《算法与数据结构》学习笔记14---跳表

前言

    上篇说到，二分查找底层依赖的是数组随机访问的特性，所以只能用数组来实现。那么对于链表，只需要对它进行一些改造就可以支持类似“二分”的查找算法。改造之后的数据结构叫做 跳表（Skip list）。
    跳表是一种动态数据结构，可以支持快速的插入、删除、查找操作。写起来也不复杂，甚至可以替代 红黑树（Red-black tree）

正文

跳表
    对于一个单链表来讲，即便链表中存储的数据是有序的，如果要想在其中查找某个数据，也只能从头到尾遍历链表。这样查找效率就会很低，时间复杂度会很高，是 O(n)。
    如果像图中那样，对链表建立一级“索引”，每两个结点提取一个结点到上一级，把抽出来的那一级叫作索引或索引层。图中的 down 表示 down 指针，指向下一级结点。

    如果要查找某个结点，比如 16。可以先在索引层遍历，当遍历到索引层中值为 13 的结点时，发现下一个结点是 17，那要查找的结点 16 肯定就在这两个结点之间。然后通过索引层结点的 down 指针，下降到原始链表这一层，继续遍历。这个时候，只需要再遍历 2 个结点，就可以找到值等于 16 的这个结点了。这样，原来如果要查找 16，需要遍历 10 个结点，现在只需要遍历 7 个结点。
    此时可以看出，加来一层索引之后，查找一个结点需要遍历的结点个数减少了，也就是说查找效率提高了。
    跟前面建立第一级索引的方式相似，在第一级索引的基础之上，每两个结点就抽出一个结点到第二级索引。再来查找 16，只需要遍历 6 个结点了，需要遍历的结点数量又减少了。

    这种链表加多级索引的结构就是跳表。

时间复杂度
    如果链表中有n个结点，会有多少级索引呢？
    每两个结点会抽出一个结点作为上一级索引的结点，那第一级索引的结点个数大约就是 n/2，第二级索引的结点个数大约就是 n/4，第三级索引的结点个数大约就是 n/8，依次类推，也就是说，第 k 级索引的结点个数是第 k-1 级索引的结点个数的 1/2，那第 k级索引结点的个数就是 n/(2^k)。
    假设索引有 h 级，最高级的索引有 2 个结点。通过上面的公式，可以得到 n/(2^h)=2，从而求得 h=log2n-1。如果包含原始链表这一层，整个跳表的高度就是 log2n。在跳表中查询某个数据的时候，如果每一层都要遍历 m 个结点，那在跳表中查询一个数据的时间复杂度就是 O(m*logn)。
那m是多少呢？
    假设要查找的数据是 x，在第 k 级索引中，我们遍历到 y 结点之后，发现 x 大于 y，小于后面的结点 z，所以通过 y 的 down 指针，从第 k 级索引下降到第 k-1 级索引。在第 k-1 级索引中，y 和 z 之间只有 3 个结点（包含 y 和 z），所以，在 K-1 级索引中最多只需要遍历 3 个结点，依次类推，每一级索引都最多只需要遍历 3 个结点。

    通过上面的分析，得到 m=3，所以在跳表中查询任意数据的时间复杂度就是 O(logn)。这个查找的时间复杂度跟二分查找是一样的。换句话说，其实是基于单链表实现了二分查找，

空间复杂度
    比起单纯的单链表，跳表需要存储多级索引，肯定要消耗更多的存储空间。假设原始链表大小为 n，那第一级索引大约有 n/2 个结点，第二级索引大约有 n/4 个结点，以此类推，每上升一级就减少一半，直到剩下 2 个结点。

原始链表大小为n，每两个结点抽一个，每层索引的结点数为：
              n/2 , n/4 , n/8 , ......, 8 , 4 , 2

    这几级索引的结点总和就是 n/2+n/4+n/8…+8+4+2=n-2。所以，跳表的空间复杂度是 O(n)。也就是说，如果将包含 n 个结点的单链表构造成跳表，需要额外再用接近 n 个结点的存储空间。
    那怎么降低索引占用的内存空间呢？
    前面都是每两个结点抽一个结点到上级索引，如果每三个结点或五个结点，抽一个结点到上级索引，是不是就不用那么多索引结点了呢？以每三个结点抽一个为例，，总的索引结点大约是n/3+n/9+n/27+…+9+3+1=n/2。尽管空间复杂度还是 O(n)，但比上面的每两个结点抽一个结点的索引构建方法，要减少了一半的索引结点存储空间。
    实际上，在软件开发中，不必太在意索引占用的额外空间。在讲数据结构和算法时，习惯性地把要处理的数据看成整数，但是在实际的软件开发中，原始链表中存储的有可能是很大的对象，而索引结点只需要存储关键值和几个指针，并不需要存储对象，所以当对象比索引结点大很多时，那索引占用的额外空间就可以忽略了。

动态插入和删除
    插入 和删除的时间复杂度是O(logn)。
    在单链表中，一旦定位好要插入的位置，插入结点的时间复杂度是很低的，就是 O(1)。但是，这里为了保证原始链表中数据的有序性，需要先找到要插入的位置，这个查找操作就会比较耗时。对于纯粹的单链表，需要遍历每个结点，来找到插入的位置。但是，对于跳表来说，查找某个结点的的时间复杂度是 O(logn)，所以这里查找某个数据应该插入的位置，方法也是类似的，时间复杂度也是 O(logn)。
    如果这个结点在索引中也有出现，除了要删除原始链表中的结点，还要删除索引中的。因为单链表中的删除操作需要拿到要删除结点的前驱结点，然后通过指针操作完成删除。所以在查找要删除的结点的时候，一定要获取前驱结点。当然，如果用的是双向链表，就不需要考虑这个问题了。

跳表索引动态更新
    当不停地往跳表中插入数据时，如果不更新索引，就有可能出现某 2 个索引结点之间数据非常多的情况。极端情况下，跳表还会退化成单链表。作为一种动态数据结构，需要某种手段来维护索引与原始链表大小之间的平衡，也就是说，如果链表中结点多了，索引结点就相应地增加一些，避免复杂度退化，以及查找、插入、删除操作性能下降。
    红黑树、AVL 树这样平衡二叉树是通过左右旋的方式保持左右子树的大小平衡，而跳表是通过随机函数来维护前面提到的“平衡性”。
当往跳表中插入数据的时候，可以选择同时将这个数据插入到部分索引层中。如何选择加入哪些索引层呢？
    通过一个随机函数，来决定将这个结点插入到哪几级索引中，比如随机函数生成了值 K，那就将这个结点添加到第一级到第 K 级这 K 级索引中。随机函数的选择很有讲究，从概率上来讲，能够保证跳表的索引大小和数据大小平衡性，不至于性能过度退化。

为什么Redis要用跳表来实现有序集合，而不是红黑树？
    Redis 中的有序集合是通过跳表来实现的，严格点讲，其实还用到了散列表。如果查看 Redis 的开发手册，就会发现，Redis 中的有序集合支持的核心操作主要有下面这几个：

• 插入一个数据；
• 删除一个数据；
• 查找一个数据；
• 按区间查找数据；
• 迭代输出有序序列。

    其中，插入、删除、查找以及迭代输出有序序列这几个操作，红黑树也可以完成，时间复杂度跟跳表是一样的。但是，按照区间来查找数据这个操作，红黑树的效率没有跳表高。
    对于按照区间查找数据这个操作，跳表可以做到 O(logn) 的时间复杂度定位区间的起点，然后在原始链表中顺序往后遍历就可以了。这样做非常高效。
    当然，Redis 之所以用跳表来实现有序集合，还有其他原因，比如，跳表更容易代码实现。虽然跳表的实现也不简单，但比起红黑树来说还是好懂、好写多了，而简单就意味着可读性好，不容易出错。还有，跳表更加灵活，它可以通过改变索引构建策略，有效平衡执行效率和内存消耗。
    不过，跳表也不能完全替代红黑树。因为红黑树比跳表的出现要早一些，很多编程语言中的 Map 类型都是通过红黑树来实现的。做业务开发的时候，直接拿来用就可以了，不用费劲去实现一个红黑树，但是跳表并没有一个现成的实现，所以在开发中，如果想使用跳表，必须要自己实现。