题目如下:
有一个六个面均匀的骰子,不停地抛,直到连续两次抛出6就停止。求停止时抛的次数的数学期望。
OK,非常经典的一道题目,而且特别容易进行扩展。
以下给出两种解法:
解法一:分析法(找不到更好的描述了。。。)
首先,如果在第n次失败了,那么第n+1次之后的抛骰子行为是与前n次的具体情况毫无关系的
因此,我们可以定义一个“节”,即上一次失败到这一次失败/成功之间经历的次数。
显然,节与节之间是没有任何关联性的。
而每个节的长度的数学期望为:
1 * 5/6 + 2 * 1/6 * 1/6 + 2 * 1/6 * 5/6 = 7/6
而对于每个节,成功的概率为1/6 * 1/6 = 1/36
因此,连续出两次6的数学期望为(7/6) / (1/36) = 42
这个方法有些抽象,不太好理解
解法二:构造概率模型套数学期望公式计算
这条路特别费劲还不太通用,但是本人第一次做这个题目的时候居然是这么做出来的|||- -只能说我脑回路有点古怪
首先,假设停止时恰好抛了x次,则恰好在第x次停止的概率为p(x)
那么题目求的数学期望就可以表示为:
E(x) = 1 * p(1) + 2 * p(2) + ... + x * p(x) + (x+1) * p(x+1) + ...
另外,由全概率公式可以得到,
p(1) + p(2) + ... + p(x) + ... = 1
接下来看一些比较特殊的情况
显然,只抛一次是不可能出现连续两个6的,所以有
p(1) = 0
而抛两次就停止的话,必须两次都是6,所以有
p(2) = 1/6 * 1/6 = 1/36
抛三次才停止的话,必须第一次不是6,而第二、三次都是6,所以有
p(3) = 5/6 * 1/6 * 1/6 = 5/216
我们试着推广到x>3的情况。思路如下:
(1) 如果恰好在第x次停止,那么前x-3次必然是恰好都没有停止的;
(2) 最后三次需要满足:第x-2次不是6;第x-1次和第x次都是6;
于是得到x>3时有
p(x) = (1 - p(1) - p(2) - ... - p(x-3)) * 5/6 * 1/6 * 1/6
用全概率公式把1 - p(1) - p(2) - ... -p(x-3)代换一下,得到
p(x) = (p(x-2) + p(x-1) + ...) * 5/216
所以,可以得到:
p(4) = (p(2) + p(3) + ...) * 5/216
p(5) = (p(3) + p(4) + ...) * 5/216
...
p(x) = (p(x-2) + p(x-1) + ...) * 5/216
p(x+1) = (p(x-1) + p(x) + ...) * 5/216
我们把这些式子加起来,得到
p(4) + p(5) + ... + p(x) + p(x+1) + ... =
5/216 * ( p(2) + 2 * p(3) + 3 * p(4) + ... + (x-1) * p(x) + x * p(x+1) + ...) =
5/216 * ( E(x) -1 )
然后
p(4) + p(5) + ... + p(x) + p(x+1) + ... = 1 - p(1) - p(2) - p(3) = 205/216
于是有
E(x)- 1 = 41
E(x) = 42
此解法用到的知识点为:
(1) 全概率公式
(2) 数学期望
(3) 通项公式的推导
=====================
另外附上一道用解法一求解的有关游戏里装备强化的数学题目,这题是某今年网易游戏来学校校招的笔试题,
当时印象中师弟们没有人能做对,后来花了不少时间研究也没能得到结果。题目如下:
一件装备,从1级升到2级的成功率是100%,2级到3级的成功率是80%,3级到4级的成功率是60%,4级到5级的成功率是40%。
如果升级失败,则无论当时装备为几级,都会掉回1级。
请问该装备从1级升到5级所需要的强化次数的数学期望是多少次?
解:
一件装备,从1级开始强化,直到升至5级或者降回1级,可以作为一个“节”
同样,节与节之间是没有相互关联的
那么某个节成功的概率是:100%*80%*60%*40% = 24/125,失败的概率是101/125
而某个节内强化次数的数学期望计算步骤如下:
强化1次(1升2失败),概率为0%,因为1升2根据题设是不会失败的;
强化2次(2升3失败),概率为100%*20% = 1/5
强化3次(3升4失败),概率为100%*80%*40% = 8/25
强化4次(4升5失败或者成功),概率为100%*80%*60%=12/25
即完成这一强化过程(升至5级或者回到1级)需要强化次数的期望是(12/25)*4 + (8/25)*3 + (1/5)*2 + 0*1 = 82/25次
也就是说强化82/25次,就有24/125的几率强化至5级,同时有101/125的几率降回1级
因此,升级至5级的期望次数是(82/25)/(24/125)= 205/12次,大约为17次强一点