matlab版吴恩达机器学习第五章笔记

1、基本操作

参考视频: 5 - 1 - Basic Operations (14 min).mkv
打开matlab(R2019b) 这是 matlab命令行

现在示范最基本的matlab代码：

输入5 + 6，然后得到11。

输入1/2、2^6等等，得到相应答案。

这些都是基本的数学运算

也可以去做逻辑运算 例如 1==2 计算结果为 false（假）这里用0表示 1~=2 计算结果为 true（真）用1表示

请注意，不等于符号的写法是这个波浪线加上等于符号 ( ~= )，而不是等于感叹号加等号( != )，这是和其他一些编程语言中不太一样的地方。

让我们看看逻辑运算 1 && 0，使用双&符号表示逻辑与，1 && 0判断为假，1和0的或运算 1 || 0，其计算结果为真。

还有异或运算 如XOR ( 1, 0 )，其返回值为1

如果你想分配一个变量，但不希望在屏幕上显示结果，你可以在命令后加一个分号，可以抑制打印输出，敲入回车后，不打印任何东西。

现在举一个字符串的例子：变量b等于"hi"。

c等于3大于等于1，所以，现在变量c的值是真。

如果你想打印出变量，或显示一个变量，你可以像下面这么做：

设置a等于圆周率，如果我要打印该值，那么只需键入a像这样 就打印出来了。

对于更复杂的屏幕输出，也可以用DISP命令显示：

这是一种，旧风格的C语言语法，对于之前就学过C语言的同学来说，你可以使用这种基本的语法来将结果打印到屏幕。

例如 ^{T}命令的六个小数：0.6%f ,a，这应该打印的6位小数形式。

也有一些控制输出长短格式的快捷命令：

下面，让我们来看看向量和矩阵：

比方说 建立一个矩阵 A：

对A矩阵进行赋值，考虑到这是一个三行两列的矩阵，你同样可以用向量。

建立向量V并赋值1 2 3，V是一个行向量，或者说是一个3 ( 列 )×1 ( 行 )的向量，或者说，一行三列的矩阵。

如果我想，分配一个列向量，我可以写“1;2;3”，现在便有了一个3 行 1 列的向量，同时这是一个列向量。

下面是一些更为有用的符号，如：

V=1：0.1：2

这个该如何理解呢：这个集合是一组值，从数值1开始，增量或说是步长为0.1，直到增加到2，按照这样的方法对向量V操作，可以得到一个行向量，这是一个1行11列的矩阵，其矩阵的元素是1 1.1 1.2 1.3，依此类推，直到数值2。

我也可以建立一个集合并用命令“1:6”进行赋值，这样V就被赋值了1至6的六个整数。

这里还有一些其他的方法来生成矩阵

例如“ones(2, 3)”，也可以用来生成矩阵：

元素都为2，两行三列的矩阵，就可以使用这个命令：

你可以把这个方法当成一个生成矩阵的快速方法。

w为一个一行三列的零矩阵，一行三列的A矩阵里的元素全部是零：

还有很多的方式来生成矩阵。

如果我对W进行赋值，用Rand命令建立一个一行三列的矩阵，因为使用了Rand命令，则其一行三列的元素均为随机值，如“rand(3,3)”命令，这就生成了一个3×3的矩阵，并且其所有元素均为随机。

如果，你知道什么是高斯随机变量，或者，你知道什么是正态分布的随机变量，你可以设置集合W，使其等于一个一行三列的矩阵N，并且，来自三个值，一个平均值为0的高斯分布，方差或者等于1的标准偏差。还可以设置地更复杂：

并用hist命令绘制直方图。




绘制单位矩阵：
如果对命令不清楚，建议用help命令：

以上讲解的内容都是matlab的基本操作。希望你能通过上面的讲解，自己练习一些矩阵、乘、加等操作，将这些操作在matlab中熟练运用。

在接下来的视频中，将会涉及更多复杂的命令，并使用它们在matlab中对数据进行更多的操作。

2、移动数据

如果你有一个机器学习问题，你怎样把数据加载到 Octave 中？

怎样把数据存入一个矩阵？

如何对矩阵进行相乘？

如何保存计算结果？

如何移动这些数据并用数据进行操作？

进入我的 matlab 窗口，

我键入A，得到我们之前构建的矩阵A ，也就是用这个命令生成的：

A = [1 2; 3 4; 5 6]

这是一个3行2列的矩阵，Octave 中的 size() 命令返回矩阵的尺寸。

所以 size(A) 命令返回3 2

实际上，size() 命令返回的是一个 1×2 的矩阵，我们可以用 来存放。

设置 sz = size(A)

因此 sz就是一个1×2的矩阵，第一个元素是3，第二个元素是2。

所以如果键入 size(sz) 看看 sz的尺寸，返回的是1 2，表示是一个1×2的矩阵，1 和 2分别表示矩阵sz的维度 。

你也可以键入 size(A, 1)，将返回3，这个命令会返回矩阵A的第一个元素，矩阵的第一个维度的尺寸，也就是 A矩阵的行数。

同样，命令 size(A, 2)，将返回2，也就是 A矩阵的列数。

如果你有一个向量 v，假如 v = [1 2 3 4]，然后键入length(v)，这个命令将返回最大维度的大小，返回4。

你也可以键入length(A)，由于矩阵是一个3×2的矩阵，因此最大的维度应该是3，因此该命令会返回3。

但通常我们还是对向量使用 命令，而不是对矩阵使用 length 命令，比如 length([1;2;3;4;5])，返回5。

如何在系统中加载数据和寻找数据：
当我们打开 Matlab 时，我们通常已经在一个默认路径中，这个路径是 matlab的安装位置，pwd 命令可以显示出matlab 当前所处路径。

cd命令，意思是改变路径，我可以把路径改为C:\Users\ang\Desktop，这样当前目录就变为了桌面。

如果键入 ls，ls 来自于一个 Unix 或者 Linux 命令，ls命令将列出我桌面上的所有路径。

事实上，我的桌面上有两个文件：featuresX.dat 和priceY.dat，是两个我想解决的机器学习问题。

featuresX文件如这个窗口所示，是一个含有两列数据的文件，其实就是我的房屋价格数据，数据集中有47行，第一个房子样本，面积是2104平方英尺，有3个卧室，第二套房子面积为1600，有3个卧室等等。

priceY这个文件就是训练集中的价格数据，所以 featuresX 和priceY就是两个存放数据的文档，那么应该怎样把数据读入 matlab 呢？我们只需要键入featuresX.dat，这样我将加载了 featuresX 文件。同样地我可以加载priceY.dat。其实有好多种办法可以完成，如果你把命令写成字符串的形式load('featureX.dat')，也是可以的，这跟刚才的命令效果是相同的，只不过是把文件名写成了一个字符串的形式，现在文件名被存在一个字符串中。matlab中使用引号来表示字符串。

另外 who 命令，能显示出 在我的 Matlab工作空间中的所有变量
所以我可以键入featuresX 回车，来显示 featuresX
还可以键入 size(featuresX)，得出的结果是 47 2，代表这是一个47×2的矩阵。

类似地，输入 size(priceY)，结果是 47
1，表示这是一个47维的向量，是一个列矩阵，存放的是训练集中的所有价格$Y$ 的值。

who 函数能让你看到当前工作空间中的所有变量，同样还有另一个 whos命令，能更详细地进行查看。

同样也列出我所有的变量，不仅如此，还列出了变量的维度。

double 意思是双精度浮点型，这也就是说，这些数都是实数，是浮点数。

如果你想删除某个变量，你可以使用 clear 命令，我们键入 clear featuresX，然后再输入 whos 命令，你会发现 featuresX 消失了。

另外，我们怎么储存数据呢？

我们设变量 V= priceY(1:10)

这表示的是将向量 $Y$ 的前10个元素存入 $V$中。

假如我们想把它存入硬盘，那么用 save hello.mat v 命令，这个命令会将变量$V$存成一个叫 hello.mat 的文件，让我们回车，现在我的桌面上就出现了一个新文件，名为hello.mat。
现在我们清除所有变量，直接键入clear，这样将删除工作空间中的所有变量，所以现在工作空间中啥都没了。

但如果我载入 hello.mat 文件，我又重新读取了变量 $v$，因为我之前把变量$v$存入了hello.mat 文件中，所以我们刚才用 save命令做了什么。这个命令把数据按照二进制形式储存，或者说是更压缩的二进制形式，因此，如果$v$是很大的数据，那么压缩幅度也更大，占用空间也更小。如果你想把数据存成一个人能看懂的形式，那么可以键入：

save hello.txt v -ascii

这样就会把数据存成一个文本文档，或者将数据的 ascii 码存成文本文档。

我键入了这个命令以后，我的桌面上就有了 hello.txt文件。如果打开它，我们可以发现这个文本文档存放着我们的数据。

这就是读取和储存数据的方法。

接下来我们再来讲讲操作数据的方法：

假如 $A$ 还是那个矩阵

跟刚才一样还是那个 3×2 的矩阵，现在我们加上索引值，比如键入 A(3,2)

这将索引到$A$ 矩阵的 (3,2) 元素。这就是我们通常书写矩阵的形式，写成 $A$ 32，3和2分别表示矩阵的第三行和第二列对应的元素，因此也就对应 6。

我也可以键入A(2,:) 来返回第二行的所有元素，冒号表示该行或该列的所有元素。

类似地，如果我键入 A(:,2)，这将返回 $A$ 矩阵第二列的所有元素，这将得到 2 4 6。

这表示返回$A$ 矩阵的第二列的所有元素。

你也可以在运算中使用这些较为复杂的索引。

我再给你展示几个例子，可能你也不会经常使用，但我还是输入给你看 A([1 3],:)，这个命令意思是取 $A$ 矩阵第一个索引值为1或3的元素，也就是说我取的是A矩阵的第一行和第三行的每一列，冒号表示的是取这两行的每一列元素，即：

可能这些比较复杂一点的索引操作你会经常用到。

我们还能做什么呢？依然是 $A$ 矩阵，A(:,2) 命令返回第二列。

你也可以为它赋值，我可以取 $A$ 矩阵的第二列，然后将它赋值为10 11 12，我实际上是取出了 $A$ 的第二列，然后把一个列向量[10;11;12]赋给了它，因此现在 $A$ 矩阵的第一列还是 1 3 5，第二列就被替换为 10 11 12。

接下来一个操作，让我们把 $A $设为A = [A, [100, 101,102]]，这样做的结果是在原矩阵的右边附加了一个新的列矩阵，就是把 $A$矩阵设置为原来的 $A$ 矩阵再在右边附上一个新添加的列矩阵。

最后，还有一个小技巧，如果你就输入 A(:)，这是一个很特别的语法结构，意思是把 $A$中的所有元素放入一个单独的列向量，这样我们就得到了一个 9×1 的向量，这些元素都是$A$ 中的元素排列起来的。

再来几个例子：

我还是把 A 重新设为 [1 2; 3 4; 5 6]，我再设一个 $B$为[11 12; 13 14; 15 16]，我可以新建一个矩阵 $C$，C = [A B]，这个意思就是把这两个矩阵直接连在一起，矩阵$A$ 在左边，矩阵$B$ 在右边，这样组成了 $C$矩阵，就是直接把$A$和 $B$ 合起来。

我还可以设C = [A; B]，这里的分号表示把分号后面的东西放到下面。所以，[A;B]的作用依然还是把两个矩阵放在一起，只不过现在是上下排列，所以现在 $A$ 在上面 $B$在下面，$C$ 就是一个 6×2 矩阵。

简单地说，分号的意思就是换到下一行，所以 C 就包括上面的A，然后换行到下面，然后在下面放上一个 $B$。

另外顺便说一下，这个[A B]命令跟 [A, B] 是一样的，这两种写法的结果是相同的。

通过以上这些操作，希望你现在掌握了怎样构建矩阵，也希望我展示的这些命令能让你很快地学会怎样把矩阵放到一起，怎样取出矩阵，并且把它们放到一起，组成更大的矩阵。

3、计算数据

现在快速地初始化一些变量。比如设置$A$为一个3×2的矩阵，设置$B$为一个3 ×2矩阵，设置$C$为2 × 2矩阵。

我想算两个矩阵的乘积，比如说 $A\times C$，我只需键入A×C，这是一个 3×2 矩阵乘以 2×2矩阵，得到这样一个3×2矩阵。

你也可以对每一个元素，做运算 方法是做点乘运算A.*B，这么做Octave将矩阵 $A$中的每一个元素与矩阵 $B$ 中的对应元素相乘:A.*B

这里第一个元素1乘以11得到11，第二个元素2乘以12得到24，这就是两个矩阵的元素位运算。通常来说，在matlab中点号一般用来表示元素位运算。

这里是一个矩阵$A$，这里我输入A.^2，这将对矩阵$A$中每一个元素平方。

我们设$V$为 [1; 2; 3] 是列向量，你也可以输入1./V，得到每一个元素的倒数，所以这样一来，就会分别算出 1/1 1/2 1/3。

矩阵也可以这样操作，1./A 得到$A$中每一个元素的倒数。

同样地，这里的点号还是表示对每一个元素进行操作。

我们还可以进行求对数运算，也就是对每个元素进行求对数运算。

还有自然数$e$的幂次运算，就是以$e$为底，以这些元素为幂的运算。

我还可以用 abs来对 $v$ 的每一个元素求绝对值，当然这里 $v$都是正数。我们换成另一个这样对每个元素求绝对值，得到的结果就是这些非负的元素。还有$–v$，给出$v$中每个元素的相反数，这等价于 -1 乘以 $v$，一般就直接用 $-v$
就好了，其实就等于 $-1\ast v$。

%百分号表示注释

还有一个技巧，比如说我们想对$v$中的每个元素都加1，那么我们可以这么做，首先构造一个3行1列的1向量，然后把这个1向量跟原来的向量相加，因此$v$向量从[1 2 3] 增至 [2 3 4]。我用了一个，length(v)命令，因此这样一来，ones(length(v) ,1) 就相当于ones(3,1)，然后我做的是v +ones(3,1)，也就是将 $v$ 的各元素都加上这些1，这样就将$v$ 的每个元素增加了1。
另一种更简单的方法是直接用 v+1，v + 1 也就等于把 $v$ 中的每一个元素都加上1。

矩阵$A$ 如果你想要求它的转置，那么方法是用A’,将得出 A 的转置矩阵。当然，如果我写(A')'，也就是 $A$ 转置两次，那么我又重新得到矩阵 $A$。

还有一些有用的函数，比如： a=[1 15 2 0.5]，这是一个1行4列矩阵，val=max(a)，这将返回$A$矩阵中的最大值15。

我还可以写 [val, ind] =max(a)，这将返回$A$矩阵中的最大值存入$val$，以及该值对应的索引，元素15对应的索引值为2,存入$ind$，所以 $ind=2$。

特别注意一下，如果你用命令 max(A)，$A$是一个矩阵的话，这样做就是对每一列求最大值。

我们还是用这个例子，这个 $a$ 矩阵a=[1 15 2 0.5]，如果输入a<3，这将进行逐元素的运算，所以元素小于3的返回1，否则返回0。

因此，返回[1 1 0 1]。也就是说，对$a$矩阵的每一个元素与3进行比较，然后根据每一个元素与3的大小关系，返回1和0表示真与假。

如果我写 find(a<3)，这将告诉我$a$ 中的哪些元素是小于3的。

设A = magic(3)，magic 函数将返回一个矩阵，称为魔方阵或幻方 (magic squares)，它们具有以下这样的数学性质：它们所有的行和列和对角线加起来都等于相同的值。

当然据我所知，这在机器学习里基本用不上，但我可以用这个方法很方便地生成一个3行3列的矩阵，而这个魔方矩阵这神奇的方形屏幕。每一行、每一列、每一个对角线三个数字加起来都是等于同一个数。

在其他有用的机器学习应用中，这个矩阵其实没多大作用。

如果我输入 [r,c] = find(A>=7)，这将找出所有$A$矩阵中大于等于7的元素，因此，$r$ 和$c$分别表示行和列，这就表示，第一行第一列的元素大于等于7，第三行第二列的元素大于等于7，第二行第三列的元素大于等于7。

顺便说一句，其实我从来都不去刻意记住这个 find 函数，到底是怎么用的，我只需要会用help函数就可以了，每当我在使用这个函数，忘记怎么用的时候，我就可以用 help函数，键入 help find 来找到帮助文档。

最后再讲两个内容，一个是求和函数，这是 $a$ 矩阵：

键入 sum(a)，就把 a 中所有元素加起来了。

如果我想把它们都乘起来，键入 prod(a)，prod 意思是product(乘积)，它将返回这四个元素的乘积。

floor(a) 是向下四舍五入，因此对于 $a$ 中的元素0.5将被下舍入变成0。

还有 ceil(a)，表示向上四舍五入，所以0.5将上舍入变为最接近的整数，也就是1。

如果键入 max(rand(3),rand(3))，这样做的结果是返回两个3×3的随机矩阵，并且逐元素比较取最大值。

假如我输入max(A,[],1)，这样做会得到每一列的最大值。

所以第一列的最大值就是8，第二列是9，第三列的最大值是7，这里的1表示取A矩阵第一个维度的最大值。

相对地，如果我键入max(A,[],2)，这将得到每一行的最大值，所以，第一行的最大值是等于8，第二行最大值是7，第三行是9。

所以你可以用这个方法来求得每一行或每一列的最值，另外，你要知道，默认情况下max(A)返回的是每一列的最大值，如果你想要找出整个矩阵A的最大值，你可以输入max(max(A))，或者你可以将$A$ 矩阵转成一个向量，然后键入 max(A(:))，这样做就是把 $A$ 当做一个向量，并返回 $A$向量中的最大值。

最后，让我们把 $A$设为一个9行9列的魔方阵，魔方阵具有的特性是每行每列和对角线的求和都是相等的。

这是一个9×9的魔方阵，我们来求一个 sum(A,1)，这样就得到每一列的总和，这也验证了一个9×9的魔方阵确实每一列加起来都相等，都为369。

现在我们来求每一行的和，键入sum(A,2)，这样就得到了$A$ 中每一行的和加起来还是369。

现在我们来算$A $的对角线元素的和。我们现在构造一个9×9 的单位矩阵，键入 eye(9),

然后我们要用 $A$逐点乘以这个单位矩阵，除了对角线元素外，其他元素都会得到0。

键入sum(sum(A.*eye(9))

这实际上是求得了，这个矩阵对角线元素的和确实是369。

你也可以求另一条对角线的和也是是369。

flipup/flipud 表示向上/向下翻转。

同样地，如果你想求这个矩阵的逆矩阵，键入pinv(A)，通常称为伪逆矩阵，你就把它看成是矩阵 $A$ 求逆，因此这就是 $A$矩阵的逆矩阵。

设 temp = pinv(A)，然后再用$temp$ 乘以$A$，这实际上得到的就是单位矩阵，对角线为1，其他元素为0。

如何对矩阵中的数字进行各种操作，在运行完某个学习算法之后，通常一件最有用的事情是看看你的结果，或者说让你的结果可视化，在接下来的视频中，我会非常迅速地告诉你，如何很快地画图，如何只用一两行代码，你就可以快速地可视化你的数据，这样你就能更好地理解你使用的学习算法。

4、绘图数据

参考视频: 5 - 4 - Plotting Data (10 min).mkv

当开发学习算法时，往往几个简单的图，可以让你更好地理解算法的内容，并且可以完整地检查下算法是否正常运行，是否达到了算法的目的。

例如在之前的视频中，我谈到了绘制成本函数$J(\theta )$，可以帮助确认梯度下降算法是否收敛。通常情况下，绘制数据或学习算法所有输出，也会启发你如何改进你的学习算法。幸运的是，matlab有非常简单的工具用来生成大量不同的图。当我用学习算法时，我发现绘制数据、绘制学习算法等，往往是我获得想法来改进算法的重要部分。在这段视频中，我想告诉你一些matlab的工具来绘制和可视化你的数据。

我们先来快速生成一些数据用来绘图。

如果我想绘制正弦函数，这是很容易的，我只需要输入plot(t,y1)，并回车，就出现了这个图：

横轴是$t$变量，纵轴是$y1$，也就是我们刚刚所输出的正弦函数。

让我们设置$y2$


将会消除之前的正弦图，并且用这个余弦图来代替它，这里纵轴$cos(x)$从1开始，

如果我要同时表示正弦和余弦曲线。

我要做的就是，输入：plot(t, y1)，得到正弦函数，我使用函数hold on，hold on函数的功能是将新的图像绘制在旧的之上。

我现在绘制$y2$，输入：plot(t, y2)。

我要以不同的颜色绘制余弦函数，所以我在这里输入带引号的r绘制余弦函数，$r$表示所使用的颜色：plot(t,y2,’r’)，再加上命令xlabel('time')，
来标记X轴即水平轴，输入ylabel('value')，来标记垂直轴的值。

同时我也可以来标记我的两条函数曲线，用这个命令 legend('sin','cos')将这个图例放在右上方，表示这两条曲线表示的内容。最后输入title('myplot')，在图像的顶部显示这幅图的标题。


如果你想保存这幅图像，你输入print –dpng 'myplot.png'，png是一个图像文件格式，如果你这样做了，它可以让你保存为一个文件。

也可以保存为很多其他的格式，你可以键入help plot。

最后如果你想，删掉这个图像，用命令close会让这个图像关掉。

也可以让你为图像标号

你键入figure(1); plot(t, y1);将显示第一张图，绘制了变量$t$ $y1$。

键入figure(2); plot(t, y2); 将显示第一张图，绘制了变量$t$ $y2$。

subplot命令，我们要使用subplot(1,2,1)，它将图像分为一个1*2的格子，也就是前两个参数，然后它使用第一个格子，也就是最后一个参数1的意思。

我现在使用第一个格子，如果键入plot(t,y1)，现在这个图显示在第一个格子。如果我键入subplot(1,2,2)，那么我就要使用第二个格子，键入plot(t,y2)；现在y2显示在右边，也就是第二个格子。

最后一个命令，你可以改变轴的刻度，比如改成[0.5 1 -1 1]，输入命令：axis([0.5 1 -1 1])也就是设置了右边图的$x$轴和$y$轴的范围。具体而言，它将右图中的横轴的范围调整至0.5到1，竖轴的范围为-1到1。


你不需要记住所有这些命令，如果你需要改变坐标轴，或者需要知道axis命令，你可以用matlab中用help命令了解细节。

最后，还有几个命令。

Clf（清除一幅图像）。

让我们设置A等于一个5×5的magic方阵：

有时用一个巧妙的方法来可视化矩阵，也就是imagesc(A)命令，它将会绘制一个5*5的矩阵，一个5*5的彩色格图，不同的颜色对应A矩阵中的不同值。

还可以使用函数colorbar，让我用一个更复杂的命令 imagesc(A)，colorbar，colormap gray。这实际上是在同一时间运行三个命令：运行imagesc，然后运行，colorbar，然后运行colormap gray。

它生成了一个颜色图像，一个灰度分布图，并在右边也加入一个颜色条。所以这个颜色条显示不同深浅的颜色所对应的值。

你可以看到在不同的方格，它对应于一个不同的灰度。

输入`你可以看到在不同的方格，它对应于一个不同的灰度。

输入`imagesc(magic(15))，colorbar，colormap gray``

这将会是一幅15*15的magic方阵值的图。

最后，总结一下这段视频。你看到我所做的是使用逗号连接函数调用。如果我键入$a=1$,$b=2$,$c=3$然后按Enter键，其实这是将这三个命令同时执行，或者是将三个命令一个接一个执行，它将输出所有这三个结果。

这很像$a=1$; $b=2$;$c=3$;如果我用分号来代替逗号，则没有输出出任何东西。

这里我们称之为逗号连接的命令或函数调用。

用逗号连接是另一种matlab中更便捷的方式，将多条命令例如imagesc colorbar colormap，将这多条命令写在同一行中。

5、控制语句：for，while，if语句

参考视频: 5 - 5 - Control Statements_ for, while, if statements (13 min).mkv

在这段视频中，我想告诉你怎样为你的 Octave 程序写控制语句。诸如：“for” “while” “if” 这些语句，并且如何定义和使用方程。

如何使用 “for” 循环。

首先，要将 $v$ 值设为一个10行1列的零向量。

接着我要写一个 “for" 循环，让 $i$ 等于 1 到 10，写出来就是 i = 1:10。我要设$ v(i)$的值等于 2 的 $i$ 次方，循环最后写上“end”。

向量$v$ 的值就是这样一个集合 2的一次方、2的二次方，依此类推。这就是我的 $i$ 等于 1 到 10的语句结构，让 $i$ 遍历 1 到 10的值。


另外，你还可以通过设置你的 indices (索引) 等于 1一直到10，来做到这一点。这时indices 就是一个从1到10的序列。

你也可以写 i = indices，这实际上和我直接把 i 写到 1 到 10 是一样。你可以写 disp(i)，也能得到一样的结果。所以 这就是一个 “for” 循环。

如果你对 “break” 和 “continue” 语句比较熟悉，Octave里也有 “break” 和 “continue”语句，你也可以在 Octave环境里使用那些循环语句。

但是首先让我告诉你一个 while 循环是如何工作的：

这是什么意思呢：我让 $i$ 取值从 1 开始，然后我要让 $v(i)$ 等于 100，再让 $i$ 递增 1，直到$i$ 大于 5停止。

现在来看一下结果，我现在已经取出了向量的前五个元素，把他们用100覆盖掉，这就是一个while循环的句法结构。

现在我们来分析另外一个例子：

这里我将向你展示如何使用break语句。比方说 v(i) = 999，然后让 i = i+1，当 $i$ 等于6的时候 break (停止循环)，结束 (end)。

当然这也是我们第一次使用一个 if 语句，所以我希望你们可以理解这个逻辑，让 $i$ 等于1 然后开始下面的增量循环，while语句重复设置 $v(i)$ 等于999，不断让$i$增加，然后当 $i$ 达到6，做一个中止循环的命令，尽管有while循环，语句也就此中止。所以最后的结果是取出向量 $v$ 的前5个元素，并且把它们设置为999。

所以，这就是if 语句和 while 语句的句法结构。并且要注意要有end，上面的例子里第一个 end 结束的是 if
语句，第二个 end 结束的是 while 语句。

现在让我告诉你使用 if-else 语句：

最后，让我们来说说函数 (functions)，如何定义和调用函数。

我在桌面上存了一个预先定义的文件名为 “squarethisnumber.m”，这就是在 matlab 环境下定义的函数。

让我们打开这个文件。请注意，我使用的是微软的写字板程序来打开这个文件，我只是想建议你，如果你也使用微软的Windows系统，那么可以使用写字板程序，而不是记事本来打开这些文件。如果你有别的什么文本编辑器也可以，记事本有时会把代码的间距弄得很乱。如果你只有记事本程序，那也能用。我建议你用写字板或者其他可以编辑函数的文本编辑器。

现在我们来说如何在 matlab 里定义函数：

这个文件只有三行：
第一行写着 function y = squareThisNumber(x)，这就告诉 matlab，我想返回一个 y值，我想返回一个值，并且返回的这个值将被存放于变量 $y$ 里。另外，它告诉了Octave这个函数有一个参数，就是参数 $x$，还有定义的函数体，也就是 $y$ 等于 $x$ 的平方。

还有一个其他许多编程语言都没有的概念，那就是它可以允许你定义一个函数，使得返回值是多个值或多个参数。这里就是一个例子，定义一个函数叫：

“SquareAndCubeThisNumber(x)” ($x$的平方以及$x$的立方)

这说的就是函数返回值是两个： $y1$ 和 $y2$，接下来就是$y1$是被平方后的结果，$y2$是被立方后的结果，这就是说，函数会真的返回2个值。

有些同学可能会根据你使用的编程语言，比如你们可能熟悉的C或C++，通常情况下，认为作为函数返回值只能是一个值，但matlab 的语法结构就不一样，可以返回多个值。

如果我键入 [a,b] = SquareAndCubeThisNumber(5)，然后，$a$就等于25，$b$ 就等于5的立方125。

所以说如果你需要定义一个函数并且返回多个值，这一点常常会带来很多方便。

最后，我来给大家演示一下一个更复杂一点的函数的例子。

比方说，我有一个数据集，像这样，数据点为[1,1], [2,2],[3,3]，我想做的事是定义一个 matlab 函数来计算代价函数 $J(\theta )$，就是计算不同 $\theta$值所对应的代价函数值$J$。

首先让我们把数据放到 matlab 里，我把我的矩阵设置为X = [1 1; 1 2; 1 3];

请仔细看一下这个函数的定义，确保你明白了定义中的每一步。

我键入 J = costFunctionJ (X, y, theta)，它就计算出 $J$等于0，这是因为如果我的数据集$x$ 为 [1;2;3]， $y$ 也为 [1;2;3] 然后设置 ${\theta }_0$ 等于0，${\theta }_1$等于1，这给了我恰好45度的斜线，这条线是可以完美拟合我的数据集的。

而相反地，如果我设置$\theta$ 等于[0;0]，那么这个假设就是0是所有的预测值，和刚才一样，设置${\theta }_0$ = 0，${\theta }_1$也等于0，然后我计算的代价函数，结果是2.333。实际上，他就等于1的平方，也就是第一个样本的平方误差，加上2的平方，加上3的平方，然后除以$2m$，也就是训练样本数的两倍，这就是2.33。

因此这也反过来验证了我们这里的函数，计算出了正确的代价函数。这些就是我们用简单的训练样本尝试的几次试验，这也可以作为我们对定义的代价函数$J$进行了完整性检查。确实是可以计算出正确的代价函数的。至少基于这里的 $x$和 $y$是成立的。也就是我们这几个简单的训练集，至少是成立的。

6、向量化

参考视频: 5 - 6 - Vectorization (14 min).mkv

在这段视频中，我将介绍有关向量化的内容，无论你是用MATLAB，还是别的语言，比如Octave或者你正在用Python、NumPy 或 Java C C++，所有这些语言都具有各种线性代数库，这些库文件都是内置的，容易阅读和获取，他们通常写得很好，已经经过高度优化，通常是数值计算方面的博士或者专业人士开发的。

而当你实现机器学习算法时，如果你能好好利用这些线性代数库，或者数值线性代数库，并联合调用它们，而不是自己去做那些函数库可以做的事情。如果是这样的话，那么通常你会发现：首先，这样更有效，也就是说运行速度更快，并且更好地利用你的计算机里可能有的一些并行硬件系统等等；其次，这也意味着你可以用更少的代码来实现你需要的功能。因此，实现的方式更简单，代码出现问题的有可能性也就越小。

举个具体的例子：与其自己写代码做矩阵乘法。如果你只在matlab中输入$a$乘以$b$就是一个非常有效的两个矩阵相乘的程序。有很多例子可以说明，如果你用合适的向量化方法来实现，你就会有一个简单得多，也有效得多的代码。

让我们来看一些例子：这是一个常见的线性回归假设函数：$h_{\theta }(x)=\sum _{j=0}^n{\theta }_j{x}_j$

如果你想要计算$h_{\theta }(x)$ ，注意到右边是求和，那么你可以自己计算$j=0$ 到$ j = n$ 的和。但换另一种方式来想想，把 $h_{\theta }(x)$ 看作${\theta }^{T}x$，那么你就可以写成两个向量的内积，其中$\theta$就是${\theta }_0$、${\theta }_1$、${\theta }_2$，如果你有两个特征量，如果 $n=2$，并且如果你把 $x$ 看作$x_0$、$x_1$、$x_2$，这两种思考角度，会给你两种不同的实现方式。

比如说，这是未向量化的代码实现方式：

计算$h_{\theta }(x)$是未向量化的，我们可能首先要初始化变量 $prediction$ 的值为0.0，而这个变量$prediction$ 的最终结果就是$h_{\theta }(x)$，然后我要用一个 for 循环，$j$ 取值 0 到$n+1$，变量$prediction$ 每次就通过自身加上$ theta(j) $乘以 $x(j)$更新值，这个就是算法的代码实现。

顺便我要提醒一下，这里的向量我用的下标是0，所以我有${\theta }_0$、${\theta }_1$、${\theta }_2$，但因为MATLAB的下标从1开始，在 MATLAB 中${\theta }_0$，我们可能会用 $theta(1)$ 来表示，这第二个元素最后就会变成，$theta(2$) 而第三个元素，最终可能就用$theta(3)$表示，因为MATLAB中的下标从1开始，这就是为什么这里我的 for 循环，$j$取值从 1 直到$n+1$，而不是从 0 到 $n$。这是一个未向量化的代码实现方式，我们用一个 for 循环对 $n$ 个元素进行加和。

作为比较，接下来是向量化的代码实现：

你把x和$\theta$看做向量，而你只需要令变量$prediction$等于$theta$转置乘以$x$，你就可以这样计算。与其写所有这些for循环的代码，你只需要一行代码，这行代码就是利用 matlab 的高度优化的数值，线性代数算法来计算两个向量$\theta$以及$x$的内积，这样向量化的实现更简单，它运行起来也将更加高效。这就是 matlab 所做的而向量化的方法，在其他编程语言中同样可以实现。

让我们来看一个C++ 的例子：

与此相反，使用较好的**C++数值线性代数库，你可以写出像右边这样的代码，因此取决于你的数值线性代数库的内容。你只需要在C++**中将两个向量相乘，根据你所使用的数值和线性代数库的使用细节的不同，你最终使用的代码表达方式可能会有些许不同，但是通过一个库来做内积，你可以得到一段更简单、更有效的代码。

现在，让我们来看一个更为复杂的例子，这是线性回归算法梯度下降的更新规则：

我们用这条规则对$ j$ 等于 0、1、2等等的所有值，更新对象${\theta }_j$，我只是用${\theta }_0$、${\theta }_1$、${\theta }_2$来写方程，假设我们有两个特征量，所以$n$等于2，这些都是我们需要对${\theta }_0$、${\theta }_1$、${\theta }_2$进行更新，这些都应该是同步更新，我们用一个向量化的代码实现，这里是和之前相同的三个方程，只不过写得小一点而已。

你可以想象实现这三个方程的方式之一，就是用一个 for 循环，就是让 $j$等于0、等于1、等于2，来更新${\theta }_j$。但让我们用向量化的方式来实现，看看我们是否能够有一个更简单的方法。基本上用三行代码或者一个for 循环，一次实现这三个方程。让我们来看看怎样能用这三步，并将它们压缩成一行向量化的代码来实现。做法如下：

我打算把$\theta$看做一个向量，然后我用$\theta$-$\alpha$ 乘以某个别的向量$\delta$ 来更新$\theta$。

这里的 $\delta$ 等于

解释一下是怎么回事：我要把$\theta$看作一个向量，有一个 $n+1$ 维向量，$\alpha$ 是一个实数，$\delta$在这里是一个向量。

所以这个减法运算是一个向量减法，因为 $\alpha$ 乘以 δ是一个向量，所以$\theta$就是$\theta$ - $\alpha \delta$得到的向量。

那么什么是向量 $\delta$ 呢 ?

$X^{(i)}$是一个向量

你就会得到这些不同的式子，然后作加和。

实际上，在以前的一个小测验，如果你要解这个方程，我们说过为了向量化这段代码，我们会令u = 2v +5w因此，我们说向量$u$等于2乘以向量$v$加上5乘以向量$w$。用这个例子说明，如何对不同的向量进行相加，这里的求和是同样的道理。

这就是为什么我们能够向量化地实现线性回归。

所以，我希望步骤是有逻辑的。请务必看视频，并且保证你确实能理解它。如果你实在不能理解它们数学上等价的原因，你就直接实现这个算法，也是能得到正确答案的。所以即使你没有完全理解为何是等价的，如果只是实现这种算法，你仍然能实现线性回归算法。如果你能弄清楚为什么这两个步骤是等价的，那我希望你可以对向量化有一个更好的理解，如果你在实现线性回归的时候，使用一个或两个以上的特征量。

有时我们使用几十或几百个特征量来计算线性归回，当你使用向量化地实现线性回归，通常运行速度就会比你以前用你的for循环快的多，也就是自己写代码更新${\theta }_0$、${\theta }_1$、${\theta }_2$。

因此使用向量化实现方式，你应该是能够得到一个高效得多的线性回归算法。而当你向量化我们将在之后的课程里面学到的算法，这会是一个很好的技巧，无论是对于matlab 或者一些其他的语言 如C++、Java 来让你的代码运行得更高效。