数据结构图的知识点大全总结（包括各类常见算法都有本人自己的独特分析）
一、图的定义
图是由顶点的有穷非空集合和顶点之间边的集合组成，通常表示为：G（V，E），其G表示一个图，V是图G中顶点的集合，E是图G中边的集合。
（1）在线性表中我们把数据元素叫元素，树中将数据元素叫结点，在图数据元素称之为顶点（Vertex）。
（2）线性表中可以没有数据元素，称之为空表。树中可以没有结点称之为空树。对于图，图中不能没有顶点。强调顶点集合有穷非空。
（3）线性表中，相邻的两点之间具有线性关系，树结构中，相邻两层的结点具有等次关系。而图中，任意两个顶点之间都可能有关系，顶点之间的逻辑关系用边来表示。边集可以是空的。
无向边：若顶点vi到vj之间的边没有方向，则称这条边为无向边（edge），用无序偶对（vi，vj）来表示。
有向边：若顶点vi到vj之间的边有方向，则称这条边为有向边，也称为弧（Arc）。用有序偶对
在图中，若不存在顶点到其自身的边，且同一条边不重复出现，则称这样的图为简单图。
在无向图中，如果任意两个顶点之间都存在边，则称该图为无向完全图。
在有向图中，如果任意两个顶点之间都存在方向互为相反的两条弧，则称该图为有向完全图。
有很少条边的图称为稀疏图，反之称为稠密图。
与图的边或弧相关的数叫作权（weight），这种带权的图通常称为网（Network）。
假设有两个图G（V，{E}）和G1=（V1，{E1}），如果V1包含于V，且E1包含于E，则称G1位G的有向图。例子如下：
分别为无向图有其子图，和有向图及其子图。
对于无向图G，如果（v，v1）属于E，则称顶点v与v1互为邻接点，即v与v1相邻接
对于有向图G，如果弧
无向图G中从顶点v到顶点v1的路径（Path）是一个·顶点序列
如下图为A到D的四种不同路径：
有向图的路径对方向严格要求。
路径的长度是路径上的边或弧的数目。
说的概念有些多，可能脑袋有些晕了吧。我们在来整理下所有的定义与术语。
图的定义与术语总结：
图按照有无方向分为无向图和有向图。无向图由顶点和边构成，有向图由顶点和弧构成。弧有弧头和弧尾之分。
图按照边或弧的多少分为稀疏图和稠密图。如果任意两个顶点之间都存在边叫完全图，有向的叫有向完全图。若无重复的边或顶点到自身的边则叫简单图。
图中顶点之间有邻接点、依附的概念。无向图顶点的边数叫作度，有向图顶点分为入度和出度。
图上的边或弧上带权则称为网。
图中顶点之间存在路径，两顶点存在路径说明是连通的，如果路径最终回到起始点则称为环，当中不重复叫简单路径。若任意两顶点都是连通的，则图就是连通图。有向则称为强连通图。图中有子图，若子图极大连通则就是连通分量，有向的则称为强连通分量。
无向图中连通且n个顶点n-1条边叫生成树。有向图中一顶点入度为0其余顶点入度为1的叫有向树，一个有向图由若干棵有向树构成生成森林。
二、图的存储结构
由于图的结构比较复杂，任意两个顶点之间都可能存在联系，因此无法以数据元素在内存中的物理位置来表示元素之间的关系，也就是说，图不可能用简单的顺序存储结构来表示。而多重链表的方式，即以一个数据域和多个指针域的结点表示图中的一个顶点，尽管可以实现图结构，但是以这种结构，如果各个结点的度数相差很大，按度数最大的顶点设置结点结构会造成很多存储单元的浪费，而若按每个顶点自己的度数设计不同的顶点结构，又带来操作的不便。如何实现物理存储是个难题。下面介绍前辈们提供的五种不同的存储结构。
1 、邻接矩阵
图的邻接矩阵存储方式使用两个数组来表示图。一个一维数组存储图中顶点信息，一个二维数组（称为邻接矩阵）存储图中的边或弧的信息。
接下来分享几个实例来学习邻接矩阵
从这个例子我们可以清楚的知道arc[i][j]=0说明顶点vi与vj之间没有边，若arc[i][j]=1说明顶点vi与vj之间有边。由于是无向图，所以无向图的邻接矩阵是对称矩阵即vi到vj有边，那么vj到vi也有边。
如果我们要知道图中某个顶点的度那么只要将该顶点对应的行（或列）的元素值加起来，就是该顶点的度。
下面在来看一个有向图的例子：
如果arc[i][j]=0表示vi到vj不存在弧,arc[i][j]=1表示vi到vj存在弧。
有向图讲究入度与出度，某个顶点的入度为该顶点对应的列上所有元素之和，某个顶点的出度为该顶点对应的行上的所有元素之和。该顶点入度加上出度就是该顶点的度。
下面例看一个有向网图的例子：
这里用∞表示一个不可能的极限值用来代表不存在。
下面是图的邻接矩阵的结构定义：
#include
using namespace std;
typedef char VertexType; //顶点类型
typedef int EdgeType; //边权值类型
#define MAXVEX 100 //最大顶点数
#define INFINITY 65535 //用65535代表∞
typedef struct _MGraph //图的邻接矩阵存储方式定义
{
VertexType vexs[MAXVEX]; //定义顶点数组
EdgeType arc[MAXVEX][MAXVEX]; //定义邻接矩阵
int NumVexs; //图中顶点数
int NumEdges; //图中边数
}MGraph;
2、邻接表
邻接表示不错的一种图的存储结构，但是我们发现对于边数相对顶点较少的图，这种结构时存在对存储空间的极大浪费。如我们要处理像下图这样的稀疏有向图：
除了一条弧有权值外，没有其他弧，那么这就造成了存储空间的极大浪费。
这里我们采取了邻接表的存储方式。邻接表就是把数组与链表相结合的存储方法。
邻接表处理步骤如下：
1.图中顶点用一维数组存储，另外每个数据元素还需存储指向第一个邻接点的指针，以便于查找该顶点的信息。
2.图中每个顶点的vi的所有邻接点构成一个线性表，由于邻接点的个数不定，所以用单链表存储。无向图称为顶点vi的边表，有向图则称为vi作为弧尾的出边表。
下面举个无向图的邻接表的例子：
由这个例子知道顶点表的各个结点由data域和firstedge域（指针域）两个域表示。data是数据域，存储顶点的信息，firstedge是指针域，指向边表的第一个结点，即此顶点的第一个邻接点。边表结点由adjvex和next两个域组成。adjvex是邻接点域用来存储某顶点的邻接点在顶点表中的下标，next则存储指向边表中下一个结点的指针。
若是有向图，邻接表结构同样类似，不过有向图有方向，所以有向图有邻接表与逆邻接表两种方式，看如下例子：
当然我们可以建立一个有向图的逆邻接表，即对每个顶点都建立一个以顶点vi都建立一个以vi为弧头的表，上例的逆邻接表如下：
此时我们很容易就可以算出某个顶点的入度或出度是多少，判断两顶点是否存在弧也很容易实现。
对于带权值的网图，可以在边表结点中再定义一个weight的数据域，存储权值信息即可。
下面给出图的邻接表结构的定义：
typedef char VertexType; //顶点类型
typedef int EdgeType; //边权值类型
#define MAXVEX 100 //最大顶点数
typedef struct _EdgeNode //边结点
{
int adjvex; //邻接点域，存储该顶点对应下标
EdgeType weight; //用于存储权值，非网图可以不需要
struct _EdgeNode *next; //链域，指向下一个邻接点
}EdgeNode;
typedef struct _VexNode //顶点结点
{
VertexType data; //数据域，存储结点信息
struct _VexNode *firstedge; //指针域，存储指向第一个邻接点的指针（边表头指针）
}VexNode,AdjList[MAXVEX];
typedef struct
{
AdjList adjlist;
int numvexs; //图中顶点数
int numedge; //图中边数
}GraphAdjList;3、十字链表
对于有向图来说，邻接表是有缺陷的，只知道出度问题，想了解入度就必须要遍历整个图才能知道，反之，逆邻接表解决了入度却不了解出度的情况。为了解决这个问题，我们要引出有向图的一种存储方法：十字链表。
实质上，十字链表就是将邻接表与逆邻接表结合起来。
我们需要重新定义顶点表结构如下图：
其中firstin表示入边表头指针，指向该顶点的入边表中的第一个顶点（相当于逆邻接表），firstout表示出边表头指针，指向该顶点的出边表中的第一个结点（相当于邻接表）。
重新定义边表结构如下：
其中tailvex是指弧起点在顶点表的下标，headvex是指弧终点在顶点表中的下标，headlink是指入边表指针域，指向终点相同的·下一条边，taillink是指向起点相同的下一条边。如果是网，还可以在增加一个weight域来存储权值。
下面来看一个例子：
上图中的虚线箭头其实就是该图的逆邻接表（入边（顶点做弧头））。实线就是该图的邻接表（出边（顶点做弧尾））。
有向图的十字链表存储方式代码如下：
typedef char VertexType; //顶点类型
typedef int EdgeType; //边权值类型
#define MAXVEX 100 //最大顶点数
typedef struct _EdgeNode
{
int tailvex; //弧起点（弧尾）在顶点表的下标
int headvex; //弧终点（弧头）在顶点表的下标
struct _EdgeNode *headlink; //入边表指针域，用来指向终点相同的下一条边
struct _EdgeNode *taillink; //出边表指针域，用来指向起点相同的下一条边
}EdgeNode;
typedef struct _VexNode
{
VertexType data; //用来存放顶点信息
EdgeNode *firstin; //指针域，用来指向入边表的第一个顶点（即该顶点做弧头）
EdgeNode *firstout; //指针域，用来指向出边表的第一个顶点（即该顶点做弧尾）
}VexNode,Adjvexs[MAXVEX];
typedef struct
{
Adjvexs adjvexs; //定义顶点数组
int numvexs; //该图的顶点数
int numedges; //该图的边数
}GraphCrossLinkList;
4、邻接多重表
十字链表是对有向图的优化存储结构，对于无向图，如果我们关注的是顶点，那么邻接表是不错的选择，但如果我们更关注边的操作，比如对已经访问的边做标记，删除某一条边等操作。那就意味，需要找到这条边的两个边表结点进行操作，显然这是比较麻烦的。
所以我们重新定义边表结点结构如下：
其中ivex与jvex是与某条边依附的两个顶点在顶点表中下标。ilink是指依附顶点ivex的下一条边，jlink是指依附顶点jvex的下一条边。这就是邻接多重表结构。
看下面的例子：
此例中图中有4个顶点，五条边。然后依次按照顺序连线，当我们需要删除（v0，v2）这条边时，只需要将图中6和9的指针域置为空。
我想大家应该明白，邻接多重表与邻接表的区别，仅仅是在于同一条边在邻接多重表中用一个结点表示，而在邻接表中用两个边表结点表示。
5、边集数组
边集数组是由两个一维数组构成。一个是存储顶点的信息；另一个是存储边的信息，这个边数组每个数据元素由一条边的起点下标（begin）、终点下标（end）和权（weight）组成。如下图是一个边集数组：
显然边集数组关注的是边的集合，在边集数组中要查找一个顶点的度需要扫描整个边数组，效率并不高，因此它更适合对边依次进行处理的操作。而不适合对顶点相关的操作。
三、图的遍历
图的遍历是和数的遍历类似，我们希望从图中某一顶点出发访遍图中其余顶点，且使每一个顶点仅被访问一次，这一过程就叫做图的遍历（Traversing Graph）。
树的遍历，毕竟根结点只有一个，遍历都是从根结点开始的。可图就复杂多了，因为它的任一顶点都可能和其余的所有顶点相邻接，极有可能存在沿着某条路径搜索后，又回到原点，而有些顶点确还没遍历到的情况。因此我们需要在遍历过程中把访问的顶点打上标记，以避免访问多次而不自知，具体办法是设置一个访问数组visited[n]，n是图中顶点个数，初值为0，访问过后设置为1。
对于图的遍历来说，如何避免因回路陷入死循环，就需要科学地设计遍历方案，通常有两种遍历次序方案：它们是深度优先遍历和广度优先遍历。
1、深度优先遍历
深度优先遍历（Depth_First_Search）,也称为深度优先搜索，简称DFS，它从图中某个顶点v出发，访问此顶点，然后从v未被访问的邻接点出发深度优先遍历图，直至图中所有和v有路径相同的顶点都被访问到。这里我们将到的是连通图（任意两个顶点之间都有路径）
举个例子：
我们来走一遍这个例子，首先我们从A点出发，我们给自己定一个原则，在没有碰到重复顶点的情况下，始终向右手边走。于是我们依据右手通行原则，走到了B顶点，然后再走到了C顶点，继续走又走到了D顶点，接着又走到了E顶点，接着又走到F顶点，在F点我们发现右手边是A点，是已经访问过的点，于是我们走到了G顶点，在G点发现B、D两点都已经访问过了，于是走到H点，到了H点后发现没有没被访问过的点，退回到G点，G点也没有，所以退回F点，F点一样没有，所以退回到E点，E一样，再退回到D点，到了D点还有I点没有被访问过,走到I点，到了I点发现没有没被访问过的点，退回到D点，D点也没有，退回到C点，C点也没有，退回到B点，B点也没有，退回到A点。A点也没有。此时遍历过程结束。
通过这个例子应该可以清楚了深度优先遍历的步骤。本质上就是利用了递归。
下面是邻接矩阵的深度优先遍历操作代码：
void DFS(MGraph G,int i) //深度优先遍历算法
{
visited[i]=1;
printf("%c",G.vexs[i]);
for (int j = 0; j < G.NumVexs; j++)
{
if (G.arc[i][j] == 1 && !visited[j]) //如果i点的邻接点j没有被访问过，则对该邻接点进行递归调用。
{
DFS(G, j);
}
}
}
void DFSTraverse(MGraph G) //深度优先遍历过程
{
for (int i = 0; i < G.NumVexs; i++) //初始时，将所有顶点标记为未访问
{
visited[i] = 0;
}
for (int i = 0; i < G.NumVexs; i++)
{
if (!visited[i]) //如果该顶点未访问，调用DFS
{
DFS(G, i);
}
}
}我们通过代码可以看到，深度优先遍历就用到了递归。
2、广度优先遍历
广度优先遍历（Breadth_First_Search），又称为广度优先搜索，简称BFS。继续用上面深度优先遍历的例子。通过这个例子来说明广度优先遍历的过程原理。我们首先将图变形为下面：
实际上图中各个顶点和边的关系并没有发生变化，只是可以更直观的看整个过程。
首先，先将A点入队，A点访问过了，队列不为空，将A出队，然后将A未访问的邻接点B、F入队。此时队还不为空，将B出队，然后将B的未访问的邻接点C、I、G入队。队仍然不为空，将F出队，再将F的未访问邻接点E入队。队依然不为空，将C出队，然后把C的未访问的邻接点D入队。队依然不为空，将I出队，I没有未被访问的邻接点。此时队仍然不为空，将G出队，再将G的未访问邻接点H入队。然后队不为空E出队，E没有未被访问的邻接点。然后队依然不为空D出队，D没有未被访问的邻接点。然后队不为空H出队，H没有未被访问的邻接点。最后队为空。结束。
具体过程如下图：
广度优先遍历代码如下：
typedef char VertexType; //顶点类型
typedef int EdgeType; //边权值类型
#define MAXVEX 100 //最大顶点数
#define INFINITY 65535 //用65535代表∞
typedef struct _MGraph //图的邻接矩阵存储方式定义
{
VertexType vexs[MAXVEX]; //定义顶点数组
EdgeType arc[MAXVEX][MAXVEX]; //定义邻接矩阵
int NumVexs; //图中顶点数
int NumEdges; //图中边数
}MGraph;
typedef struct _SqQueue
{
VertexType data[MAXVEX];
int head; //队尾指针
int rear; //队尾指针
}SqQueue;
bool EnQueue(SqQueue *s1,VertexType v)
{
if (s1->rear == MAXVEX)
{
return false;
}
s1->data[++s1->rear] = v;
return true;
}
bool DeQueue(SqQueue *s1,VertexType *v)
{
if (s1->rear == s1->head)
{
return false;
}
*v = s1->data[s1->rear];
--s1->rear;
return true;
}
bool EmptyQueue(SqQueue *s1)
{
return (s1->head == s1->rear ? true : false);
}
int visited[MAXVEX];
void BFSTraverse(MGraph g)
{
SqQueue s1; //定义一个队列
VertexType t;
for (int i = 0; i < g.NumVexs; i++) //先将访问数组中的元素全部设置为未访问过。
{
visited[i] = false;
}
for (int i = 0; i < g.NumVexs; i++) //
{
if (!visited[i]) //如果结点i未被访问过
{
visited[i] = true;
printf("%c", g.vexs[i]); //打印i结点
EnQueue(&s1, g.vexs[i]); //将i结点入队
while (EmptyQueue(&s1)); //若队列不为空
{
DeQueue(&s1,&t); //将i出队，i赋给t变量
for (int j = 0; j < g.NumVexs; j++) //此循环，将i的所有未被访问的邻接点访问并且入队
{
if (g.arc[i][j] == 1 && visited[j] == false) //如果i结点的邻接点j未被访问
{
visited[j] = true; //访问j结点
printf("%c",g.vexs[i]); //打印j结点
EnQueue(&s1,g.vexs[j]); //将j结点入队
}
}
}
}
}
}四、最小生成树
我们把构造连通网的最小代价生成树称为最小生成树（Minimum Cost Spanning Tree），找连通网的最小生成树，经典的算法有两种，普里姆算法和克鲁斯卡尔算法。
1、普里姆（Prim）算法
typedef char VertexType; //顶点类型
typedef int EdgeType; //边权值类型
#define MAXVEX 100 //最大顶点数
#define INFINITY 0xffffffff //用4294967295(usigned int所能表示的最大数字)代表∞
void MiniSpanTree_Prim(MGraph g)
{
int min,j,k;
int adjvex[MAXVEX]; //保存邻接下标数组
int lowcost[MAXVEX]; //保存相关顶点间边的权值
lowcost[0] = 0; //初始化第一个权值为0，即v0加入生成树
adjvex[0] = 0; //初始化第一个顶点下标为0
for (int i = 1; i < g.NumVexs;i++) //循环下标为0外的全部顶点
{
lowcost[i] = g.arc[0][i]; //将v0顶点与之右边的权值存入数组
adjvex[i] = 0; //初始化都为v0的下标，即下标i对应下标0。（如adjvex[2]=1，就是下标为2的点对应下标为1的点）。
}
for (int i = 1; i < g.NumVexs; i++)
{
min = INFINITY; //初始化最小权值为INFINITY
j = 1; k = 0;
while (j < g.NumVexs)
{
if (lowcost[j] != 0 && lowcost[j]< min) //如果权值不为0，并且权值小于min
{
min = lowcost[j]; //则将min更新为最小值
k = j; //用k来存储最小值下标
}
j++;
}
printf("(%d,%d)",adjvex[k],k); //adjvex[k]的值就是一个下标，adjvex[k]该下标到下标k。
lowcost[k] = 0; //该结点已经完成任务，已经找到结点adjvex[k]到结点k最小权值任务完成
for (j = 1; j < g.NumVexs;j++)
{
if (lowcost[j] != 0 && g.arc[k][j] < lowcost[j])
{
lowcost[j] = g.arc[k][j];
adjvex[j] = k;
}
}
}
}普里姆算法理解起来十分困难，我这样解释或许会好点，adjvex与lowcost数组中的下标分别对应了该图中的顶点。普里姆算法就是选定一个起点（任一顶点）然后找到它的最小生成树，而adjvex数组就是我们选定的起点的邻接点表，假如我们选定下标为0的顶为我们的顶点，所以我们要将adjvex数组初始化为我们选定的顶点下标。即adjvex[i]=0。然后我们把lowcost[我们选定的起点下标]=我们选定的起点下标,即lowcost[0]=0，因为lowcost[任意下标]=起点下标，这说明下标为此的顶点任务完成，即lowcost[i] = 0表示第i个顶点加入到生成树中，即该顶点已经确定下来了。
然后将起点与除自身外的其他顶点的权值赋给lowcost中下标对应的数组元素，即将arc[0][j]赋给lowcost[j]，j是除过我们起点的所有点。
变量min用于存储lowcost数组中所有未加入生成树的顶点并且对应lowcost值最小的，即此条件lowcost[j]!=0&&locost[j]
将最小值赋给min，并且将最小值的下标j赋给变量k。
然后打印顶点adjvex[k]到k，并且将lowcost[k]=0，表示k顶点加入生成树。
重要的来了，每当生成树新加入顶点k时，新加入的顶点k（由于是连通网）必然会与起点的邻接点多出一些边来。如果k顶点到起点的某个未加入生成树的邻接点j的边的权值小于lowcost中对应的值，那么应该将对应lowcost的元素值修改为arc[k][j]。并且将adjvex[j]=k,初始时时adjvex[j]=0,现在改为adjvex[j]=k，表示顶点k到j的权值为lowcost[j]。
然后将寻找上面的这个过程循环，直到所有点都加入生成树。
2、克鲁斯卡尔算法
要想理解克鲁斯卡尔算法，这里很重要的一个思想就是建立并查集，这里我们大概的给出并查集的概念理解
（1）首先定义一个并查集
这里，我们用数组实现一个并查集，比如 int parent[MAXEDGE]，数组的下标代表对应的顶点，如下标为3，就代表顶点v3。这里的数组元素的值代表该顶点的上级，比如 parent[i]=j,表示顶点vi的上级为vj。（通过一层一层的上级找到最终的Boss）。
（2）初始化并查集
这里一般都会给每个顶点一个默认的Boss顶点，一般我们可以统一初始化为0，默认顶点v0为Boss点。当然也可以将每个顶点自己作为自己的Boss，每一个顶点自己就是一个集合，故parent[i] = i;它的上级就是它自己，它就是BOSS。这两种初始化，只是查找方式略有不同，都是查找Boss点的。parent[i]=初始化的值，相当于一个分隔符，表示找到了该顶点的Boss点的下标就是i。
（3）找到Boss点的方法
因为我们需要根据parent数组的初始值来设计查找Boss点的方法，比如我们初始化parent[i]=0,
int Find Boss(int *parent,int index)
{
while(parent[f]！0) /*如果没有碰到分隔符parent[i]=0,则继续顺着上级找，直到找到Boss*/
f=parent[f];
return f; /*f点就是Boss点*/
}（4）判断将顶点合并进同一个连通树（即有了同一个Boss）
如果通过一条边(a,b)的两端顶点a、b分别查找他们对应的Boss点，如果a与b的Boss点不同，说明a与b点不在同一个连通分量里面（集合），所以不会构成环路，所以将两个Boss点合并。
下面为克鲁斯卡尔算法的代码：
void MiniSpanTree_Kruskal(MGraph g)
{
Edge edge[MAXEDGE]; /*定义边集数组*/
int parent[MAXVEX]; /*定义一数组判断边与边是否形成环路*/
Transform(&g, edge); /*将邻接矩阵转换为边集数组*/
Sort(edge, g.NumEdges); /*将根据权值将边集数组排成升序*/
for (int i = 0; i < g.NumVexs; i++)
{
parent[i] = 0; /*初始化数组为0*/
}
int n, m;
for (int i = 0; i < g.NumEdges; i++) /*循环每一条边*/
{
n = Find(parent, edge[i].begin);
m = Find(parent, edge[i].end);
if (n != m) /*n不等于m表示，这条边的两端点不在同一个连通*/
{
parent[n] = m; /*加把Boss点n并入生成树中*/
printf("(%d,%d) %d",edge[i].begin,edge[i].end,edge[i].weight);
}
}
}
void Transform(MGraph *g, Edge *e) /*将邻接矩阵转换为边集数组*/
{
int n = 0;
for (int i = 0; i < g->NumVexs; i++)
{
for (int j = 0; j < g->NumVexs; j++)
{
if (g->arc[i][j] != 0 && g->arc[i][j] != INFINITY) /*如果这条边存在且权值不为0*/
{
e[n].weight = g->arc[i][j]; /*将权值赋给边集数组元素*/
e[n].begin = i;
e[n].end = j;
n++; /*边集数组下标*/
}
}
}
}
void Sort(Edge *e, int len) /*对边集数组根据权值进行排序（升序）*/
{
for (int i = 0; i < len - 1; i++)
{
for (int j = 0; j < len - 1 - i; j++)
{
if (e[j + 1].weight < e[j].weight)
{
Edge t;
t = e[j];
e[j] = e[j + 1];
e[j + 1] = t;
}
}
}
}
int Find(int *p, int f) /*查询连线顶点的尾部下标*/
{
while (p[f] > 0)
{
f = p[f];
}
return f;
}
克鲁斯卡尔算法的时间复杂度为O（eloge）e为边的数目。
5、最短路径
1、最短路径的概念：
在网图和非网图中，最短路径的含义是不同的。由于非网图它没有边上的权值，所谓的最短路径，其实就是指两顶点经过的边数最少的路径；而对于网图来说，最短路径是指两顶点之间的边上权值之和最少的路径，并且我们称路径上的第一个顶点源点，最后一个顶点是终点。
下面介绍两个计算最短路径的算法，它们分别是迪杰斯特拉(Dijkstra)算法，弗洛伊德（Floyd）算法。
2、迪杰斯特拉(Dijkstra)算法
首先举个例子引出一点思路：
迪杰斯特拉算法是一个按路径长度递增的次序产生的最短路径算法。
如果你要求v0到v8之间的最短距离，根据迪杰斯特拉算法，我们不是一下子就能求出v0到v8的最短路径，而是要一步步求出它们之间顶点的最短路径，过程中都是基于已经求出的最短路径的基础上，求得更远顶点的最短路径，最终得到你想要的结果。
我们先放出代码供大家阅读，然后再对应起来讲解。
typedef int Pathmatrix[MAXVEX]; /*用于存储最短路径下标*/
typedef int ShortPathTable[MAXVEX]; /*用于存储起点到各个点的最短路径值*/
void ShortTestPath_Dijkstra(MGraph g, int v0, Pathmatrix P, ShortPathTable D)
{
int Final[MAXVEX]; /*Final[w]=1,表示求得v0至vw的最短路径*/
for (int v = 0; v < g.NumVexs;v++)
{
Final[v] = 0; /*全部初始化为未求得最短路径*/
D[v] = g.arc[v0][v]; /*将与地点v0有连线的顶点加上权值*/
P[v] = 0; /*初始化路径数组为0*/
}
D[v0] = 0; /*v0至v0的路径为0*/
Final[v0] = 1; /*v0到v0自己就是一个最短路径*/
int k, min;
for (int v = 1; v < g.NumVexs; v++)
{
min = INFINITY;
for (int w = 0; w < g.NumVexs; w++)
{
if (!Final[w] && D[w] < min)
{
k = w;
min = D[w];
}
}
Final[k] = 1; /*将目前找到的最近顶点置为1，即找到了v0到vk的最近*/
for (int w = 0; w < g.NumVexs; w++)
{
/*如果v0到vw的距离大于刚才v0到vk的最短距离+vk到vw的距离，
说明有新的最短路径，将D[w]的值修改为新的最短路径值，
因为原本默认是p[w]=0即v0到vw最短,所以现在改为p[w]=k,即v0到vk在由vk到vw最短了*/
if (!Final[w] && (min + g.arc[k][w] < D[w]))
{
D[w] = min + g.arc[k][w];
P[w] = k;
}
}
}首先定义两个数组分别是：Pathmatrix数组、ShortPathTable数组，Pathmatrix就是一个并查集数组，Pathmatrix[i]=j表示v0到vi的最短路径（我们假定起点定位v0），vj是vi的前驱顶点，然后在通过vj又能找到vj的前驱结点，一直这样找下找到去，直到找到起点v0，这样就找到v0到vi的最短路径。
而另一个数组ShortPathTable[i]用来存放,起点到vi点的最短路径数。
然后在函数内部定义一个名为Final的数组，用该数组来标记每个顶点是否完成查找工作。如果数组元素Final[i]等于0表示还未找到v0到vi的最短路径，如果等于1表示找到了v0到vi的最短路径。
然后对Final数组初始化都为0，ShortPathTable[i]数组存放顶点v0到所有顶点vi的连线的权值。Pathmatrix数组全部初始化为0。并且对初始化D[0]=0，Final[0]=1,这表示v0自己到v0自己的最短路径已找到。
接下来除起点外的所有的进行查找。第一个循环，如果Final[w]=0并且D[w] 重复循环上面的过程，直到所有的点的最短路径都被找到。 3、弗洛伊德(Floyd)算法 弗洛伊德算法是求所有顶点到所有顶点的最短路径。与迪杰斯特拉算法相同，首先需要定义两个数组，Pathmatrix数组、ShortPathTable数组,P数组代表对应顶点的最小路径的前驱矩阵（终点的前一个结点），此数组相当于一个并查集，利用下标与数组元素值一级一级的往前走，即从起点走到一步一步走到终点，这就是并查集的作用。 如果起点v到终点w的距离D[v][w]大于顶点v到顶点j再由顶点j到终点w的这两段距离之和D[v][j]+D[j][w]。即v->j->w的距离小于v直接到w的距离，所以我们就让D[v][w]=D[v][j]+D[j][w]，并且接下来该使用P数组，使P[v][w]=P[v][j]即j顶点是v到w路径上的前驱矩阵。 然后我们来解读下弗洛伊德算法的实现代码： 所谓拓扑排序，其实就是对一个有向图构造拓扑序列的过程。 对AOV网进行拓扑排序的基本思路是：从 AOV网中选择一个入度为0的顶点输出，然后删去此顶点，并删除以此顶点为尾的弧，继续重复此步骤，直到输出全部顶点或AoV网中不存在入度为0的顶点。 我们需要为AOV网建立一个邻接表，考虑到算法过程中始终要查找入度为0的顶点，因此我们在原来的顶点表结点结构基础上，增加一个表示该顶点的入度的入度域（in），通过该结点的入度域，即可方便的知道此结点的入度。 AOV（activity on vertex ）网，顶点表示活动，弧代表活动（顶点）的制约关系 增加后的顶点结构如下： 下面给出拓扑排序的代码及解析： 我们要定义一个变量count用来记录输出顶点的个数，然后定义一个栈s1，该栈用来存储入度为0的顶点的下标，我们用一个for循环将所有的入度为0的顶点压入栈s1中，然后在利用一个while循环，直到栈s1为空，弹出栈顶元素，然后根据弹出的top下标打印此结点，输出后数目count加1。接下来在一个for循环访问刚才弹栈的顶点top的边表域e，将在e边上的top顶点对应的邻接点k的入度减1，这个操作相当于删掉e边（实际并没有）,然后在判断k点的入度是否为0，是则将k压栈。 出了while循环后，需要判断输出的顶点数目是否与顶点数目相同，若不相同说明有环。 在前面讲了AOV网的基础上，来介绍一个新的概念AOE网，在一个表示工程的带权有向图中，用顶点表示事件，用弧表示活动，用弧上的权值表示活动持续时间，这种用有向图表示活动的网，我们称之为AOE网（activity on edge），把AOE网中没有入边的的顶点称为始点或源点，把没有出边的顶点称为终点或汇点。 下图为一个AOE网的例子： 我们把路径上各个活动所持续的时间之和称为路径长度，从源点到汇点有最大的长度的路径叫关键路径，在关键路径上的活动叫关键活动 为了求出关键路径，我们需要定义如下几个参数： 2、事件的最晚发生时间ltv（lastest time of vertex）：即顶点vk的最早发生时间。即每个事件的最晚需要开始的事件。 3、活动的最早开始时间ete（earliest time of edge）：即弧ak的最早发生时间。 4、活动的最晚开始时间lte（lastest time of edge）：即弧ak的最晚发生时间。 我们可以求出1，然后借助1求出2，然后再根据1、2可以求出3、4. 首先我们先给出关键路径算法的代码然后再分析： 求事件的最早发生时间，我们可以用上次拓扑排序的算法，只不过对算法稍加改动，首先在定义一个栈用来存储拓扑序列，并且在每次s1栈弹栈时，将弹栈元素压到s2栈中。在遍历顶点的出边表的循环中，加入判断如果etv[top]+e->weight>etv[k]（top点的邻接点是k），如果成立，则etv[k]=etv[top]+e->weight，因为k点的最早发生时间需要他的前驱点的最早发生时间影响。即求事件最早发生时间是从前往后进行的。 然后到了关键路径算法中，首先调用我们改动过的拓扑排序算法，得到了事件的最早发生时间数组与拓扑序列。然后一个while循环直到s2栈为空，进来，s2弹栈用top接收弹栈顶点，然后一个for循环用来访问弹栈顶点top的边表数组，循环进来然后k为top的邻接点，如果ltv[k] - e->weight < ltv[top]，成立则ltv[top]=ltv[k] - e->weight，top是k的前驱，所以我们找ltv是从后往前找的，因为后一个的最晚发生时间已经限制了它前面的结点的最晚发生时间，所以要从后往前找。并且为什么最晚发生时间要取小呢，举个例子： 如图已经求得了v5的最晚发生时间为ltv[5]=25;v6的最晚发生时间为ltv[6]=22;这时要求v4的最晚发生时间依据ltv[5]=25算得ltv[4]=16,依据ltv[6]=22算得ltv[4]=18,因为15<18,所以ltv[4]=15,为什么呢？如果时间v4最晚发生时间为18时，然后开始进行活动 就这样求出事件最晚发生时间数组ltv（出了while循环），在建立一个双层for循环，外层从第一个顶点下标到最后一个顶点下标内层循环是根据每个顶点对应的出边表进行遍历的，在外层循环建立3个整形变量k，ete，lte，其中k是用来存储下标的，ete是存储活动的最早开始时间，然后lte是用来存储活动的最晚开始时间，内层循环，用k存储该顶点j的出边表上的邻接点下标，对应的边e（活动）的最早开始时间就是该边的弧尾顶点（j）对应的事件的最早开始时间即ete=etv[j]，然后该边（活动）的最晚发生时间应该等于该边的弧头顶点对应的事件（k）的最晚发生时减去边的权值（活动的持续时间）即lte=ltv[k]-e->weight。 然后进行判断如果该边（活动）的最早开始时间等于最晚开始时间，则说明该边（活动）在关键路径上，则将该边（活动）输出出。完成此循环过程后，算法结束。typedef int Pathmatrix[MAXVEX][MAXVEX];
typedef int ShortPathTable[MAXVEX][MAXVEX];
void ShortestPath_Floyd(MGraph g, Pathmatrix D, ShortPathTable P)
{
for (int v = 0; v < g.NumVexs; v++)
{
for (int w = 0; w < g.NumVexs; w++)
{
D[v][w] = g.arc[v][w]; /*将顶点v与顶点w之间的路径值初始化为邻接矩阵中两个顶点之间的权值*/
P[v][w] = w; /*初始化P数组为对应的两点之间的终点下标*/
}
}
for (int k = 0; k < g.NumVexs; k++) /*k代表的是顶点下标，可以把k理解为一个中转点，起点v到k距离，再由k到终点w的距离之和小于直接从起点到终点的距离。*/
{
for (int v = 0; v < g.NumVexs; v++)
{
for (int w = 0; w < g.NumVexs; w++)
{
if (D[v][w]>D[v][k] + D[k][w])
{
D[v][w] = D[v][k] + D[k][w];
P[v][w] = P[v][k];
}
}
}
}
}6、拓扑排序
typedef struct _EdgeNode
{
int adjvex;
EdgeType weight;
struct _EdgeNode *next;
}EdgeNode;
typedef struct _New_VexNode
{
int in;
VertexType data;
EdgeNode *firstedge;
}New_VexNode, NewAdjList[MAXVEX];
typedef struct
{
NewAdjList adjlist; //定义一个顶点数组
int numvexs; //图中顶点数
int numedge; //图中边数
}GraphAdjList;
typedef struct _SqStack
{
int date[MAXVEX];
int top=-1;
}SqStack;
bool pop(SqStack* s1,int& e)
{
if (s1->top == -1)
{
return false;
}
e = s1->date[s1->top--];
return true;
}
bool push(SqStack *s1,int e)
{
if (s1->top == MAXVEX-1)
return false;
s1->date[++s1->top] = e;
return true;
}
bool TopologicalSort(GraphAdjList g,SqStack *s1)
{
int count = 0; //用来记录输出顶点的个数
int gettop; //用来接收弹栈元素
for (int i = 0; i < g.numvexs;i++) //此循环将入度为0的顶点的下标压栈
{
if (0 == g.adjlist[i].in)
{
push(s1, i);
}
}
int k; //用来记录某些下标
while (s1->top != -1) //当栈不为空
{
pop(s1, gettop);
cout << g.adjlist[gettop].data << "->"; //打印此顶点
count++; //输出点的数目+1
for (EdgeNode *e = g.adjlist[gettop].firstedge; e != NULL;e=e->next)
{
k = e->adjvex; //将e边是gettop顶点到e->adjvexd顶点的弧，用k将e->adjvexd的下标记住。
g.adjlist[k].in--; //将adjvex顶点对应的入度-1，相当于将弧e删去
if (g.adjlist[k].in == 0)
push(s1, k);
}
}
return (count < g.numvexs ? false : true); /*如果count数小于顶点总共个数，说明存在环（因为在环上不能依据弧来找到制约关系）*/
}7、关键路径
1、事件的最早发生时间etv（earliest time of vertex）：即顶点vk的最早发生时间。typedef struct _EdgeNode
{
int adjvex;
EdgeType weight;
struct _EdgeNode *next;
}EdgeNode;
typedef struct _New_VexNode
{
int in;
VertexType data;
EdgeNode *firstedge;
}New_VexNode, NewAdjList[MAXVEX];
typedef struct
{
NewAdjList adjlist; //定义一个顶点数组
int numvexs; //图中顶点数
int numedge; //图中边数
}GraphAdjList;
typedef struct _SqStack
{
int date[MAXVEX];
int top = -1;
}SqStack;
bool pop(SqStack* s1, int& e)
{
if (s1->top == -1)
{
return false;
}
e = s1->date[s1->top--];
return true;
}
bool push(SqStack *s1, int e)
{
if (s1->top == MAXVEX - 1)
return false;
s1->date[++s1->top] = e;
return true;
}
bool TopologicalSort(GraphAdjList g, SqStack *s1,SqStack *s2,int* etv) //图g、栈s1,、栈s2（存储拓扑序列）
{
int count = 0; //用来记录输出顶点的个数
int gettop; //用来接收弹栈元素
for (int i = 0; i < g.numvexs; i++) //此循环将入度为0的顶点的下标压栈
{
if (0 == g.adjlist[i].in)
{
push(s1, i);
}
}
int k; //用来记录某些下标
while (s1->top != -1) //当栈不为空
{
pop(s1, gettop);
count++; //输出点的数目+1
push(s2, gettop); //将弹出的顶点序号压入拓扑序列的栈
for (EdgeNode *e = g.adjlist[gettop].firstedge; e != NULL; e = e->next)
{
k = e->adjvex; //将e边是gettop顶点到e->adjvexd顶点的弧，用k将e->adjvexd的下标记住。
g.adjlist[k].in--; //将adjvex顶点对应的入度-1，相当于将弧e删去
if (g.adjlist[k].in == 0)
push(s1, k);
if (etv[gettop] + e->weight > etv[k])
etv[k] = etv[gettop] + e->weight;
}
}
return (count < g.numvexs ? false : true); /*如果count数小于顶点总共个数，说明存在环（因为在环上不能依据弧来找到制约关系）*/
}
void CriticalPath(GraphAdjList g, SqStack *s1, SqStack *s2, int* etv,int* ltv)
{
TopologicalSort(g, s1, s2, etv); /*求出事件最早发生时间与拓扑序列*/
for (int i = 0; i < g.numvexs; i++)
{
ltv[i] = etv[g.numvexs - 1]; //使用最后一个事件的最早发生时间为最晚发生时间数组赋处置
}
int gettop; //用来接收弹栈元素
int k;
while (s2->top != -1)
{
pop(s2, gettop);
for (EdgeNode* e = g.adjlist[gettop].firstedge; e != NULL; e = e->next)
{
k = e->adjvex;
if (ltv[k] - e->weight < ltv[gettop]) /*事件的最晚发生时间决定于该事件的后一个事件的最晚发生时间*/
ltv[gettop] = ltv[k] - e->weight;
}
}
for (int j = 0; j < g.numvexs; j++)
{
int k;
int ete; /*活动最早开始时间*/
int lte; /*活动最晚开始时间*/
for (EdgeNode* e = g.adjlist[j].firstedge; e != NULL; e = e->next)
{
k = e->adjvex;
ete = etv[j]; /*活动最早开始时间，即以该边为弧尾结点的最早发生时间*/
lte = ltv[k] - e->weight; /*不应该，以该边为弧头的时间还未发生，活动已经开始，所以应该用弧头时间的最晚发生时间减去weight*/
if (ete == lte) /*两者相等说明在关键路径上*/
{
cout << "< " << j << "," << k << " >" << e->weight << " ,";
}
}
}
}