp2* v2+ vp3* v3)为0，则表示直线与平面平行，即直线与平面没有交点。求解出t后，然后将t代入式（1）即可求得交点O的坐标（x，y，z）。定义一个求直线与平面交点坐标的函数CalPlaneLineIntersectPoint()，其代码如下：

/// 

/// 求一条直线与平面的交点
/// 
/// 平面的法线向量，长度为3
/// 平面经过的一点坐标，长度为3
/// 直线的方向向量，长度为3
/// 直线经过的一点坐标，长度为3
/// 返回交点坐标，长度为3
private float[] CalPlaneLineIntersectPoint(float[] planeVector, float[] planePoint, float[] lineVector, float[] linePoint)
{
float[] returnResult = new float[3];
float vp1, vp2, vp3, n1, n2, n3, v1, v2, v3, m1, m2, m3, t,vpt;
vp1 = planeVector[0];
vp2 = planeVector[1];
vp3 = planeVector[2];
n1 = planePoint[0];
n2 = planePoint[1];
n3 = planePoint[2];
v1 = lineVector[0];
v2 = lineVector[1];
v3 = lineVector[2];
m1 = linePoint[0];
m2 = linePoint[1];
m3 = linePoint[2];
vpt = v1 * vp1 + v2 * vp2 + v3 * vp3;
//首先判断直线是否与平面平行
if (vpt == 0)
{
returnResult = null;
}
else
{
t = ((n1 - m1) * vp1 + (n2 - m2) * vp2 + (n3 - m3) * vp3) / vpt;
returnResult[0] = m1 + v1 * t;
returnResult[1] = m2 + v2 * t;
returnResult[2] = m3 + v3 * t;
}
return returnResult;
}