关于多元正态分布的条件概率密度

多元正态分布

多元正态分布的密度函数如下 ：

fx(x1,...xn)=1(2π)k√|Σ|1/2exp(−12(x−μ)TΣ−1(x−μ)) (1)
其对应的矩母函数（也有称动差函数）为 exp(μTt+12tTΣt) 。事实上，如果随机向量 [X1,...Xn] 满足上面的动差函数，那么我们就称随机向量 [X1,...Xn] 服从多元高斯分布。具体地证明可以看 这里。

多元正态分布的条件密度

令随机向量 [X1,...Xn] 服从多元高斯分布。我们可以推导 Xn 在给定 X1,...Xn−1 的情况下的条件密度分布：

f(xn|x1,...,xn−1)=f(x1,...,xn−1,xn)f(x1,...,xn−1) (2)，
其中 f(x1,...,xn)=(2π)−n/2(|Σ|−1/2)exp[−12∑ni,j=1yiqijyj] (3)
其中 Q=Σ−1=[qij],yi=xi−μi 。同样地，
f(x1,...,xn−1)=∫∞∞f(x1,...,xn−1,xn)dxn=B(y1,...,yn−1) (4).
现在我们将公式(3)中的求和项进行分解，有：
∑ni,j=1yiqijyj=∑n−1i,j=1yiqijyj+yn∑n−1j=1qnjyj+yn∑n−1i=1qinyj+qnny2n (5)
因此，最终地条件分布具有如下的形式：
A(y1,...,yn−1)B(y1,...,yn−1)exp[−(Cy2n+D(y1,...,yn−1)yn)] (6)
其中 C=(1/2)qnn ，因为 Q=Σ−1 是对称矩阵，所以 D=∑n−1j=1qnjyj=∑n−1i=1qinyi .(6)式又可以进一步表示称如下的式子：
[ABexp(DD24C)]exp[−(yn+D2C)2]1C (7)
从公式(7)很容看出 xn 的条件密度函数是服从正态分布的。
所以条件分布的方差为： 2Var(Xn|X1,...,Xn−1)=1/C ，进一步有： Var(Xn|X1,...,Xn−1)=12C=1qnn
均值为：
E(Xn|X1,...,Xn−1)=μn−D2C=μn−1qnn∑n−1j=1qnj(Xj−μj)
这就说明了再抽样多元正态分布时，如果已知了其它维度的随机变量值， 剩下的那个维度的随机变量也是服从正态分布。