特征基和相似对角化

一、特征基

这里谈谈对特征基的简单描述，详细定义请参考正规教材。

特征基和特征向量密不可分，  假设我们有一个矩阵，记做A矩阵，A矩阵可以理解为一种线性变换，A矩阵的每一列可以看做是变换后的基向量的坐标（详见https://blog.csdn.net/xiaoyink/article/details/90705106），特征基顾名思义，用特征向量作为基向量，构建坐标系；特征基矩阵可以理解为 用矩阵A的特征向量作为基向量，构建新的坐标系，在新的坐标系中表示A矩阵（变换），所得到的新矩阵，即特征基 矩阵 和 A矩阵 表示的是同一个变换，只不过他们是在不同坐标系中对同一个变换的不同描述而已，  并且特征基 矩阵 一定是对角阵。

        这里简单说明一下原因，下面会有详细说明，无论是什么矩阵所表示的变换 对 矩阵的特征向量 都只有伸缩作用，不能改变方向，特征基 矩阵也不例外，恰好特征基矩阵的 特征向量正好也是基向量，那么可以这么说，特征基矩阵对其坐标系的每个维度的基向量只有缩放作用，所以其肯定是对角阵，或者我们用 I 表示特征基矩阵，那么I E 表示 I 矩阵对每个维度的基向量进行变换，有上述知I E为对角阵， 又由于E为单位阵 ，即I 为对角阵，即特征基矩阵一定为对角阵。

下面我们用具体的矩阵来进行举例说明：

        设A为，其两个线性无关的特征向量为   ,  作为基向量，构建新的坐标系，在新的坐标系中A矩阵对应的变换如何表示，我们构建新的矩阵P，矩阵P为，矩阵P以及其逆矩阵 可以在两个坐标系之间切换，A变换在以、为基向量的新坐标系中如何表示？ 我们可以用表示，如下：

                                                 

为什么呢？ 假设我们只知道向量α在坐标系、中的坐标，向量α在经过A变换后为何向量？

由于为坐标系、中的坐标，而A矩阵为A变换在、中的表述，所以坐标系不同，不能直接用A乘以α得到结果，正确的步骤如下：

Pα  得到α向量在、中的坐标

APα 得到α向量经过A变换后在、中的坐标

 得到α向量经过A变换后在、中的坐标

即A变换在、中的表述为 ，根据上述条件是特征基矩阵（这段涉及基变换的内容可以参考视频https://www.bilibili.com/video/av6731067/?p=13），所以我们可以根据普通矩阵，通过求其特征向量来构造P矩阵，通过来求其，特征基矩阵，从而将其相似对角化。

提供另一种思考方式，我们不用引入α向量，  证明A变换在、构成的坐标系中的表述为：

用β1 表示基向量，用β2表示基向量，则P矩阵可以写成。

下面我们来思考  A变换 在  某一坐标系中的 矩阵表述 的实际意义是什么，我直接说结论：

     经过A变换之后，坐标系的所有基向量的新坐标，构成一个矩阵，此矩阵就是A变换在  此坐标系中的表述。

那么A变换，在以P矩阵列向量作为基向量的坐标系中的表述，可以分布理解，AP 的意义就是，P矩阵列向量经过A变换后的坐标，即基向量经过A变换后的坐标 构成的矩阵， 但是这个坐标是在、坐标系中的，再将这个矩阵转换成在P矩阵列向量作为基向量所形成的坐标系中的坐标，即，即A变换在、中的表述为 。

二、相似对角化

 

在上述步骤中，我们求得了A矩阵的特征基矩阵，  那么我们只需要证明特征基矩阵一定是对角阵即可，即可说明通过求矩阵的特征向量将其相似对角化这一方式可行。

矩阵和A矩阵为同一变换在不同坐标系中的两种表述，其实质是一样的，即变换的效果是一样的，其实上述过程中我们已经文字说明为什么特征基矩阵一定是对角阵，下面我们通过公式计算的方式来证明：

其中P矩阵可以拆成和，和为A矩阵的特征向量（列向量），所以

 

其中和为A矩阵的特征值，乘以P矩阵的每一个列向量得到的坐标系每个维度的单位向量，即

所以，特征基矩阵一定是对角阵。

注：特征基矩阵是我自己的业余叫法，我的本意是  以 矩阵的特征向量为 新的基向量 构建新的坐标系， 原来矩阵所对应的的线性变换，在新的坐标系中 的表述 为一个新的矩阵，这个新的矩阵我称之为特征基矩阵。

其他的结论：

n维矩阵能够相似对角化，则其肯定有n个线性无关的特征向量（充分必要条件）

n维矩阵有n个不同的特征值，则 其肯定可以相似对角化（充分不必要条件）

应用：

通过相似对角化，可以简化矩阵的n次幂的计算，另外相似对角化 在 二次型中也有应用。