【算法】最小生成树

最小生成树是指，在边有权重的连通无向图上，图的总权重最小的连通子集（所有的结点都被连通，选取的边具有最小的权重和）

本章的两种算法 Kruskal 算法和 Prim 算法都应用了贪心策略

最小生成树的形成

构建最小生成树的策略：
构建循环不变式，在每遍循环之前，边集合 A 都是某颗最小生成树的一个子集。每遍循环中做的事是，寻找安全边，并将其加入到集合 A 中。

安全边的定义就是不会破坏上述循环不变式的边。通俗的说，集合 A 是某颗最小生成树的子集，如果一条边被加入 A 中后，A 仍然是某颗最小生成树的子集，那么这条边就是安全边。

几个定义：切割、横跨切割的边、切割尊重集合 A、轻量级边

定理 23.1 给出了识别安全边的规则，通俗的描述就是，A 是一个包括在某颗最小生成树中的集合，S 为尊重 A 的一个切割，那么横跨 S 的轻量级边就是安全边。

推论 23.2 指出了寻找安全边的方法，这个描述令我很混乱，也没有看出来这个推论是如何指导下一节的两个算法的。仔细思考后理解了推论的意思，之前迷惑的地方在于推论中说 C 是森林 GA 的一个连通分量，而证明中说切割 VC 尊重集合 A，这里应该这样理解，连通分量 C 是森林中的一个孤岛，与外界相连的边都不在集合 A 中，切割 VC 把集合 A 的其它连通分量分割在了另一边，而这一边只有连通分量 C

Kruskal 算法和 Prim 算法

Kruskal 算法

Kruskal 算法的思路是，在所有连接森林中两颗不同树的边里面，找到权重最小的边（应用到了推论 23.2，树即连通分量，树对外连接的轻量级边都是安全边）

算法的实现用到了“不相交集合数据结构（第 21 章）”，步骤是：

• 先将每个结点生成一个集合
• 按权重升序的方式将边排序
• 按上面排序结果遍历所有边，如果一条边的两个结点不属于同一个集合（边连接两个不同的连通分量），则将该边加入集合 A，并将两个结点所属的集合合并

Kruskal 算法的性能依赖于选用的“不相交集合数据结构”的性能，书中按“增加按秩合并和路径压缩的不想交集合森林”讨论，经过一系列酷炫的推导，得出结论：Kruskal 算法的运行时间为 O(ElgV)

Prim 算法

Prim 算法的思路是，每一步在连接集合 A 和 A 之外的结点的所有边中，选择一条轻量级边加入到 A 中

集合 A 中的边总是构成一棵树（集合 A 是由一个结点不停的扩展，直到成为一颗包含所有结点的树，这个过程中集合 A 一直是一棵树，区别于 Kruskal 算法中集合 A 是一个森林）

算法的实现用到了“最小优先队列”，步骤是：

• 为所有结点都初始化两个额外的属性 key 和 π，其中 key 是该结点和 A 中结点连接的所有边中最小的权重值，初始化值为 ∞，π 是该结点在树中的父节点，初始化值为 nil
• 将所有结点加入最小优先队列 Q（根据结点的 key 构建）
• 对 Q 取最小结点进行循环，直至 Q 为空。每次循环对当前最小结点的所有连接结点进行遍历，比较更新连接结点的 key 值和 π 值

Prim 算法的运行时间取决于 Q 的实现方式。如果使用二叉最小优先队列，运行时间为 O(ElgV)。如果使用斐波那契堆，运行时间为 O(E+VlgV)