无聊做做数学题系列2 - 概率统计与数学期望

题目如下:

有一个六个面均匀的骰子,不停地抛,直到连续两次抛出6就停止。求停止时抛的次数的数学期望。

OK,非常经典的一道题目,而且特别容易进行扩展。

以下给出两种解法:

 

解法一:分析法(找不到更好的描述了。。。)

首先,如果在第n次失败了,那么第n+1次之后的抛骰子行为是与前n次的具体情况毫无关系的

因此,我们可以定义一个“节”,即上一次失败到这一次失败/成功之间经历的次数。

显然,节与节之间是没有任何关联性的。

而每个节的长度的数学期望为:

1 * 5/6 + 2 * 1/6 * 1/6 + 2 * 1/6 * 5/6 = 7/6

而对于每个节,成功的概率为1/6 * 1/6 = 1/36

因此,连续出两次6的数学期望为(7/6) / (1/36) = 42

这个方法有些抽象,不太好理解

 

解法二:构造概率模型套数学期望公式计算

这条路特别费劲还不太通用,但是本人第一次做这个题目的时候居然是这么做出来的|||- -只能说我脑回路有点古怪

首先,假设停止时恰好抛了x次,则恰好在第x次停止的概率为p(x)

那么题目求的数学期望就可以表示为:

E(x) = 1 * p(1) + 2 * p(2) + ... + x * p(x) + (x+1) * p(x+1) + ...

另外,由全概率公式可以得到,

p(1) + p(2) + ... + p(x) + ... = 1

 

接下来看一些比较特殊的情况

显然,只抛一次是不可能出现连续两个6的,所以有

p(1) = 0

而抛两次就停止的话,必须两次都是6,所以有

p(2) = 1/6 * 1/6 = 1/36

抛三次才停止的话,必须第一次不是6,而第二、三次都是6,所以有

p(3) = 5/6 * 1/6 * 1/6 = 5/216

 

我们试着推广到x>3的情况。思路如下:

  (1) 如果恰好在第x次停止,那么前x-3次必然是恰好都没有停止的;

  (2) 最后三次需要满足:第x-2次不是6;第x-1次和第x次都是6;

于是得到x>3时有

p(x) = (1 - p(1) - p(2) - ... - p(x-3)) * 5/6 * 1/6 * 1/6

用全概率公式把1 - p(1) - p(2) - ... -p(x-3)代换一下,得到

p(x) = (p(x-2) + p(x-1) + ...) * 5/216

所以,可以得到:

p(4) = (p(2) + p(3) + ...) * 5/216

p(5) = (p(3) + p(4) + ...) * 5/216

...

p(x) = (p(x-2) + p(x-1) + ...) * 5/216

p(x+1) = (p(x-1) + p(x) + ...) * 5/216

我们把这些式子加起来,得到

p(4) + p(5) + ... + p(x) + p(x+1) + ... = 

5/216 * ( p(2) + 2 * p(3) + 3 * p(4) + ... + (x-1) * p(x) + x * p(x+1) + ...) = 

5/216 * ( E(x) -1 )

然后

p(4) + p(5) + ... + p(x) + p(x+1) + ... = 1 - p(1) - p(2) - p(3) = 205/216

于是有

E(x)- 1 = 41

E(x) = 42

 

此解法用到的知识点为:

(1) 全概率公式

(2) 数学期望

(3) 通项公式的推导

 

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另外附上一道用解法一求解的有关游戏里装备强化的数学题目,这题是某今年网易游戏来学校校招的笔试题,

当时印象中师弟们没有人能做对,后来花了不少时间研究也没能得到结果。题目如下:

一件装备,从1级升到2级的成功率是100%,2级到3级的成功率是80%,3级到4级的成功率是60%,4级到5级的成功率是40%。

如果升级失败,则无论当时装备为几级,都会掉回1级。

请问该装备从1级升到5级所需要的强化次数的数学期望是多少次?

解:

一件装备,从1级开始强化,直到升至5级或者降回1级,可以作为一个“节”

同样,节与节之间是没有相互关联的

那么某个节成功的概率是:100%*80%*60%*40% = 24/125,失败的概率是101/125

而某个节内强化次数的数学期望计算步骤如下:

强化1次(1升2失败),概率为0%,因为1升2根据题设是不会失败的;

强化2次(2升3失败),概率为100%*20% = 1/5

强化3次(3升4失败),概率为100%*80%*40% = 8/25

强化4次(4升5失败或者成功),概率为100%*80%*60%=12/25

即完成这一强化过程(升至5级或者回到1级)需要强化次数的期望是(12/25)*4 + (8/25)*3 + (1/5)*2 + 0*1 = 82/25次

也就是说强化82/25次,就有24/125的几率强化至5级,同时有101/125的几率降回1级

因此,升级至5级的期望次数是(82/25)/(24/125)= 205/12次,大约为17次强一点

 

转载于:https://www.cnblogs.com/xczyd/p/7999622.html

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