神经网络中的损失函数

cnn进行前向传播阶段，依次调用每个Layer的Forward函数，得到逐层的输出，最后一层与目标函数比较得到损失函数，计算误差更新值，通过反向传播逐层到达第一层，所有权值在反向传播结束时一起更新。

loss layer 是CNN的终点，接受两个Blob作为输入，其中一个是CNN的预测值，另一个是真实标签。损失层则将这两个输入进行一系列运算，得到当前网络的损失函数（Loss Function），一般记做L(θ）其中θ是当前网络权值构成的向量空间。机器学习的目的是在权值空间中找到让损失函数L(θ） 最小的权值θ（opt），可以采用一系列最优化方法（如SGD方法）逼近权值θ（opt）。

损失函数是在前向传播计算中得到的，同时也是反向传播的起点。

二：Softmax函数

假设有K个类别，Softmax计算过程为：

其中，j=0,1,2,3,4,5,...,K-1

下面图更直观：

softMax的结果相当于输入图像被分到每个标签的概率分布，该函数是单调增函数，即输入值越大，输出也就越大，输入图像属于该标签的概率就越大。

神评论：SVM只选自己喜欢的男神，Softmax把所有备胎全部拉出来评分，最后还归一化一下

对softmax的结果计算交叉熵分类损失函数为：

取log里面的值就是这组数据正确分类的Softmax值，它占的比重越大，这个样本的Loss也就越小，这种定义符合我们的要求.

三：wiki百科对softmax函数的定义：

In mathematics, the softmax function, or normalized exponential function,^[1]:198 is a generalization of the logistic function that "squashes" a K-dimensional vector {\displaystyle \mathbf {z} } of arbitrary real values to a K-dimensional vector {\displaystyle \sigma (\mathbf {z} )} of real values in the range [0, 1] that add up to 1. The function is given by

{\displaystyle \sigma (\mathbf {z} )_{j}={\frac {e^{z_{j}}}{\sum _{k=1}^{K}e^{z_{k}}}}}    for j = 1, …, K.

The softmax function is used in various multiclass classification methods, such as multinomial logistic regression,^{[1]:206–209} multiclass linear discriminant analysis, naive Bayes classifiers, and artificial neural networks.^[2] Specifically, in multinomial logistic regression and linear discriminant analysis, the input to the function is the result of K distinct linear functions, and the predicted probability for the j'th class given a sample vector x and a weighting vector w^{[further explanation needed]} is:

{\displaystyle P(y=j\mid \mathbf {x} )={\frac {e^{\mathbf {x} ^{\mathsf {T}}\mathbf {w} _{j}}}{\sum _{k=1}^{K}e^{\mathbf {x} ^{\mathsf {T}}\mathbf {w} _{k}}}}}

This can be seen as the composition of K linear functions {\displaystyle \mathbf {x} \mapsto \mathbf {x} ^{\mathsf {T}}\mathbf {w} _{1},\ldots ,\mathbf {x} \mapsto \mathbf {x} ^{\mathsf {T}}\mathbf {w} _{K}} and the softmax function (where {\displaystyle \mathbf {x} ^{\mathsf {T}}\mathbf {w} } denotes the inner product of {\displaystyle \mathbf {x} } and {\displaystyle \mathbf {w} }). The operation is equivalent to applying a linear operator defined by {\displaystyle \mathbf {w} } to vectors {\displaystyle \mathbf {x} }, thus transforming the original, probably highly-dimensional, input to vectors in a K-dimensional space {\displaystyle R^{K}}.

注：

softmax函数的本质就是将一个K 
维的任意实数向量压缩（映射）成另一个K维的实数向量，其中向量中的每个元素取值都介于（0，1）之间。

x,w 点积就是上图中Z1，Z2，Z3的计算。将高维的输入x转化一个K维的实数，即K类的各自的概率。

四：后记：

理想的分类器应当是除了真实标签的概率为1，其余标签概率均为0，这样计算得到其损失函数为-ln(1)=0.

损失函数越大，说明该分类器在真实标签上的分类概率越小，性能也就越差。

当损失函数接近正无穷时表明训练发散，需要调小学习速率。

在ImageNet-1000分类问题中，初始状态为均匀分布，每个类别的分类概率均为0.001，此时损失函数-ln(0.001)=ln(1000)=6.90775..,

当loss总在6.9左右时，说明没有训练收敛的迹象，尝试调大学习速率，或者修改权值初始化方式。