《概率论与数理统计》：（二）随机变量及其分布

  设随机试验的样本空间为S = { e }。X = X(e) 是定义在样本空间S上的实值单值函数。称X = X(e) 为随机变量。
  有许多随机试验，它们的结果本身是一个数。例如，用Y记某车间一天的缺勤人数，以W记某一地区第一季度的降雨量。我们一般以大写字母如X，Y，Z，… 表示随机变量，以小写字母x，y，z，… 表示实数。

1. 离散型随机变量及其分布律

  有些随机变量，它的全部可能取到的值是有限个或可列无穷多，这种随机变量称为离散型随机变量。
  设离散型随机变量X所有可能取值为xk（k =1,2,3,…），X取各个可能值的概率，即事件{X = xk} = pk ，k =1,2,3,…             （2.1）

我们称（2.1）为离散型随机变量X的分布律。分布律也可以用表格的形式表示

X	x1	x2	…	xn
pk	p1	p2	…	pn

表格形式直观表示了随机变量X取各个值的概率的规律。

三种重要的离散型随机变量：

• 0 - 1分布
• 伯努利试验、二项分布
• 泊松分布

1.1 （0 - 1）分布

（0 - 1）分布的分布律为：

X	0	1
pk	1-p	p

1.2 伯努利试验、二项分布

  伯努利试验有一个在朴素贝叶斯分类器的应用：伯努利模型，详情请看：sklearn模块之朴素贝叶斯：（二）伯努利模型的实现

• 伯努利试验：设试验E只有两种可能的结果：A和~A，则称E为伯努利（Bernoulli）试验。设P(A) = p (0 < p < 1)，此时P(~A) = 1 - p 。将E独立重复地进行n次，则称这一串重复的独立试验为n重伯努利实验。
• 二项分布（Binomial Distribution），即重复n次的伯努利试验（Bernoulli Experiment），用ξ表示随机试验的结果。如果事件发生的概率是P,则不发生的概率q=1-p，N次独立重复试验中发生K次的概率是
  

1.3 泊松分布

泊松分布的分布律为：

其中λ > 0是常数，k = 0，1，2 …

2. 随机变量的分布函数

  很多情况下，我们对随机变量的取值落在某一区间上的概率更感兴趣，如果我们可以得知X的分布函数，我们就知道X落在任一区间（x1，x2 ]上的概率，这就是分布函数存在的意义。分布函数可以完整地描述随机变量的统计规律，并且决定随机变量的一切其他概率特征。

• 定义：设X是一个随机变量，x是任意实数，函数
  
  称为X的分布函数。

对于任意实数x1，x2（x1 < x2）
因此，若已知X的分布函数，就可以知道X落在任一区间上的概率，在这个意义上说，分布函数完整地描述了随机变量的统计规律性。

3. 连续型随机变量及其概率密度

如果对于随机变量X的分布函数F（x），存在非负可积函数 f（x），使对于任何实数x有

则称X为连续型随机变量，f（x）称为X的概率密度函数。

3.1 均匀分布

若连续型随机变量X具有概率密度

则称X在区间（a，b）上服从均匀分布。记为X ~ U（a，b）
图像：

密度函数图像说明落在（a，b）的子区间的概率只依赖于子区间的长度而与子区间的位置无关。

3.2 指数分布

暂不知道用途，略过。

3.3 正态分布（高斯分布）

若连续型随机变量X的概率密度为：

则这个随机变量就称为正态随机变量，正态随机变量服从的分布就称为正态分布或高斯分布，记为X ~ N（μ，σ2）

图像：
x离μ越远，f（x）的值越小，这表明对于同样长度的区间，当区间离μ越远，X落在这个区间上的概率越小。

4. 随机变量的函数分布

略。

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参考资料：《概率论与数理统计(第四版)》作/译者：盛骤 谢式千 潘承毅