微积分 Part 11 无穷级数（二）函数项级数和幂级数

函数项级数和幂级数

我们在研究数项级数的时候，时常会发现，一些参变常数的取值决定着最后的收敛情况，为了更加灵活自由地研究这些数值变化对级数敛散性的影响，我们有必要研究每一项都是函数的级数，作为我们后续进展的增添新的数学利器。

1. 函数项级数

1.1. 基本概念

1.1.1. 函数项级数

每一项都是$x$函数的无穷级数。即：
$$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n(x),x\in D$$

1.1.2. 部分和函数

$$S_n(x):=\sum _{n=1}^n{u}_n(x),x\in D$$
$\{S_n(x)\}$称为部分和函数序列。

1.1.3. 收敛域

1.1.3.1. 函数序列的逐点收敛

$\forall x_0\in I,\epsilon >0,\exists N(\epsilon ,x_0)\in N^{\ast },\forall n>N:$
$$|f_n(x_0)-f(x_0)|<\epsilon$$

1.1.3.2. 函数项级数收敛

如果数项级数$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n(x_0)$收敛，其中$x_0\in I$，即$\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n(x_0)$存在，则称函数项级数在$x_0$点收敛，否则称在$x_0$发散。

1.1.3.3. 收敛域

$x_0$点组成的集合称为收敛域
$$E:=\{x\in D:\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n(x)=k,k\ne \infty \}$$

1.1.4. 和函数

收敛域上，部分和函数序列有极限。这个极限称为和函数。
$$S(x):=\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n(x),x\in E$$
即：
$$\sum _{n=1}^{\infty }{S}_n(x)=S(x),x\in E$$

1.1.5. 极限函数

函数序列$f_n$的极限函数为：
$$f(x):=\underset{n\to \infty }{\lim }{f}_n$$
和函数是部分和函数的极限函数。
极限函数的求解，当式中$n$的关系比较复杂的时候可以使用Heine原理进行简化。

注意：极限函数因$x$变化可能不同，这也是我们讨论一致收敛的重要原因。

1.2. 基本问题

1.2.1. 问题1——收敛域

从和函数的定义来说，收敛域也就是和函数的定义域。求函数项级数的收敛域，实际上就是将自变量$x$视为参数，应用数项级数收敛判定定理来判定是否收敛。

这就相当于数项级数里的带参变量收敛问题。

例 求$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^n}{n}{\left(\frac{1}{1+x}\right)}^n$收敛域：

利用达朗贝尔审敛法，
$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{|u_{n+1}(x)|}{|u_n(x)|}=\underset{n\to \infty }{\lim }\left(\frac{n}{n+1}\right)\frac{1}{|1+x|}=\frac{1}{|1+x|},\forall x\ne 1$$

1. 当$\frac{1}{|1+x|}<1$，（绝对）收敛，即$x>0$或$x<-2$满足条件
2. 当$\frac{1}{|1+x|}>1$即$-2<x<0$，级数发散
3. 当$|1+x|=1$得到$x=0$或$x=-2$，其中$x=0$时为交错级数，收敛。$x=-2$时，为调和级数，发散。

综上$(-\infty ,-2)\cup [0,+\infty )$

1.2.2. 问题2——和函数的分析性质

函数项级数，是一种特殊的函数，即和函数。在此前研究函数的极限、导数、积分的基础上我们很自然地提出和函数的连续性、可导性、可积性的问题。

subQ1：函数序列项连续，是否有：
$$\underset{x\to x_0}{\lim }S(x)=S(x_0)=\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n(x_0)$$
subQ2：函数序列项可导，是否有
$$S^{\prime }(x)=\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n^{\prime }(x)$$

subQ3：函数序列项可积，是否有
$${\int }_a^{b}S(x)\mathrm{d}x=\underset{n\to \infty }{\lim }{\int }_a^b{S}_n(x)\mathrm{d}x$$
这三个问题，（更具意义地）又可以对应的表示为三个交换性是否成立：
$$\underset{x\to x_0}{\lim }\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n(x)=\underset{n\to \infty }{\lim }\underset{x\to x_0}{\lim }{S}_n(x)$$
$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n(x)\right)=\underset{n\to \infty }{\lim }\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}{S}_n(x)\right)$$
$${\int }_a^b\left(\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n(x)\right)=\underset{n\to \infty }{\lim }\left({\int }_a^b{S}_n(x)\right)$$

我们还可以用更通俗的话描述以下这些问题的数学意义：

• 无限个连续函数相加是否连续
• 无限个可导函数相加是否可导
• 无限个可积函数相加是否可积

1.2.3. 函数序列的极限与三类基本运算的交换性

这些问题背后，本质在于：
函数序列的极限运算和三类基本运算的可交换性。

$$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)\stackrel{?}{}\underset{n\to \infty }{\lim }\underset{x\to x_0}{\lim }{f}_n(x)$$
$$f^{\prime }(x)\stackrel{?}{}\underset{n\to \infty }{\lim }{f}_n^{\prime }(x)$$
$${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x\stackrel{?}{}\underset{n\to \infty }{\lim }{\int }_a^b{f}_n(x)\mathrm{d}x$$

这个交换性的意义不仅限于无穷级数，它是一种通用的思想方法：
将复杂函数转化成解决一系列易求的函数序列+求极限的简单步骤

例 Weierstrass逼近定理(1885)
$\forall f\in C[a,b],\exists$一列多项式函数，s.t.
$$f(x)=\underset{n\to \infty }{\lim }{P}_n(x)$$

那么可以将$f(x)$的三大类运算转化成多项式的运算（而对于多项式，这是易解的）

类似地我们还有

例 Stone-Weierstrass逼近定理(1937)
$\forall g\in C_{per}([a,b]),\exists$一列三角多项式函数$\{T_n(x)\}$s.t.
$$g(x)=\underset{n\to \infty }{\lim }{T}_n(x)$$

这也是傅里叶变换的重要思想基础。

1.2.4. 为什么要讨论函数项级数的分析性质

1.2.4.1. 背景，或目的

对一类很好的$f$可以写成一系列幂级数的和
$$f=\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n{x}^n$$
一类周期性的信号函数也可以写成三角函数的和：
$$g(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n\cos nx+b_n\sin nx$$
这与我们在先前提出的简化想法是一致的。

这里面的“好”函数，看似这一步简化的旨归产生矛盾：好的函数，为什么还要作如此复杂的转化呢？事实上，我们时常发现，一些性质很好的函数在进行部分计算时，仍然会造成复杂的过程。比如接下来这个例子：
$${\int }_0^{+\infty }\frac{x^{s-1}}{e^x-1}\mathrm{d}x={\int }_0^{+\infty }\sum _{n=1}^{\infty }{x}^{s-1}{e}^{-nx}\mathrm{d}x$$

1.2.4.2. 交换性研究的必然性

一个函数序列，先取极限再做三运算，和先做完三运算再取极限，结果不一定相同，换句话说，交换性并不是一般成立的。

例如接下来三个例子，分别对应求极限（趋于1），求导（0处），积分（0到1）不成立的三种情形：

这三个例子真的是很重要啊！！
$$f_n(x)=x^n$$
$$f_n(x)=\frac{\sin nx}{\sqrt{n}}$$
$$f_n(x)=nx(1-x^2{)}^n$$

从而我们的问题是，什么样的函数项级数，具有这样类似的可简化的运算性质？

为了解决这一系列问题，我们需要引入一致收敛的概念。

关于以上的问题，我们要说明，这是本章最核心、最重要，也是整个工科数学分析中最困难的一部分。一定要多加思考和练习。

1.3. 函数序列的一致收敛

1.3.1. 函数序列的逐点收敛

逐点收敛如果使用$\epsilon -N$语言进行描述，取出的$N$一般是$\epsilon$和$x_0$的函数。
但其中会出现一种特殊情况（北大p241 图10.5）
也就是$N$与$x_0$无关的情况。这种对区间内所有$x$一致性的收敛，被我们称作一致收敛。

1.3.2. 定义

若$\forall \epsilon >0,\exists N=N(\epsilon )\in \mathbb{N},s.t.$
$$|f_n(x)-f(x)|<\epsilon \text{\hspace{1em}(*)}$$
$\forall x\in E,n>N$. 则称$f_n(x)$在$E$上一致收敛于$f$，记作
$$f_n(x)\rightrightarrows f(x),x\in E$$
几何意义：$x$顺次在收敛域上划过，然后分析在序列中足够靠后的函数，图像只有微微的波动，保证能在极限函数的$\epsilon$邻域中。

一个直观的判断方法，就是看函数序列的敛散性，是否不取决于$x$

1.3.3. 等价命题

这几个命题实际上对应着函数序列一致收敛的判别法。详细讨论我们放在函数项级数处再讨论
$(\ast )\iff Cauchy$
$\forall \epsilon >0,\exists N=N(\epsilon )\in \mathbb{N},s.t.$
$$|f_n(x)-f_m(x)|<\epsilon$$
$\forall x\in E,n,m>N$

$\iff$
$$\underset{n\to +\infty }{\lim }\underset{x\in E}{\sup }|f_n(x)-f(x)|=0(余项定理)$$
$\iff$
$$\underset{n\to +\infty }{\lim }|f_n(x_n)-f(x_n)|=0,\forall \{x_n\}\in E(Heine+余项定理)$$

1.3.4. 必要条件相关命题

同极限函数的差趋于0.

$1^{\circ }$
$$|f_n-f|\le a_n\to 0\Rightarrow (\ast )$$
$2^{\circ }$($\ast$) 若$\exists \{x_n\}\in Ds.t.$
$$\underset{n\to \infty }{\lim }|f_n(x_n)-f(x_n)|=k\ne 0$$
则$f_n/\rightrightarrows f$

例 反例1（$n$次幂级数）可以利用序列$x_n=(1-\frac{1}{n})$来求解。
反例3通过作图可以发现随着n增大，峰值产生明显的移动，自然使得命题2成立，即原式不一致收敛。

$3^{\circ }$若$f_n\rightrightarrows f$,$\epsilon$有界，则$f_n\phi \rightrightarrows f\phi$

1.3.5. 一致收敛欣赏

（Bernstein多项式）$\forall \in C[a,b],\forall n\in \mathbb{N}$
$$B_n(f,x):=\sum _{k=1}^{\infty }{C}_n^{k}f(\frac{k}{n})x^k(1-x{)}^{n-k}\rightrightarrows f(x),x\in [0,1]$$
这也是Weierstrass定理的又一证明。

B式的概率意义：二项式分布问题的足够多组情况中，某一组事件发生$k$次时$f(\frac{k}{n})$的数学期望，而$n$足够大时，每组中$k$趋向于$nx$次。

（一个略显反智的例题）讨论以下函数列的一致收敛：
$$f_n(x)=\{\begin{array}{ll}-1,& -1\le x\le -\frac{1}{n}\\ \sin \left(\frac{n\pi x}{2}\right),& -\frac{1}{n}<x<\frac{1}{n}\\ 1,& \frac{1}{n}\le x\le 1\end{array}$$
极限函数为：
$$f(x)=\{\begin{array}{ll}-1,& x<0\\ 0,& x=0\\ 1,& x>0\end{array}$$
余项表达式：
$${\beta }_n(x)=\{\begin{array}{ll}|\sin \left(\frac{n\pi x}{2}+1\right)|,& -\frac{1}{n}<x<0\\ 0,& x\in \left[-1,-\frac{1}{n}\right]\cup \{0\}\cup [\frac{1}{n},1]\\ |\sin \left(\frac{n\pi x}{2}-1\right)|,& 0<x<\frac{1}{n}\end{array}$$
$$\underset{x\in [-1,1]}{\sup }=\underset{x\in (0,1]}{\sup }=\underset{x\in (0,\frac{1}{n})}{\sup }|\sin \frac{n\pi x}{2}-1|=1.$$
从而不一致收敛。

1.4. 函数项级数的一致收敛

在已经研究了函数序列的一致收敛之后，这个问题可以转化为部分和函数序列的一致收敛。

接下来我们使用部分和函数序列一致收敛定义函数项级数的一致收敛。

1.4.1. 定义

若$S_n(x)\rightrightarrows S(x),x\in E$，则称$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n(x)$在$E$上一致收敛。记作：
$$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n(x)\rightrightarrows S(x),x\in E$$

我们可以将函数项级数想象成为一个以$x$为参变常量的数项级数。一致收敛的函数项级数，就是任取$x$都可以收敛的数项级数。

1.5. 函数项级数一致收敛的判别

关于一致收敛的判别，比较常用的且实用的是（通解的）余项定理，对于比较复杂的结构，我们可以使用

1.5.1. 函数项级数一致收敛的必要条件

$u_n(x)\rightrightarrows 0,x\in E$

这个方法常用于判别发散。

1.5.2. Weierstrass强级数判别法

若$|u_n(x)|\le a_n(x),\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n(x)$一致收敛，则函数项一致收敛

1. 有时我们可以找到一个数项强级数$a_n$，其收敛就包含着函数项级数一致收敛。
2. 通常可以用此法判别的问题，使用起来，相对余项定理会非常快捷简明。
3. 强级数只能判别加绝对值之后仍然一致收敛的级数。

1.5.3. （$\ast$）余项定理

函数项级数$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n(x)$的部分和函数序列$S_n(x)$在$I$上一致收敛于$S(x)$的充要条件为：
$${\beta }_n=\sum _{x\in I}|f_n(x)-f(x)|(n\in n^{\ast }),\underset{n\to \infty }{\lim }{\beta }_n=0$$

1. 解题思路：先求极限函数，再找同极限函数的余项是否趋于0
2. 证明是显然的。注意证明充分性时利用$N$与$x_0$无关
3. 对应的物理图像是一个理想振动和一个阻尼振动的耦合，其中阻尼振动随时间演进逐渐消失，趋于主要的理想振动。
4. 这个趋于零可以给Dirichlet判别法服务。

证明不一致收敛的时候，可以取一个特殊的数列说明${\beta }_n(x_n)=k\ne 0$。这运用了Heine定理证明不收敛的思想。

1.5.4. 函数项级数一致收敛的Cauchy准则

$\forall \epsilon >0,\exists N=N(\epsilon )\in \mathbb{N},s.t.\forall m>N,p\ge 1,x\in E$
$$|\sum _{m+1}^{m+p}{u}_n(x)|<\epsilon$$

1. 一致收敛和逐点收敛的Cauchy准则仅相差在其$N$是否是$x_0$的函数。
2. 证明时常用，一定要理解Cauchy准则在Dirichlet和Abel判别法证明中的作用。

1.5.5. 函数积项级数$\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n(x)b_n(x)$一致收敛判别

这是一类不能使用线性性质（加和与数乘）的级数，

1.5.5.1. 逐点有界和一致有界

逐点有界：$\forall x\in I,\forall n\in N^{\ast },\exists M(x):|f_n(x)|\le M(x)$
一致有界：$\exists M^{\ast }>0,\forall n\in N^{\ast },\forall x\in I:|f_n(x)|\le M^{\ast }$

1.5.5.2. （$\ast$）两大判定定理：

• 函数项级数的Dirichlet判别法：

若$\{a_n\}$单调且一致收敛到$0$，$b_n(x)$部分和一致有界，则$\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n(x)b_n(x)$一致收敛。

1. 只需要在数项级数的两个条件前面分别加上“一致”即可。
2. 证明对比数项级数的Dirichlet判别法。

---

• 函数项级数的Abel判别法：

若$\{a_n\}$关于$n$单调且一致有界，$\sum _{n=1}^{\infty }{b}_n(x)$一致收敛$,x\in E$，则$\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n(x)b_n(x)$一致收敛。

注：书中的函数项级数的Abel判别法证明没有使用$\sum _{n=1}^{\infty }(a_n-a)b_n$收敛的证明思路。大抵是因为先前没有讨论函数项级数的线性（加和）性质。

1.5.5.3. 其他重要问题

• 函数项级数的线性（数乘）性质
  若$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n(x)\rightrightarrows u(x),x\in E，\phi$为有界常量，则$\sum _{n=1}^{\infty }\phi u_n(x)\rightrightarrows \phi u(x)$

这个定理可以理解成Abel判别法的一种退化情况，是少数可以使用Abel进行求值的情形，并不常用。

• 凑Dirichlet结构的常用结论
  1. 余项定理（见1.5.3）
  2. Dirichlet通常更好用。因为在数项级数中我们积累了很多收敛的模型，所以直接上手可以使用Abel，但在函数项级数中，我们并没有讨论关于一致收敛的级数模型。
  3. 看到不能直接使用余项定理求解的，就用函数积项级数的一致收敛判定，通解思路是凑出一个一致收敛列，再凑一个部分和有界的序列。
  4. $$\sum _{n=1}^{\infty }2\sin \frac{\phi }{2}\cos n\phi =\sum _{n=1}^{\infty }\left(\sin \frac{(2n+1)\phi }{2}-\sin \frac{\phi }{2}\right),\phi \ne 2n\pi$$$$\left|\sum _{n=1}^{\infty }\cos n\phi \right|\le \frac{1}{2|\sin \frac{\phi }{2}|}$$
  5. $$\sum _{n=1}^{\infty }2\sin \frac{\phi }{2}\sin n\phi =\sum _{n=1}^{\infty }\left(\cos \frac{\phi }{2}-\cos \frac{(2n+1)\phi }{2}\right),\phi \ne 2n\pi$$$$\left|\sum _{n=1}^{\infty }\sin n\phi \right|\le \frac{1}{2|\sin \frac{\phi }{2}|}$$

1.6. 和函数的分析性质

这部分的证明是重要的。同前面的两个积项级数判定定理都要多加推演，熟悉性质

以下的三个性质都可以从三个尺度进行考量：

• 三个性质：
  1. 连续性
  2. 可导性
  3. 可积性
• 三个尺度
  1. 极限函数和函数序列性质是否相同
  2. 极限运算和三大运算（极限、求导、积分）的可交换性
  3. 无限个函数相加是否保持三个性质不变

先讨论几个函数序列的性质，和函数只是一个函数序列实例，理论上是与其类似的。

前言：一致收敛都是充分非必要的。

1.6.1. 函数序列与极限函数连续性相同

即：设$f_n\in C[a,b],n\in N,f_n(x)\rightrightarrows f(x),x\in [a,b]$，则$f\in C[a,b]$

或：
$$\underset{x\to x_0}{\lim }\underset{n\to \infty }{\lim }{f}_n(x)=\underset{n\to \infty }{\lim }\underset{x\to x_0}{\lim }{f}_n(x)$$

通俗理解：极限函数本就处在高度接近的、波动极小的函数序列的$\epsilon$带中，这与连续性的趋势是一致的。
证明利用插项法。

具体表现为级数：无限个连续函数的和，如果一致收敛，则维持连续性。
例 $\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n\cos nx\in C[\delta ,2\pi -\delta ]$一致收敛（利用Dirichlet判别法）

反例
$$\underset{x\in [0,1]}{\sup }\frac{nx}{1+n^2{x}^2}=\frac{1}{2}$$

1.6.2. 函数序列与极限函数可积性相同

即：设$f_n\in C[a,b],n\in N,f_n(x)\rightrightarrows f(x),x\in [a,b]$，则${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x=\underset{n\to \infty }{\lim }{\int }_a^b{f}_n(x)\mathrm{d}x$

或：
$${\int }_a^b\underset{n\to \infty }{\lim }{f}_n(x)\mathrm{d}x=\underset{n\to \infty }{\lim }{\int }_a^b{f}_n(x)\mathrm{d}x$$

由thm1，极限函数连续，连续函数必可积，证明时再利用定积分的绝对值不等式即可。

级数情形：无限个可积函数的和，如果一致收敛，则维持可积性。

重申，一致收敛并不是必要条件。比如最简单的幂函数：
$$f_n=x^n\to \{\begin{array}{ll}0,& x\in [0,1)\\ 1,& x=1\end{array}$$
显然不是一致收敛的。但是满足可交换性。

类似的研究有如Arzela定理（1885）：黎曼可积的函数组成序列，只要其极限函数可积，便满足可交换性。

例（交换思路可以简化）
$${\int }_0^1\sum _{n=1}^{\infty }\frac{x}{n(n+x)}\mathrm{d}x$$
这个问题如果先相加，由于裂项消不掉，所以并不显然。
然而我们发现这是可以利用强级数法判别一致收敛的结构。但交换后：
$$\sum _{n=1}^{\infty }\left(\frac{1}{n}-\ln (n+1)+\ln n\right)=\underset{N\to \infty }{\lim }\left(\sum _{n=1}^N\frac{1}{n}-\ln (N+1)\right)=c$$

1.6.3. 函数序列与极限函数可导性相同

可导性具有一定的复杂性，因为我们已经说过，一致收敛所能保证的极限函数的连续性，已经是很强的性质了，但仍然不能保证导函数的趋同。
比如我们在一致收敛的几何直观图像中再观察，仍然会发现这种收紧的$\phi$带中只能保证波动的幅度（波动趋势乘单调的波动程）被限制在很小的区域中（这个很小往往是波动的单调性不断再改变），导数（象征着波动趋势）实际上可以大起大落的。所以函数一致收敛并不能保证导函数一致收敛。

这种与先前两个问题的不同，导致我们第三个才讨论它。
我们利用两种不同的证明，力图辅助读者增进对条件的重要性的理解。

注：北大版的证法略去，它并不利于我们对定理的理解。尽管它告诉我们为什么应该考虑使用NL公式。先前已经讨论过可积的相关结论，NL公式此处可以连接已知和未知，符合探索的一般思路。

条件：

• $f_n(x)(n\in N^{\ast })\in C^1[a,b]$（一阶连续可微）
• $\exists x_0\in [a,b],f_n(x_0)\to f(x_0)$（存在一点有极限：该点处函数序列收敛）

  从证法1中我们可以看出，这里一致收敛是冗余的。

• $f_n^{\prime }(x)\rightrightarrows g(x),x\in [a,b]$（导数一致收敛）

  初等函数的级数中，我们只需要验证第三条即可。

特别注意：北大版的条件很强，为一阶连续可微，原级数点点收敛，导数级数一致收敛。

结论：

• $f_n\rightrightarrows f\in C[a,b]$（函数序列有极限函数）
• $f^{\prime }(x)=g(x)$，即$f_n^{\prime }(x)\rightrightarrows f^{\prime }(x)$（导数运算可交换）

证1：由NL公式：
$$f_n(x)=f_n(x_0)+{\int }_{x_0}^x{f}_n^{\prime }(t)\mathrm{d}t.$$
构造Cauchy结构：
$$f_m(x)-f_n(x)=f_m(x_0)-f_n(x_0)+{\int }_{x_0}^x\left(f_m^{\prime }(t)-f_n^{\prime }(t)\right)\mathrm{d}t$$

注意右边的两个差结构，其一使用数列的Cauchy准则显然趋于0（这也就是说，只需要(一个)点收敛），第二项直观理解，因为定积分式对应$t$值在区间上滑动，为了在区间上各点都能满足Cauchy条件，需要导函数在区间上一致收敛。

得知$f_n(x)$有极限函数，记为$f(x)$。现在结合条件3，对NL式取极限：
$$f(x)=f(x_0)+{\int }_{x_0}^{x}g(t)\mathrm{d}t$$
利用条件3，知$g(t)$连续（连续函数序列极限函数连续），结合NL公式，知$f^{\prime }(x)=g(x)$

证2（辅助函数法，梅P318）
利用Lagrange中值定理我们有
$$\begin{array}{rl}& |[f_n(x)-f_n(x_0)]-[f_m(x)-f_m(x_0)]|\\ =& |[f_n(x)-f_m(x)]-[f_n(x_0)-f_m(x_0)]|\\ =& |[f_n^{\prime }(\xi )-f_m^{\prime }(\xi )]|\cdot |x-x_0|\rightrightarrows 0\end{array}$$

这个一致收敛到0，是因为导函数一致收敛，并结合一致收敛的数乘性质。

取$x_0\in [a,b]$，构造辅助函数

后话：这是一个退化辅助，为了找到真正的导函数关系（即以$x_0$点处切线斜率，和其他点割线斜率构造的一个分段函数如$\tilde{g}$），应先退化为其对应的函数序列$f_n(x)$所能表示的函数，分段将极限函数退化为辅助函数，即$g_n(x)$

$$g_n(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{f_n(x)-f_n(x_0)}{x-x_0},& x\ne x_0\\ f_n^{\prime }(x_0),& x=x_0\end{array}$$

我们的想法是，如果这个函数能稳定的趋近一个分段函数，这个函数在非$x_0$处表示割线斜率，那么逼近$x_0$处时，其实就是我们要的$f^{\prime }(x)$值了。

同证$f_n(x)$一致收敛，结合一致收敛的加和性质，得$g_n(x)$一致收敛到
$$\tilde{g}=\{\begin{array}{ll}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0},& x\ne x_0\\ g(x_0),& x=x_0\end{array}$$
由条件1，$f(x)$在$x_0$处可导，故导数为$g(x_0)$。从而得知$f^{\prime }(x)=g(x)$

例
$$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^{n-1}}{n}{e}^{-nx}$$
的导数级数通过解不等式发现并不一致收敛。但是在任意闭区间$[a,b]$上都一致收敛（M判别），所以通过无限延拓，可以使用可导性定理。

2. 幂级数

2.1. 基本概念

一种特殊的函数项级数，形如：
$$\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n(x-x_0{)}^n$$

其中$a_n$称为系数。

幂级数是多项式的无限项的推广。类似多项式相比一般函数的好性质，幂级数相对函数项级数也有很多好性质。

由于这些性质，有以下的

2.2. 基本问题

2.2.1. 独特的收敛域，以及收敛半径

幂级数的特点之一在于，其收敛区间要么是以$x_0$一个点，要么是以$x_0$为中心的一个区间（可能是开区间，闭区间或半开半闭的区间）。该区间长度之半称作收敛半径。证明将在后面给出。

由于判定定理的对端点的不确定，所以决定了区间有多种类型。

2.2.2. 分析性质

即1.2.2谈到的三个交换性，或者无穷个函数相加保持原有对应特性不变的性质。

2.2.3. 和函数的其他性质

• 幂级数何时存在
• 幂级数如何展开

2.3. 幂级数的收敛域

2.3.1. 幂级数的收敛半径

定理：幂级数的收敛域不是一个点，就是一个邻域。其中这个域宽称为收敛半径。

为了证明这个特性我们只用讨论形如
$$\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n$$
的幂级数。更一般的通过简单的替换，就可以归入这种情况。

Abel引理：若幂级数$\sum _{n=0}^{\infty }$在点$x_1(x_1\ne 0)$处收敛，则对满足不等式
$$|x|<|x_1|$$
的一切$x$，幂级数在$x$处都绝对收敛。

简证：
$$|a_n{x}^n|=|a_n{x}_1^n|\cdot {\left|\frac{x}{x_1}\right|}^n\le M{\left|\frac{x}{x_1}\right|}^n$$
从而运用强级数法可证。

这个引理的逆是，如果一点发散，则绝对值大于此点处幂级数必然发散。

在明确了收敛域是0的一个邻域，发散域是无穷大的一个邻域$(-\infty ,h)\cup (h,+\infty )$后，经过延拓，我们最终将确定一个收敛半径。

2.3.2. 收敛域的求算

实质上，都是函数项级数基本判别方法的具体应用。
在不能使用时，退回数项级数的一般方法。

2.3.2.1. 达朗贝尔(d’Alembert)法

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\left|\frac{u_{n+1}}{u_n}\right|=\underset{n\to \infty }{\lim }\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\cdot |x|$$
故只需考虑$\underset{n\to \infty }{\lim }|a_{n+1}/a_n|=l$：

• 若$l=+\infty$，则$|x|=0$，即仅在原点处收敛
• 若$l=0$，则$|x|=+\infty$，即全域收敛
• 否则，利用达朗贝尔的$\ell =1$的界限，可以得到$\frac{1}{l}$为收敛半径。

2.3.2.2. Cauchy-Hadamard公式

同样的，如果将判定定理转用Cauchy判别法，那么对应的求算公式转化为柯西阿达玛公式。证明思路类似达朗贝尔法，只需考虑$\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[n]{a_n}=l.$判别结果和达朗贝尔同。

2.3.2.3. 收敛半径处敛散性不确定举例：

同时要注意一个问题，即边界处是不可被上述定理判断的。
$$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^p}{x}^n,R=1$$
$$E=\{\begin{array}{ll}(-1,1),& p=0\\ [-1,1],& p\in (0,1)\\ [-1,1],& p>1\end{array}$$

2.4. 幂级数的性质

2.4.1. 幂级数的四则运算性质

加减是显然的，这里讨论乘除：
$$\left(\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n\right)\cdot \left(\sum _{n=0}^{\infty }{b}_n{x}^n\right)=\sum _{n=0}^{\infty }{c}_n{x}^n$$
利用绝对收敛性质可证。其中$c_n=\sum _{i=0}^n{a}_i{b}_{n-i}$

对于除法可以通过求解线性方程组递推得到，商级数收敛半径小于被除与除级数。

2.4.2. 分析性质

2.4.2.1. 一致收敛性——内闭一致收敛定理

设幂级数$\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n$的收敛半径为$R(R>0)$

• 收敛圆内部的闭区间上均一致收敛
• 确定圆周的收敛性后，上述闭区间端点可以扩展到圆周。

  可以在边界处，凑出一个积项级数，其一是$a_n{R}^n$为边界收敛，另有一个单调减的数列，由Abel定理可证收敛。

2.4.2.2. 连续性

除一般函数项级数的区间连续之外，这里特别讨论，在收敛圆周处验证收敛之后，可以得到单侧连续。

2.4.2.3. 逐项可积

结合收敛区间内的闭区间一致收敛，其上满足
$${\int }_0^{x}S(t)\mathrm{d}t=\sum _{n=0}^{\infty }{\int }_0^x{a}_n{t}^n\mathrm{d}t=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{a_n}{n+1}{x}^{n+1}(-R<x<R)$$

这为我们求幂级数的和函数提供了一条很好的思路。为求得$S(x)$，可以先求出原函数，再将原函数求导。

推论：逐项积分所得原函数对应级数的收敛半径大于本身。
即
$$R_1\ge R$$
因为区间$(-R,R)$上的每一点都是级数
$$\sum _{n=0}^{\infty }\frac{a_n}{n+1}{x}^{n+1}$$
的收敛点，所以收敛半径的关系得证。

2.4.2.4. 逐项可导

幂级数是初等函数，且导数级数的和函数甚至都一致收敛：
$$|n{a}_n{x}^{n-1}|\le n|a_n|b^{n-1}=\frac{n}{r}|a_n{r}^n|{\left(\frac{b}{r}\right)}^{n-1}\le \frac{M}{r}n{\left(\frac{b}{r}\right)}^{n-1}$$
然后由函数项级数的逐项可导定理，得证。

两个推论：

• 三个收敛半径相等，求导、积分不改变收敛半径。

导数项级数半径大，原函数级数半径大，两个一夹全相等

• 无穷次可导：幂级数的和函数$S(x)$在收敛区间内有任意阶导函数，它们都可由逐项求导得到

利用分析性质求原函数

• step1：求出收敛域
• step2：根据函数项的特征选择在一定的区间上逐项求导或积分，求导时只能在区间中进行
• step3：利用相应逆运算求得和函数。

2.5. 幂级数举例——泰勒级数

回到最开始的问题——拟合。能否找到一个幂级数，使得这个级数的和函数在某一点附近恰好是我们给出的函数$f(x)$

一般形式：
$$f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n(x-x_0{)}^n,x\in B(x_n,r)$$

必要条件

这个被展开的函数必须满足幂级数的一切好性质，最重要的一点是：
$$任意阶可导$$

Taylor级数的唯一性

利用待定系数法，可以得到：
$$a_n=\frac{1}{n!}{f}^{(n)}(x_0)$$

Taylor级数的收敛性

Taylor级数不一定收敛到原级数。

若一个函数的Taylor级数不收敛到这个函数，那么由唯一性，没有其他的幂级数会收敛到这个级数了。我们称这个函数不可泰勒展开(成幂级数)。

这也说明了
$$C^{\omega }\subset C^{\infty }$$

充要条件：
$$\underset{n\to \infty }{\lim }{R}_n(x)=0$$

关于余项

Lagrange

$$R_n=\frac{1}{(n+1)!}\cdot f^{(n+1)}[x_0+\theta (x-x_0)](x-x_0{)}^{(n+1)}$$

Cauchy

$$R_n=\frac{(1-\theta {)}^n}{n!}{f}^{(n+1)}[x_0+\theta (x-x_0)](x-x_0{)}^{(n+1)}$$
$x_0=0$时，泰勒公式的柯西形式余项为
$$R_n(x)=\frac{1}{n!}{f}^{(n+1)}(\theta x)(1-\theta {)}^n{x}^{n+1}(0<\theta <1)$$

利用Cauchy余项可以证明
$$(1+x{)}^{\alpha }=1+\alpha +\frac{\alpha (\alpha -1)}{2!}{x}^2\cdots +\frac{\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)}{n!}{x}^n+\cdots (-1<x<1)$$
的收敛性.特别地：
$$\sqrt{1+x}=1+\frac{x}{2}-\frac{1}{8}{x}^2+\cdots$$
$$\frac{1}{1+x}=\sum _{n=0}^{\infty }(-1{)}^n{t}^n$$