保研复习——线性代数5:相似矩阵

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相似矩阵

1.方阵的特征值与特征向量

  • 特征值与特征向量的定义

保研复习——线性代数5:相似矩阵_第1张图片

  • 特征方程与特征多项式

由(1)式可知,若λ 是矩阵A的特征值,α 为属于λ 的特征向量,则α 是齐次线性方程组(λE-A)x=0 的非零解。⇒|λE-A|=0 ,称|λE-A| 为矩阵A的特征多项式,方程|λE-A|=0 为矩阵A关于λ的特征方程A的特征值就是A的特征方程的根。

代数基本定理:一元n次方程在复数范围内恰有N个根,所以n阶矩阵An个特征根

通常把齐次线性方程组(λE-A)x=0 的解空间称为矩阵A对应于特征值λ 的特征子空间。其维数称为特征值λ 的几何重数,它就是属于特征值λ 的线性无关特征向量的最大个数

  • 特征值与特征向量求解步骤

①计算n阶矩阵A的特征多项式|λE-A| ;

②求特征方程|λE-A|=0 的所有根\(\lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{n}\), 即矩阵A的全部特征值。对于每个特征值\(\lambda_{i}\),求齐次线性方程组\((\lambda_{i}E-A)x=0\)的一个基础解系\(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{t}\),于是A的属于特征值\(\lambda_{i}\)的全部特征向量为\(x=k_{1}x_{1}+ k_{2} x_{2}+ \cdots+ k_{t}x_{t}\),其中\(k_{1}, k_{2}, \cdots, k_{t}\)是不全为0的数。

  • 特征值的性质

①设n阶方阵A的n个特征值为\(\lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{n}\),则有

(1)\(\lambda_{1}\lambda_{2}\cdots\lambda_{n}=|A|\);

(2)\(\lambda_{1}+ \lambda_{2}+ \cdots+ \lambda_{n}=a_{11}+ a_{22}+ \cdots+ a_{nn}=tr(A)\).

推论:设A为n阶方阵,则|A|=0的充要条件是数0为矩阵A的特征值;n阶方阵A可逆的充要条件是每一个特征值都不为0.

②设λ是方阵A的一个特征值,x是A的对应于特征值λ的特征向量,则有

(3)当A可逆时,\(\frac{1}{\lambda}\)是\(A^{-1}\)的特征值;

(4)当A可逆时,\(\frac{|A|}{\lambda}\)是\(A^{*}\)的特征值;

(5)f(x)是x的一个一元多项式,则f(λ)是f(A)的一个特征值,并且x仍是矩阵\(A^{-1}\),\(A^{*}\),f(A)分别对应于特征值\(\frac{1}{\lambda}\),\(\frac{|A|}{\lambda}\),f(λ)的特征向量。

③设\(\lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{m}\)是方阵A的m个互不相同的特征值,\(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{m}\)依次为与之对应的特征向量,则\(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{m}\)线性无关。

推广:矩阵A的m个互不相同特征值所对应的m组各自线性无关的特征向量并在一起仍是线性无关的。

④设λ是n阶方阵A的一个k重特征值(λ 为特征方程的k重根),对应于λ的线性无关的特征向量的最大个数为l,则k≥l,即特征值λ 的代数重数不小于几何重数

2.相似矩阵

  • 相似矩阵定义:设A,B为n阶矩阵,若存在n阶方阵P,使\[P^{-1}AP=B\]则称A相似于B,记作A~B;可逆矩阵P称为把A变到B的相似变换矩阵
  • 相似矩阵性质

①有相同的特征多项式,从而有相同的特征值;

②秩相等,行列式相同,迹相同;

③若A与B均可逆,则\(A^{-1}\)与\(B^{-1}\)也相似;

④kA与kB,\(A^{m}\)与\(B^{m}\)相似,k为任意常数,m为任意非负整数;

⑤若f(x)是任意多项式,则矩阵f(A)与f(B)相似。

  • 如果n阶方阵A相似于对角矩阵Λ ,则称A可对角化

定理:n阶方阵A可对角化的充要条件是A有n个线性无关的特征向量。

推论1:如果n阶方阵A有n个互不相同的特征值,则A必可对角化(充分条件);

推论2:n阶方阵A可对角化的充要条件是A的每个r重特征值恰有r个线性无关的特征向量。

3.实对称矩阵的相似矩阵

保研复习——线性代数5:相似矩阵_第2张图片

4.若尔当标准型简介

了解即可,可参考若尔当标准型(百度百科)。

5.应用举例

  • 利用矩阵相似对角化简化\(A^{n}\)的计算\(A^{n}=PΛ^{n}P^{-1}\) :

环境保护与工业发展问题;差分方程的求解

  • 利用\(P^{-1}AP=Λ\)线性变换,用矩阵方法解方程:

线性常系数常微分方程组

 

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