矩阵的 Jordan 标准型

如果把矩阵化成对角矩阵，关于矩阵的函数计算问题就会大大简化。但一般的矩阵未必与对角矩阵相似。
矩阵的标准型有多重，Jordan （约当）标准型是最接近对角矩阵的形式，在控制理论中经常用到。

存在条件：

设 A∈Cn∗x , 其特征多项式可以写成如下形式：

φ(λ)=(λ−λ1)m1…(λ−λs)ms

其中： m1+m2+⋯+ms=n , 那么，矩阵 A 可以经过相似变换，化成唯一的 Jordan 标准型 J 。即存在可逆矩阵 P , 满足

P−1AP=J

A 有Jordan 分解：

A=PJP−1

J=diag(J1(λ1),J2(λ2),…,Js(λs))

Ji(λi),i=1,2,…,s 被称为 Jardon 块。

对应的：

P=(P1,P2,…,Ps)

Ji(λi)=diag(J1(λi),J2(λi),…,Jki(λi),)

Jki(λi),i=1,2,…,ki 被称为 Jardon 子块。

对应的：

Pi=(Pi(1),Pi(2),…,Pi(ki)

Jki(λi)=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢λi00…01λi0…001λi…0……………0001λi⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥∈Cki∗ki

求解方法：

1、求矩阵的特征值 λi 及每个特征值的重数 mi 。

计算特征值 λi 的指标 ki , 即 rank(A−λiI)ki=rank(A−λiI)ki+1 成立的最小正整数 ki ,也就是 λi 对应的约当块的最大阶数。

2、计算特征值 λi 对应的Jardon 块的个数及阶数。

rt=rank(A−λiI)t,t=0,1,2,…,ki

δt=rt−1+rt+1−2rt

δt 为 λi 对应的 t 阶约当块 的个数 Jt(λi）

3、计算 P 矩阵。

先求 Pi,i=1,2,…,s 。

先求 Pit,t=1,2,…,ki

对 t 阶约旦子块，求

(A−λiI)tx=0

的非零解（唯一） x ,

Pit=(x,(A−λiI)x,…,(A−λiI)t−1x)

进过组合，就可以得到变换矩阵 P