保研复习——线性代数5：相似矩阵

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相似矩阵

1.方阵的特征值与特征向量

• 特征值与特征向量的定义

• 特征方程与特征多项式

由(1)式可知，若λ 是矩阵A的特征值，α 为属于λ 的特征向量，则α 是齐次线性方程组(λE-A)x=0 的非零解。⇒|λE-A|=0 ，称|λE-A| 为矩阵A的特征多项式，方程|λE-A|=0 为矩阵A关于λ的特征方程。A的特征值就是A的特征方程的根。

代数基本定理：一元n次方程在复数范围内恰有N个根，所以n阶矩阵A有n个特征根。

通常把齐次线性方程组(λE-A)x=0 的解空间称为矩阵A对应于特征值λ 的特征子空间。其维数称为特征值λ 的几何重数，它就是属于特征值λ 的线性无关特征向量的最大个数。

• 特征值与特征向量求解步骤

①计算n阶矩阵A的特征多项式|λE-A| ；

②求特征方程|λE-A|=0 的所有根\(\lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{n}\), 即矩阵A的全部特征值。对于每个特征值\(\lambda_{i}\)，求齐次线性方程组\((\lambda_{i}E-A)x=0\)的一个基础解系\(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{t}\)，于是A的属于特征值\(\lambda_{i}\)的全部特征向量为\(x=k_{1}x_{1}+ k_{2} x_{2}+ \cdots+ k_{t}x_{t}\)，其中\(k_{1}, k_{2}, \cdots, k_{t}\)是不全为0的数。

• 特征值的性质

①设n阶方阵A的n个特征值为\(\lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{n}\)，则有

（1）\(\lambda_{1}\lambda_{2}\cdots\lambda_{n}=|A|\)；

（2）\(\lambda_{1}+ \lambda_{2}+ \cdots+ \lambda_{n}=a_{11}+ a_{22}+ \cdots+ a_{nn}=tr(A)\).

推论：设A为n阶方阵，则|A|=0的充要条件是数0为矩阵A的特征值；n阶方阵A可逆的充要条件是每一个特征值都不为0.

②设λ是方阵A的一个特征值，x是A的对应于特征值λ的特征向量，则有

（3）当A可逆时，\(\frac{1}{\lambda}\)是\(A^{-1}\)的特征值；

（4）当A可逆时，\(\frac{|A|}{\lambda}\)是\(A^{*}\)的特征值；

（5）f(x)是x的一个一元多项式，则f(λ)是f(A)的一个特征值，并且x仍是矩阵\(A^{-1}\)，\(A^{*}\)，f(A)分别对应于特征值\(\frac{1}{\lambda}\)，\(\frac{|A|}{\lambda}\)，f(λ)的特征向量。

③设\(\lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{m}\)是方阵A的m个互不相同的特征值，\(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{m}\)依次为与之对应的特征向量，则\(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{m}\)线性无关。

推广：矩阵A的m个互不相同特征值所对应的m组各自线性无关的特征向量并在一起仍是线性无关的。

④设λ是n阶方阵A的一个k重特征值（λ 为特征方程的k重根），对应于λ的线性无关的特征向量的最大个数为l，则k≥l，即特征值λ 的代数重数不小于几何重数。

2.相似矩阵

• 相似矩阵定义：设A,B为n阶矩阵，若存在n阶方阵P，使\[P^{-1}AP=B\]则称A相似于B，记作A~B；可逆矩阵P称为把A变到B的相似变换矩阵。
• 相似矩阵性质

①有相同的特征多项式，从而有相同的特征值；

②秩相等，行列式相同，迹相同；

③若A与B均可逆，则\(A^{-1}\)与\(B^{-1}\)也相似；

④kA与kB，\(A^{m}\)与\(B^{m}\)相似，k为任意常数，m为任意非负整数；

⑤若f(x)是任意多项式，则矩阵f(A)与f(B)相似。

• 如果n阶方阵A相似于对角矩阵Λ ，则称A可对角化。

定理：n阶方阵A可对角化的充要条件是A有n个线性无关的特征向量。

推论1：如果n阶方阵A有n个互不相同的特征值，则A必可对角化（充分条件）；

推论2：n阶方阵A可对角化的充要条件是A的每个r重特征值恰有r个线性无关的特征向量。

3.实对称矩阵的相似矩阵

4.若尔当标准型简介

了解即可，可参考若尔当标准型（百度百科）。

5.应用举例

• 利用矩阵相似对角化简化\(A^{n}\)的计算\(A^{n}=PΛ^{n}P^{-1}\) ：

环境保护与工业发展问题；差分方程的求解

• 利用\(P^{-1}AP=Λ\)和线性变换，用矩阵方法解方程：

线性常系数常微分方程组