字符串匹配算法

 

模式匹配的KMP算法详解

模式匹配的KMP算法详解

这种由D.E.Knuth,J.H.Morris和V.R.Pratt同时发现的改进的模式匹配算法简称为KMP算法。大概学过信息学的都知道,是个比较难理解的算法,今天特把它搞个彻彻底底明明白白。

注意到这是一个改进的算法,所以有必要把原来的模式匹配算法拿出来,其实理解的关键就在这里,一般的匹配算法:

int Index(String S,String T,int pos)//参考《数据结构》中的程序
{
i=pos;j=1;//这里的串的第1个元素下标是1
while(i<=S.Length && j<=T.Length)
{
    if(S[i]==T[j]){++i;++j;}
    else{i=i-j+2;j=1;}//**************(1)
}
if(j>T.Length) return i-T.Length;//匹配成功
else return 0;
}

匹配的过程非常清晰,关键是当‘失配’的时候程序是如何处理的?回溯,没错,注意到(1)句,为什么要回溯,看下面的例子:

S:aaaaabababcaaa T:ababc

aaaaabababcaaa
    ababc.(.表示前一个已经失配)
回溯的结果就是
aaaaabababcaaa
     a.(babc)
如果不回溯就是
aaaaabababcaaa
        aba.bc
这样就漏了一个可能匹配成功的情况
aaaaabababcaaa
      ababc

为什么会发生这样的情况?这是由T串本身的性质决定的,是因为T串本身有前后'部分匹配'的性质。如果T为abcdef这样的,大没有回溯的必要。

改进的地方也就是这里,我们从T串本身出发,事先就找准了T自身前后部分匹配的位置,那就可以改进算法。

如果不用回溯,那T串下一个位置从哪里开始呢?

还是上面那个例子,T为ababc,如果c失配,那就可以往前移到aba最后一个a的位置,像这样:
...ababd...
   ababc
   ->ababc

这样i不用回溯,j跳到前2个位置,继续匹配的过程,这就是KMP算法所在。这个当T[j]失配后,j应该往前跳的值就是j的next值,它是由T串本身固有决定的,与S串无关。

《数据结构》上给了next值的定义:
          0   如果j=1
next[j]={Max{k|1<k<j且'p1...pk-1'='pj-k+1...pj-1'
          1   其它情况

我当初看到这个头就晕了,其实它就是描述的我前面表述的情况,关于next[1]=0是规定的,这样规定可以使程序简单一些,如果非要定为其它的值只要不和后面的值冲突也是可以的;而那个Max是什么意思,举个例子:

T:aaab

...aaaab...
   aaab
->aaab
   ->aaab
    ->aaab

像这样的T,前面自身部分匹配的部分不止两个,那应该往前跳到第几个呢?最近的一个,也就是说尽可能的向右滑移最短的长度。

OK,了解到这里,就看清了KMP的大部分内容,然后关键的问题是如何求next值?先不管它,先看如何用它来进行匹配操作,也就是说先假设已经有了next值。

将最前面的程序改写成:

int Index_KMP(String S,String T,int pos)
{
i=pos;j=1;//这里的串的第1个元素下标是1
while(i<=S.Length && j<=T.Length)
{
    if(j==0 || S[i]==T[j]){++i;++j;} //注意到这里的j==0,和++j的作用就知道为什么规定next[1]=0的好处了
    else j=next[j];//i不变(不回溯),j跳动
}
if(j>T.Length) return i-T.Length;//匹配成功
else return 0;
}

OK,是不是非常简单?还有更简单的,求next值,这也是整个算法成功的关键,从next值的定义来求太恐怖了,怎么求?前面说过了,next值表达的就是T串的自身部分匹配的性质,那么,我只要将T串和T串自身来一次匹配就可以求出来了,这里的匹配过程不是从头一个一个匹配,而是从T[1]和T[2]开始匹配,给出算法如下:

void get_next(String T,int &next[])
{
i=1;j=0;next[1]=0;
while(i<=T.Length)
{
    if(j==0 || T[i]==T[j]){++i;++j; next[i]=j;/**********(2)*/}
    else j=next[j];
}
}

看这个函数是不是非常像KMP匹配的函数,没错,它就是这么干的!注意到(2)语句逻辑覆盖的时候是T[i]==T[j]以及i前面的、j前面的都匹配的情况下,于是先自增,然后记下来next[i]=j,这样每当i有自增就会求得一个next[i],而j一定会小于等于i,于是对于已经求出来的next,可以继续求后面的next,而next[1]=0是已知,所以整个就这样递推的求出来了,方法非常巧妙。

这样的改进已经是很不错了,但算法还可以改进,注意到下面的匹配情况:

...aaac...
   aaaa.
T串中的'a'和S串中的'c'失配,而'a'的next值指的还是'a',那同样的比较还是会失配,而这样的比较是多余的,如果我事先知道,当T[i]==T[j],那next[i]就设为next[j],在求next值的时候就已经比较了,这样就可以去掉这样的多余的比较。于是稍加改进得到:

void get_nextval(String T,int &next[])
{
i=1;j=0;next[1]=0;
while(i<=T.Length)
{
    if(j==0 || T[i]==T[j])
    { ++i;++j;
      if(T[i]!=T[j]) next[i]=j;
      else next[i]=next[j];//消去多余的可能的比较,next再向前跳
    }
    else j=next[j];
}
}

匹配算法不变。

到此就完全弄清楚了,以前老觉得KMP算法好神秘,真不是人想出来的,其实不然,它只不过是对原有的算法进行了改进。可见基础的经典的东西还是很重要,你有本事‘废’了经典,就创造了进步。

 

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