数学常数e的含义

原文：http://www.ruanyifeng.com/blog/2011/07/mathematical_constant_e.html

e是一个重要的常数，但是它的直观含义却不像π那么明了。
我们都知道，圆的周长与直径之比是一个常数，这个常数被称为圆周率，
记作π=3.14159…
可是如果我问你，e代表了什么，你能回答吗？

不妨先来看看 维基百科 是怎么说的：
“e是自然对数的底数。”
但是，你去看“ 自然对数 ”这个条目，得到的解释却是：
“自然对数是以e为底的对数函数，e是一个无理数，约等于2.718281828。”

这构成了循环定义，完全没有说e是什么。在这种情况下，数学家选择这样一个无理数作为底数，还号称这种对数很”自然”，这难道不是一件很奇怪的事情吗？

e是增长极限
到底什么是e？简单说来，e就是 增长的极限

下面这个例子就是对e直观含义的极好诠释:
某种类的一群单细胞生物每24小时全部分裂一次。在不考虑死亡与变异等情况下，那么很显然，这群单细胞生物的总数量每天都会增加一倍。据此我们可以写出它的增量公式：

growth=2x g r o w t h = 2 x
注：x表示天数

这个式子可以改写成如下的样子：

growth=(1+100%)x g r o w t h = ( 1 + 100 % ) x

其中，1表示原有数量，100%表示单位时间内（24小时）的增长率，
根据细胞生物学，每过12个小时，也就是分裂进行到一半的时候，平均会新产生一半原数量的新细胞，新产生的细胞在之后的12小时内已经在分裂了。
因此一天24个小时可以分成两个阶段，每一个阶段的细胞数量都在前一个阶段的基础上增长50%：

growth=(1+100%2)2=2.25 g r o w t h = ( 1 + 100 % 2 ) 2 = 2.25

即在一个单位时间内，这些细胞的数量一共可以增至为原数量的2.25倍。

倘若这种细胞每过8小时就可以产生平均1/3的新细胞，新生细胞立即具备独立分裂的能力，那就可以将1天分成3个阶段，在一天内时间细胞的总数会增至为：

growth=(1+100%3)3=2.37037... g r o w t h = ( 1 + 100 % 3 ) 3 = 2.37037...

即最后细胞数扩大为2.37倍。

实际上，这种分裂现象是不间断、连续的，每分每秒产生的新细胞，都会立即和母体一样继续分裂，一个单位时间(24小时)最多可以得到多少个细胞呢？答案是：

growth=limx→∞(1+100%n)n=2.718281828... g r o w t h = lim x → ∞ ( 1 + 100 % n ) n = 2.718281828...

当增长率为100%保持不变时，在单位时间内细胞种群最多只能扩大2.71828倍。 数学家把这个数就称为e，它的含义是单位时间内，持续的翻倍增长所能达到的极限值 。

这个值是自然增长的极限，是“自然律”的精髓所在，因此以e为底的对数，就叫做自然对数。

有了这个值以后，计算银行的复利就非常容易。
假定有一家银行，每年的复利是100%，请问存入100元，一年后可以拿多少钱？
答案是：

limn→∞100(1+100%n)n=100e=271.828... lim n → ∞ 100 ( 1 + 100 % n ) n = 100 e = 271.828...

但是事实上，存储利息没有这么高，如果复利率只有5%，那么100元存一年可以拿到多少钱呢：

limn→∞100(1+5%n)n=? lim n → ∞ 100 ( 1 + 5 % n ) n = ?

我们知道，在100%利息率的情况下，n=1000时，下式的值非常接近e：

(1+100%10001000)=(1+0.1%)50 ( 1 + 100 % 1000 1 000 ) = ( 1 + 0.1 % ) 50

当利息率是5%时，存款增长率就相当于e的20分之一次方：
(1+5%50)50=[(1+100%1000)1000]120≈e120 ( 1 + 5 % 50 ) 50 = [ ( 1 + 100 % 1000 ) 1000 ] 1 20 ≈ e 1 20

1/20正好等于5%，所以我们可以把上式改写成：
growth=erate g r o w t h = e r a t e

rate表示利率。
再考虑时间因素，如果存款年限t年，那么存款最终增长率为：
growth=(er)t=er⋅t=ert g r o w t h = ( e r ) t = e r · t = e r t

这说明e可以用于任何连续不断的复合式增长率的计算，而上式也是这个增长率的通用计算公式。

带着这个结论再回到上面的例子。如果银行的利息率是5%的复利，求解100元存款翻倍需要多少时间就等价于解下面的方程：

100⋅e5%t=200 100 · e 5 % t = 200

计算结果得13.86年：
t=ln25%=0.6935%=69.35≈725 t = l n 2 5 % = 0.693 5 % = 69.3 5 ≈ 72 5

可以看到：用72除以增长率就是翻倍的大致时间。这正是经济学上著名的72法则。