【声学基础】概述——振动学

序

  声学(acoustics)，是物理学的分支之一。《声学基础》从声源的振动特性、声波在自由空间传播特性、声波在管道中的传播特性、声波的辐射以及声波的接收做了详细的介绍。
  何为声学的本质？“传声媒质质点产生的一系列力学振动的传递过程”，可以发现，这里有两个关键点，一是媒质，而是振动。通俗地讲，声源振动，然后带动周围的媒质振动，周围的媒质带动更远处的媒质振动，由近及远，这就是声振动的传播过程。

第一章.质点振动学

  在前两章的内容中，主要讨论振动体(声源)的振动特点。
  第一章考虑振动物体的尺度远小于波长(振动一次传播的距离)，即各部分的运动状态基本相同的情况，此时可以将振动物体看成集中参数模型进行分析。此时振动状态仅与时间$t$有关，故数学模型是常微分方程。

自由振动

  首先分析自由振动的物体，可以通过牛二推导出其振动方程，其解是按固有频率$f_0=\frac{1}{2\pi }\sqrt{\frac{K_m}{M_m}}$进行的简谐振动。其对应的物理是如果物理有初始条件，或者在0时刻给了一个冲击，那么它就会按照其固有频率进行简谐振动。

衰减振动

  然后，考虑到实际物体在振动时会存在阻尼，阻力可能来自粘滞摩擦(向热能转化)，亦或是来自周围媒质的反作用(辐射声能)，故其振动方程要引入阻力项。此时解会有两种情况，阻尼较小时做振幅指数减小的简谐振动(振动频率会小于固有频率)，阻尼过大时，不再进行简谐振动。

强迫振动

  最后，分析的是强迫振动。强迫振动，顾名思义，存在一个外力，施加于振动物体。此时，振动方程变成非齐次常微分方程，这类方程的解由通解和特解组成，从信号与系统的角度讲叫零输入响应和零状态响应，而声学基础里称为自由响应和稳态响应。我们知道自由响应是指数衰减的，所以经过一段时间后即可忽略不计，物体的振动状态最终由稳态响应来反应。
  我们假设外力是一个频率为$f_0$的简谐力，那么稳态响应将是频率为$f_0$的简谐振动，其位移振幅应为$\frac{F_a}{{\omega }_0|Z_m|}$，很明显这是一个与频率相关的函数。同理，其速度振幅，加速度振幅也同样是频率相关的函数。
  不同的频段，振幅的频率特性不同，我们主要利用三种频段范围。第一种是共振峰附近的频带，此处很小的外力就能激发很强的振动，进而辐射更大的声功率，例如换能器。第二种是具有均匀(平坦)的频率响应的频带，此处可以保证输入输出不失真，例如电声设备中。第三种是频响很弱的频带，此处外力作用下输出的振动幅度很小，例如隔振系统中要保证强外力作用下系统振动依然很微弱。
  位移振幅、速度振幅，加速度振幅的平坦区不同，位移位于低频，此时其振幅可以近似成$\frac{F_a}{K_m}$，称为弹性控制区；速度位于共振峰附近，此时其振幅可以近似成$\frac{F_a}{R_m}$，称为力阻控制区；加速度位于高频，此时其振幅可以近似成$\frac{F_a}{M_m}$，称为质量控制区。在电声设备中，力学端与电学端耦合时使用的是哪个物理量，则其平坦区对应的频段。
  上面我们讨论的是单频外力作用的强迫振动方程，那么针对任意外力呢？当然是傅里叶分解成单频外力的叠加啊！周期性外力用傅里叶级数分解，非周期性外力用傅里叶逆变换分解。这就是经典的信号与系统中针对零状态响应最经典的求法。数学上看，振动方程就是个常微分方程，那也就是个线性时不变系统，这样求解当然没有问题。求得每一个单频外力的响应后，叠加即可得到最终的稳态响应。
  附上经典框图：线性；分解；合成；

第二章.弹性体振动学

  第二章中考虑振动物体尺寸与波长相比拟，即各位置运动状态不同，此时要看成分布参数系统进行分析。此时振动状态既与空间位置$x$有关，由于时间变量$t$有关，故数学模型是偏微分方程。

弦振动

  弦振动是把具有一定质量的细绳张紧，以张力作为恢复力进行的振动。
  取弦上的一个微元，计算两端张力在垂直方向上的合力，根据牛二列出运动方程，消去微小量即可得到弦振动方程。其数学形式是波动方程，其中$c=\sqrt{\frac{T}{\delta }}$是波动的传播速度。
  根据数理方法中的达朗贝尔方法，我们知道波动方程的一般解是两个不同方向传播的波函数，由于边界条件的存在(弦的两端被固定)，传播会被反射，所以弦上的任何位置都同时存在正向波和反向波，有界弦上形成驻波。
  针对两端固定的弦振动，利用驻波法求解弦振动方程可以得到解的具体形式，是由各阶简正模态叠加的形式，即若给定初始条件或者在0时刻给一激励的自由响应。每一号简正模态空间上呈现三角函数式的幅度分布，时间上呈现的简谐振动，与其简正频率$f_n=\frac{n}{2l}\sqrt{\frac{T}{\delta }}$相关。而不同简正模态的系数可以同过初始条件(初位移or初速度)去求得，因为不同号模态是正交的，所以求解时很方便。
  需要注意的是，这里的边界条件是两端固定，即位移为0，不同的边界条件会产生不同的简正模态，如果是质量负载边界条件的话，会出现非谐频。

棒振动

  此处仅讨论棒的纵振动，其恢复力主要由其劲度(弹性)产生，其实纵振动的物理过程与声波的传播过程非常类似。
  在棒上取一微元，计算其单位长度上的伸缩量(应变)，利用虎克定律(应力正比于应变)即可算出不同位置处的受力大小，再对其列运动方程，消去微小量后就能得到棒的纵振动方程，其数学形式同样是波动方程，其中$c=\sqrt{\frac{E}{\rho }}$。
  棒的纵振动的数学形式跟弦振动的数学形式一模一样，那么可以预料到其自由响应的形式也与弦振动一模一样，也是简正模态叠加的形式。
  这里我们分析一种新的边界条件，“一端自由，另一端受简谐外力”。此时的棒振动不再是多个简正模态叠加了，而是只有同外力频率相同的振动模式。类似于集中参数模型，如果外力频率与简正频率相同，则会形成共振(振幅非常大)，因为分布参数系统存在多个简正频率，所以会有多个共振峰。

膜振动

  膜振动的恢复力主要是张力。
  因为膜是二维的，取一体积微元，类似于弦振动，在$x$方向和$y$方向分别列出运动方程，注意这里的$T$为单位长度上的力，可以得到膜振动方程。其数学形式是波动方程，其中$c=\sqrt{\frac{T}{\delta }}$。
  我们考虑膜对称振动的自由响应，此时选取柱坐标系求解振动方程。通过驻波法可以得到解同样为各号简正模态的叠加，每一号简正模态空间上沿径向的振幅以0阶贝塞尔函数$J_0(k_{n}r)$形式变化，时间上是简谐振动，且与简正频率有关，这里的简正频率不再是倍频的关系，而是由0阶贝塞尔函数的一系列零点决定。
  此外，需要了解的是，直角坐标系下三角函数是驻波解，e指数函数是行波解；柱坐标系下柱贝塞尔函数是驻波解，柱汉克尔函数是行波解；球坐标系下球贝塞尔函数是驻波解，球汉克尔函数是行波解；物理上，两个方向相反，幅值相同的行波叠加形成的是驻波。
  然后再来讨论一下膜的强迫振动，假设膜的表面受到一个处处相等的简谐力，此时振动方程变为一非齐次偏微分方程。时间上为简谐振动，振动频率与简谐力相同，故波动方程可退化为一非齐次常微分方程，自变量为$r$(其实，这也可以理解为对非齐次偏微分方程作一傅里叶变换的操作)。该部分的解可以由通解+特解组成，通解如上，是一0阶贝塞尔函数$J_0(k_{0}r)$，$k_0$由简谐力频率决定；特解是一常数；两者叠加的结果需要满足边界条件，即：
$$A{J}_0(k_{0}a)-\frac{p_a}{k_0^{2}T}=0$$$$A=\frac{p_a}{k_0^{2}T{J}_0(k_{0}a)}$$
  可以发现，如果强迫力的频率正好与膜的简正频率相等，此时会发生共振，同样会存在多个共振峰。如果膜的尺度很小(相当于横坐标截距左移)或是振动频率很低(相当于曲线变宽)，那么幅值在[0,a]上变化会很小，说明各部分运动状态几乎相同，即可近似看作集中参数模型。
  如果考虑阻尼的话，即引入一项位移的一次导数项，此时引入复波数便可继续化简为亥姆霍兹方程，负虚部代表衰减。

第三章.电力声类比

  这一章很独立，没有描述声学的物理机制。电力声类比的概念主要应用于电声学中，因为电声器件是一个电学、力学、声学耦合的系统，经过电力声类比画出的等效电路图可以将三部分耦合在一起，更直接地分析激励和响应的关系。
  电磁振荡、力学振动、声振动虽然是不同的物理现象，但是他们在数学形式上却存在相似性。若为集中参数系统，则都用常微分方程去描述。注意，这一章的前提条件就是集中参数模型。
  电学方程基于欧姆定律；力学方程基于牛二定律，如果将力学中的物理量一一地与电学中进行类比的话，即可以用电路图来描述一个力学系统，这里要注意我们一般使用导纳型类比，因为利用拾振器可以测量系统任意一点的速度，类似于电压，测力计需要连入系统中才能测量两端的互作用力，类似于电流。其他类比量分别是：电阻类比力阻的导数，电容类比质量，电感类比弹性。
  声学方程也是基于牛二定律，这里我们选取最基本的声学振动系统来进行分析，也就是亥姆霍兹共鸣腔。我们首先分析腔的作用，短管内的空气柱发生微小位移后会使腔内空气压缩，产生一个逾压，列出绝热方程并进行泰勒展开，可以发现逾压和压缩位移是线性的，故对短管内的空气柱而言，腔就相当于一个弹簧。以空气柱为研究对象，列出其运动方程，并与电学物理量进行类比。这里是阻抗型类比，声压类比电压，体积速度类比电流，声质量类比电感，声阻类比于电阻，声容类比于电容。
  在画力学系统的类比电路图时，要顺着力线去分析，注意元件两端是速度差，而质量元件是以惯性系为参考的，故其一端必定接地。在画声学系统的类比电路图时，要顺着体积速度线去分析。因为声学遵循的也是力学规律，故声学端可以和力学端耦合，但是由于单位量纲的不一致，耦合时需要添加一个变量器(力学到声学S:1)，耦合前记得把力学端导纳型转化成阻抗型。
  《声学基础》中没有论述电学端和力学端的耦合，这个概念在《电声学》中可以找到，即机电四端网路，这部分我学的也不好，就不论述了。

Reference：
杜功焕.声学基础(第三版)[M].南京大学出版社