递归--迷宫问题、八皇后问题

1.1 递归应用场景

看个实际应用场景，迷宫问题(回溯)： 图中红色部分为迷宫的围墙，小球从开始的位置，走到右下角箭头所指位置，求一条可以走通的路

1.2 递归的概念

简单的说: 递归就是方法自己调用自己,每次调用时传入不同的变量.递归有助于编程者解决复杂的问题,同时可以让代码变得简洁。

1.3 递归调用机制

列举小案例,来帮助大家理解递归，回顾一下递归调用机制：

以上代码的执行过程图解如下：即程序执行过程不断调用自身test()方法，开辟了四个栈空间，在最上层的栈中，n=2 ,test()方法中判断不成立，调用打印语句后，回到n=3的栈中执行打印语句，然后回到n=4的栈中打印语句，最后回到main函数中，语句执行结束。

1.4 递归能解决什么样的问题

递归用于解决什么样的问题

1. 各种数学问题如: 8 皇后问题 , 汉诺塔, 阶乘问题, 迷宫问题
2. 各种算法中也会使用到递归，比如快排，归并排序，二分查找，分治算法等.
3. 将用栈解决的问题 --> 转而用递归解决，代码比较简洁

1.5 递归需要遵守的重要规则

递归需要遵守的重要规则

1. 执行一个方法时，就创建一个新的受保护的独立空间(栈空间)
2. 方法的局部变量是独立的，不会相互影响, 比如 n 变量
3. 如果方法中使用的是引用类型变量(比如数组)，就会共享该引用类型的数据.
4. 递归必须向退出递归的条件逼近，否则就是无限递归,出现 StackOverflowError)
5. 当一个方法执行完毕，或者遇到 return，就会返回，遵守谁调用，就将结果返回给谁，同时当方法执行完毕或者返回时，该方法也就执行完毕

1.6 递归-迷宫问题

关于迷宫问题的几点约定：

1. 创建一个二维数组，模拟迷宫，二维数组map[i][j] = 1表示 迷宫第i+1行 第j+1列为围墙不通
2. 当map[i][j]为0表示该点没有走过， 当为1时表示墙， 2表示通路可以走，3表示该点已经走过但是走不通
   代码实现如下：

public class MiGong {

	public static void main(String[] args) {
		// TODO Auto-generated method stub
		// 先创建一个二维数组，模拟迷宫
		// 地图
		int[][] map = new int[8][7];
		// 使用1表示墙
		// 上下全部位置为1
		for (int i = 0; i < 7; i++) {
			map[0][i] = 1;
			map[7][i] = 1;
		}
		// 设置挡板，1表示
		map[3][1] = 1;
		map[3][2] = 1;
		// 左右全部位置为1
		for (int i = 0; i < 8; i++) {
			map[i][0] = 1;
			map[i][6] = 1;
		}
		// 输出地图
		System.out.println("地图情况为:");
		for (int i = 0; i < 8; i++) {
			for (int j = 0; j < 7; j++) {
				System.out.print(map[i][j] + " ");
			}
			System.out.println();
		}
		// 使用递归回溯给小球找路
		setWay(map, 1, 1);
		System.out.println("小球找路的地图情况为:");
		for (int i = 0; i < 8; i++) {
			for (int j = 0; j < 7; j++) {
				System.out.print(map[i][j] + " ");
			}
			System.out.println();
		}
	}

	// 使用递归回溯给小球找路
	// 说明
	// 1.map 表示地图
	// 2.i,j表示从地图的哪个位置开始出发(1,1)
	// 3.如果小球能到map[6][5]位置，说明通路找到
	// 4.约定：当map[i][j]为0表示该点没有走过 当为1时表示墙 2表示通路可以走；3表示该点已经走过，但是走不通
	// 5.在走迷宫时，需要确定一个策略(方法) 下 -> 右 -> 上 -> 左 ，如果该点走不通，再回溯
	/***
	 * 
	 * @param map
	 *            表示地图
	 * @param i
	 *            从哪个位置开始找(数组的行)
	 * @param j
	 *            从哪个位置开始找(数组的列)
	 * @return 如果找到通路就返回true,否则返回false
	 */
	public static boolean setWay(int[][] map, int i, int j) {

		if (map[6][5] == 2) {// 通路已经找到
			return true;
		} else {
			if (map[i][j] == 0) { // 如果当前这条路没有走过
				// 按照策略 下 -> 右 -> 上 -> 左 走
				map[i][j] = 2; // 假定giant点是可以走通的
				if (setWay(map, i + 1, j)) {// 向下走
					return true;
				} else if (setWay(map, i, j + 1)) {// 向右走
					return true;
				} else if (setWay(map, i - 1, j)) {// 向上走
					return true;
				} else if (setWay(map, i, j - 1)) {
					return true;
				} else {
					// 说明该点是走不通的
					map[i][j] = 3;
					return false;
				}
			} else { // 如果map[i][j] != 0 ,可能是1 ，2，3
				return false;
			}
		}
	}

}

执行结果如下：

1.7 递归-八皇后问题(回溯算法)

1.7.1 八皇后问题介绍

八皇后问题，是一个古老而著名的问题，是回溯算法的典型案例。该问题是国际西洋棋棋手马克斯•贝瑟尔于1848 年提出：在 8×8 格的国际象棋上摆放八个皇后，使其不能互相攻击，即：任意两个皇后都不能处于同一行、同一列或同一斜线上，问有多少种摆法。

1.7.2 八皇后问题算法思路分析

1. 第一个皇后先放第一行第一列
2. 第二个皇后放在第二行第一列、然后判断是否 OK， 如果不 OK，继续放在第二列、第三列、依次把所有列都放完，找到一个合适
3. 继续第三个皇后，还是第一列、第二列……直到第 8 个皇后也能放在一个不冲突的位置，算是找到了一个正确解
4. 当得到一个正确解时，在栈回退到上一个栈时，就会开始回溯，即将第一个皇后，放到第一列的所有正确解， 全部得到.
5. 然后回头继续第一个皇后放第二列，后面继续循环执行 1,2,3,4 的步骤

代码实现：

• 约定：定义数组array,保存皇后放置的结果，比如 arr = {0,4,7,5,2,6,1,3} 对应 arr 下标 表示第几行，即第几个皇后，arr[i] = val , 表示第 i+1 个皇后，放在第 i+1行的第 val+1 列

public class Queue8 {

   // 定义一个max表示共多少个皇后
   int max = 8;
   // 定义数组array,保存皇后放置的结果，比如 arr = {0,4,7,5,2,6,1,3}
   // 对应 arr 下标 表示第几行，即第几个皇后，arr[i] = val , val 表示第 i+1 个皇后，放在第 i+1行的第 val+1 列
   int[] array = new int[max];
   // 统计总共多少中解法
   static int count = 0;
   // 统计总共判断了多少次
   static int judgeCount = 0;

   public static void main(String[] args) {
   	// TODO Auto-generated method stub
   	// 测试
   	Queue8 queue8 = new Queue8();
   	queue8.check(0);
   	System.out.printf("总共 %d 种解法。", count);
   	System.out.printf("总共判断了%d种冲突次数", judgeCount);
   }

   private void check(int n) {
   	if (n == max) {// 前8个皇后已经放好
   		print();
   		return;
   	}
   	// 依次放入皇后，并判断是否冲突
   	for (int i = 0; i < max; i++) {
   		// 先把当前这个皇后n放到该行的第一列
   		array[n] = i;
   		// 判断当放置第n个皇后到i列时是否冲突
   		if (judge(n)) {
   			// 接着放n+1个皇后，即开始递归
   			check(n + 1);
   		}
   		// 如果冲突，就继续执行array[n] = i;即将第n个皇后后移的一个位置上
   	}
   }

   /**
    * @param n
    *            表示第n个皇后
    * @return
    */
   // 查看当我们放置第n个皇后，检测该皇后是否和前面已经摆放的皇后冲突
   private boolean judge(int n) {
   	judgeCount++;
   	for (int i = 0; i < n; i++) {
   		// array[i] == array[n] 表示判断第n个皇后是否与第i个皇后在同一列
   		// Math.abs(n - i) == Math.abs(array[n]) - array[i]
   		// 表示判断第n个皇后是否与第i个皇后 在同一斜线
   		if (array[i] == array[n] || Math.abs(n - i) == Math.abs(array[n] - array[i])) {
   			return false;
   		}
   	}
   	return true;
   }

   // 写一个方法，可以将皇后摆放的位置输出
   private void print() {
   	count++;
   	for (int i = 0; i < array.length; i++) {
   		System.out.printf(array[i] + " ");
   	}
   	System.out.println();
   }

}

执行结果如下：